一级倒立摆的建模与控制分析

控制工程与仿真课程设计报告

报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计

组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011 组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013

报告评分标准

评分项目权重评价内容评价结果项目得分

内容70 设计方案较合

理、正确，内容

较完整

70-50分

设计方案基本合

理、正确，内容

基本完整

50-30分

设计方案基本不

合理、正确，内

容不完整

0-30分

语言组织15 语言较流顺，标

点符号较正确

10-15分语言基本通顺，

标点符号基本正

确

5-10分

语言不通顺，有

错别字，标点符

号混乱

5分以下

格式15 报告格式较正

确，排版较规范

美观

10-15分

报告格式基本正

确，排版不规范

5-10分报告格式不正

确，排版混乱5分以下

总分

直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计

一状态空间模型的建立

1.1直线一级倒立摆的数学模型

图1.1 直线一级倒立摆系统

本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1.2 系统中小车的受力分析图

图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g。

图1.3 摆杆受力分析图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

()11-

设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。

()21-

对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

()θsin 22

l x dt

d m F N S +=- ()31-

即：

αθθθθsin sin cos 2f

F ml ml x m N +-+=&&&&&

()41-

对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

()θcos 22

l l dt

d m F mg P h -=++-

()51-

即 θθθθαcos sin cos 2&&&ml ml F mg P g

+=++-

()61-

力矩平衡方程如下：

N x f F x M --=&&&

0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα&&I Nl Pl l F l F g g

()71-

代入P 和N ，得到方程：

()

cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g &&&&&

()81-

设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理：

φφφφφφφ===⎪⎭⎫

⎝⎛==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2

dt d

由于：23

1

ml I =

方程化为：

()x m mg ml F g &&&&=-+--φφαφα3

4cos sin 2 ()91-

令：()αφαcos sin --=g f F F ，则()91-可化为：

x m mg ml F f &&&&=-+φφ3

42 ()101-

即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。带入实际数据后，微分方程为：

m

F x f

234.29-+=&&&&θθ

()111-

当忽略了F f 时，系统的微分方程如式（1-12）所示

x &&&&34.29+=θθ

()121-

忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力

α

sin g S F F =α

cos g h F F =

后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是

小车的位移x 、小车的速度x &、摆杆的角度θ、摆杆的角速度θ&。系统输出的观测量为小车的位移x 、摆杆的角度θ。其控制量为小车的加速度θ&&

将微分方程（1-12）化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：

()

()4

.293

2

-=s s R s θ ()131-

1.2 直线一级倒立摆系统的状态方程

实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x

&&作为系统的控制输入，所以根据式（1-12）建立系统的状态方程为：

x l

l g x

x x x

&&&&&&&&&&&&4343+====φφφ

φ 整理后得到系统状态方程：

[][]x x x x y x l g x x l g

x x &&&&&&

&&&&&&&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000100

0001430100430

010********

10

φφφφ

φφφ

将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为：