导数、解析几何大题及答案

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20•已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,直线x=4与x 轴的交点为P ,与抛物线的交点为 Q,且廟匸一|珂丨• (1) 求抛物线的方程；
(2) 如图所示，过F 的直线I 与抛物线相交于A, D 两点，与圆x 2+(y - 1) 2=1相交于B , C 两点(A , B 两点相邻)，过A, D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点 M 求厶ABM ^A CDM 勺面积之积的最小值.
I QF I =
•••抛物线x 2=4y ;
(2)设 I : y=kx+1, A( X 1, yd , B( X 2, y 2), • M 到I 的距
离
+2
联立 y=kK+l ,整理得：x 2 - 4kx - 4=0 , 贝U X 1X 2=- 4 , •••△ ABMW ^ CDM 勺面积之积 S A ABI ?S A CD M^~ I
2
AB II CD|?d ,
由 y=-?x 2 ,求导 y '=二, 直线MAy -
(x - X 1),即卩 y=
(I DF I - 1)?d 2 ,
x
d 2 ,
解：(1)由题意可知P (4, 0), Q (4,
),
同理求得MD y=
由 iQFkziFQl ,则二+炸〒x
,解得：p=2 ,
,解得：
x=2k
L y=-1
,则(2k , - 1),
=1+k 2>
1, 当且仅当k=0时取等号, 当k=0时，△ ABMW A CDM 勺面积之积的
最小 值1
21 .已知函数 f (x ) =lnx — x . (1) 证明：对任意的X 1, X 2^（ 0, +°）, 都有 |f (X i ) | >
(2) f (ID ) (n) +n)
rn-n r . 2 2 与m 一门
设m >n >0,比较 的大小，并说明理由 (1) 证明: f (m) -f
因为 f '(x ) =1-，故 f (x )在(0, 1) 上是增加的，在（1, +°）上是减少的, f (X ) maX =f ( 1 ) =ln1 —仁—1, |f ( x ) | min =1 ,
- 1
m 1 — 2 2
X “ n 一 4—
Hl 口
且
设G( x )=」,
1^1 XL x .2 , V m >n >0
，^- 1>0,
故 G (x )在(0, e ）上是增加的，在（e , + 故只需比较In,与
°°）上是减少的, 故 G(x ) max =G(e )=丄v 1,
的大小,
■t -l
G ( X ) max V
|f (X )
I min ,
所以 |f (X 1) | Ins 2
K 2 对任意的X 1, X z € (0,
设 G (t ) =lnt
=lnt
+x ）
恒成立; (2)解:
t 2+zt-i 十说
i
因为t > 1,所以G (t )> 0,所以函数G (t )在(1, +x )上是增加的，
故 G( t )> G (1) =0,所以 G( t )> 0 对任 意t > 1恒成立，
即In
从而有
到右准线I 的距离为
.
(I)求a 、b 的值;
(U)设M N 是右准线I 上两动点，满足丽.丽=0・当|MN|取最小值时，求证：M N 两 点关于x 轴
对称.
I
2
解：(1)因为亡*, F2到I 的距离d~-^, o C
Hl
所以由题设得
T -皿
解得，k 二施a=2. 由 >--存一:
=1 (a > b > 0)的左、右焦点分别是 F 1 和 F 2,
f (m)
(n)如)
19. (13分)设椭圆
(U)证明：由卜八打，a=2得卩(-叼0)，匚(问0)
则I的方程为• 故可设爪(2近，皿，N〈皿y2)-
卩訓=(^2^2, y1),兀孑=(2应-'、〔二，屮),
由」■一j=0 知，3 X +yy=O,
得y i y2=- 6,所以yy工0,
,I "Fly i —y2|=|y 1+ |=|y i|+ ,
Yj I7iI
当且仅当y^±.；i时，上式取等号，此时yi=-y2.
即M N两点关于x轴对称.
__ 3 2 、”,
20. (14分)已知函数f (x) =x+ax+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值. (I)求实数a 的取值范围；
f 2a+3 2
(U)若方程f (x)=- 恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式；
(川)对于(2)中的函数f (X ),若对于任意实数a 和B 恒有不等式|f (2sin a) B) | < m 成立，求m 的最小值.
-f (2sin 解: (I) f (0)=0? c=0, f (x )=3x 2
+2ax+b, f ( 1) =0? b=- 2a — 3,…2 分
••• f 2
(x) =3x+2ax -( 2a+3) = (x - 1) (3x+2a+3),
因为当x=1时取得极大值，所以 所以a 的取值范围是：(-X,- 3);…4分
(U)由下表:
x=1
递增 极大值-a - 2 递减
极小值丄
递增
依题意得：4
,
z I
y
解得：a= - 9,
所以函数f (x )的解析式是：f (x ) =x 3 - 9x 2+15x ;…9分
(x ) =0? x=1 或寸二-
画出f (x )的简图:
又"，■ 1,贝U( 1 - X 1,- y 1) = X (X 2 — 1, y 2),即 y 1=—入 y,
，①且
(川)对任意的实数a,B 都有- 2< 2sin a< 2,- 2< 2sin 2, 依题意有：函数f (x )在区间上的最大值与最小值的差不大于 m …10分
在区间上有：f (- 2) =-8 -36 - 30=- 74f (1) =7, f (2) =8 - 36+30=2f (x )的最大值是 f (1) =7,
f (x )的最小值是 f (- 2) =-8-36 - 30=- 74,…13 分 所以81即m 的最小值是81.…14分.
2 2
20.已知抛物线C: y 2=2px(p >0)的焦点F 与椭圆C': •: =1的一个焦点重合, 2)在抛物线上，过焦点F 的直线I 交抛物线于M 、N 两点. (1)求抛物线C 的方程以及|AF|的值;
(2)记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ,若?,' ■ .1 J , | BM| 2+| BN| 2=40,求实数
2 2
解:(
“ 依题意，椭圆•
「
「中，a2=6, b2=5,故 c2=a2- b2=1,故二「
点 A(X 0,
入的值.
可得抛物线C 的方程为f=4x .
将 A (X 0, 2)代入 y 2=4x ，解得 x 0=1，故.
(2)依题意，F (1, 0),设 l : x=my+1，设 M (X 1, y 1)、N (x 2, y 2),
联立方程
K=rny+1 '
消去 x ,得 y 2- 4my - 4=0.
所以
r2 —一 _
_入旳二T °1
代入①得- ，消去y2得4『二入什-2,
(1一乙)乃二4加兀
易得 B (- 1, 0),则明二(切+1「y】)’ BN= (K2+L y J ,
则
|丽I S|尿| 2二独『1■丽'二(巧T )戈十”丁十(勺十打外咒冬戈十2 &i+七)吃十yj十匕上
H n. o ? *9 9 ?.
=〔琢y[+1) + (口Fz+1)+2(m活]+m尸d+2)+2+y] +y2=(m +l)(F]
+/2 )+4m(y]+y?)+£
=(m2+1) (16m2+8) +4m?4m+8=16m4+40m2+16,
当16m4+40m2+16=40,解得『斗，故入二2 士换.
21 •已知函数f (x) =axeX-( a- 1) (x+1) 2(a€ R, e 为自然对数的底数，e=2.7181281 …).
(1)当a=- 1时，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)仅有一个极值点，求a的取值范围.
解：(1)由题知，f (x) =-xe x+2 (x+1) 2,
f (x) =- e x- xe x+4 (x+1) = (x+1) (4- e x),
由f (x) =0 得到x=- 1 或x=ln4,
而当x v In4 时，(4 - e x)> 0, x>In4 时，(4 - e x)v 0,列表得:
x (-X,—1) -1 (-1, l n4)In4(I n4, +^)
f (x) - 0+ 0—
f (x) \ 极大值/ 极小值
所以，此时f (X)的减区间为(-X,-1), (In4, +^), 增区间为(-1 , In4);
(2) f (x) =ae x+axe x- 2 (a- 1) (x+1) = (x+1) (ae x- 2a+2),
由f (x) =0 得到x= - 1 或ae x- 2a+2=0 (*)
由于f (x)仅有一个极值点，
关于x的方程(* )必无解，
①当a=0时，(*)无解，符合题意，
②当a^0时，由(* )得e x二^，故由二0得O v a< 1，
a a
由于这两种情况都有，当x v- 1时，f (x)v 0,于是f (X)为减函数, 当x>- 1时，f (x)> 0,于是f (x)为增函数，
•••仅x=- 1为f (X)的极值点, 综上可得a的取值范围是[0, 1].。