有关函数凸凹性的一个结论在高考解题中的应用 (2)

函数凸凹性在高考解题中的应用一隅

函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现. 充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.

一、凹凸函数的定义及相关定理

定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式 [])()(2

1)2(2121x f x f x x f +≤+ （1） 成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立． 如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式

[])()(2

1)2(2121x f x f x x f +≥+ （2） 成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．

从几何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点1x ，2x 的中点M 所对应的曲线上的点Q 位于弦上对应点P 的下面．不等式（2）则有相反的意义．

引理：设函数)(x f 在开区间I 上可导，则

(1))(x f 在区间I 上为上凸函数⇔导函数)(x f '在区间I 单调减少．()0<''⇔x f

(2))(x f 在区间I 上为下凸函数⇔导函数)(x f '在区间I 单调增加．()0>''⇔x f 定理：若函数)(x f 在开区间),(b a 上为下凸函数且可导，),(00y x P 为其图像上一点，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的上方；反之，若函数)(x f 在开区间),(b a 上为上凸函数且可导，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的下方.

证明:由函数)(x f 在开区间I 上可导,从而P 点处函数切线方程为

000))((y x x x f y +-'=

记000))(()()(y x x x f x f x F --'-=,)()()(0x f x f x F '-'='

当)(x f 在开区间),(b a 上为下凸函数时,由引理得)(x F 在0x x =处取得最小值0,即

,0)(≥x F 也即000))(()(y x x x f x f +-'≥,

∴即证函数)(x f 的图像在P 点处函数切线的上方;

同理可得,若函数)(x f 在开区间),(b a 上为上凸函数且可导，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的下方.

二、定理在高考题中的应用

以下就2012年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值. 例1.(新课标•理21) 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e

f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；

（2）若21()2

f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。 解：（1）略

（2）解法一（试题原标准解答）

21()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增

x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+

得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥

22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>⇔<<

<⇔>

当x =max ()2

e F x =

当1,a e b e =-=时，(1)

a b +的最大值为2

e 分析：如果把21()2

f x x ax b ≥++转化为,)1(b x a e x ++≥那么第（2）问本质上不就是下凸函数图象位于某直线上方问题吗？这样一来，只需b x a y ++=)1(是x e y =的切线

或切线的下方平行线即可.由此得

解法二 由题意, 21()2f x x ax b ≥

++,即,)1(b x a e x ++≥R x ∈恒成立, 记x e x g =)(,所以)(x g 图象位于直线b x a y ++=)1(的上方.

由)(x g 下凸性及定理,存在R x ∈0,使得直线b x a y ++=)1(与)(x g 图象在0x x =处的切线00)(:0x

x e x x e y l +-=重合或平行(位于切线l 下方),

也即是 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤=+)1(1000

x e b e a x x ,所以(1)a b +)1(020x e x -≤, 记)1()(2x e x h x -=,R x ∈,则(1)a b +max )(x h ≤,对)(x h 求导讨论可得

2)(max e x h =, 故(1)a b +的最大值为2

e . 解后反思:解法一基于题目代数条件、放缩求最值，解法自然，但仅停留在条件到结论的表面计算，部分学生由于计算量大和讨论繁琐而望而却步；解法二简洁明快，直观性较强，且揭示了试题立意的本质即是基于函数凹凸性立意.

例2(辽宁•理21)设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数，曲线()y f x =与直线32

y x =在(0，0)点相切。 (Ⅰ)求,a b 的值。 (Ⅱ)证明：当02x <<时，

9()6x

f x x <+。

解: (1) a=0,b=-1