力学量的平均值随时间的变化.pptx

(ψ (0),U (t,0)AU (t,0)ψ (0))
(ψ (0), A(t)ψ (0))
(10)
A(t) U (t,0) AU (t,0)
(11)
算符的演化方程----Heisenberg 方程
d A(t) d U (t,0) AU (t,0) U (t,0) A d U (t,0)
kN (q2 )
k1 (qN ) k2 (qN )
kN (qN )
Slater 行列式
N个全同Bose子组成的体系
ψS n1nN
(q1,,
qN
)
ni!
i
N!
P[φ k1 (q1 )φ k N (qN )]
P
其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成 的置换，这样的置换数为
N!
Hˆ
]
1 i
eiHˆt /[rˆ,
pˆ 2
/
2m]eiHˆt
/
eiHˆt / pˆ eiHˆt / pˆ
m
m
则 rˆ(t) rˆ(0) pˆ t
(1) 两个全同粒子组成的体系
S k1k2
(q1,
q2
)
1 2
[
k1
(
q1
)
k
2
(
q2
)
k1
(
q2
)
k
2
(q1
)]
A k1k2
(q1,
q2
)
1 2
[
k1
(q1
)
k2
(
q2
)
k1
(q2
)
k2
(q1
)]
(2) N个全同Femi子组成的体系
三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 不同的单粒子态φk1, φk2, φk3 上，则反对称波函数为
V (cx, cy, cz) cnV (x, y, z)
证明 2T nV
8. Feynman-Hellmann定理
设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为 En , n
若H中含有参数λ，则有
En
n
H
n
9. 全同粒子体系与波函数的交换对称性
Pij , 对称波函数 Pij ， 反对称波函数
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
1. 力学量的平均值随时间的变化
d dt
A(t)
1 i
[
A,
H]
A t
2.守恒量 若 [ A, H ] 0
则
d A(t) 0
dt
A称为守恒量
3. 守恒量的性质
如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE， 则ΨE必为F 的本征态。
7. 位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H
p2
/ 2m
V (r )
r·p的平均值随时间的变化为
i
d
r
p
[r
p, H ]
1
[r
p,
p2]
[r
p,V
(r )]
dt
2m
对定态有
i
p2 m
r V
（2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变
6. 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
t
力学量平均值随时间的变化
d dt
A(t)
1 i
[ A,
H
]
( 3)
波函数随时间演化可写成
ψ (t) U (t,0)ψ (0), (4)
U (0,0) 1
( 5)
U (t,0) 称为时间演化算符。
(4) 代入(2)得到
i U (t,0)ψ (0) HU (t,0)ψ (0)
t
则
i U (t,0) HU (t,0) (6)
d
r
p
0
dt
（定态下力学量的平均值不随时间 变化）
则
1
p2
r V
m
2T r V
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
r
p
1
(r
p
p
r)
2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到 定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
d A(t) 0 dt
d dt
ak (t) 2
0
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 守恒量对应的量子数称为好量子数 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。
t
积分得
U (t,0) eiHt /
( 7)
可以证明： U (t,0)U (t,0) U (t,0)U (t,0) 1 (8)
U (t,0) 是幺正算符。
(ψ (t),ψ (t)) (ψ (0),ψ (0)) (9)
2. Heishenberg 图像 波函数不变，算符随时间变化
A(t) (U (t,0)ψ (0), AU (t,0)ψ (0))
A k1k2k3
(q1,
q2
,
q3
)
1 3!
k1 k2 k3
(q1 ) (q1 ) (q1 )
k1 (q2 ) k2 (q2 ) k3 (q2 )
k1 (q3 ) k2 (q3 ) k3 (q3 )
A k1k N
(q1,,
qN
)
k1 (q1) 1 k2 (q1)
N!
kN (q1)
k1 (q2 ) k2 (q2 )
ni!
i
§4.3 Schrödinger图像和Heisenberg图像
1. Schrödinger 图像
力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。
力学量的平均值
A(t) (ψ (t), Aψ (t)) (1)
波函数随时间演化方程---Schrödinger 方程
i ψ (t) Hψ (t) (2)
1 i
(U
HUU
U
AHUU
HU
)
1 i
( HA(t )
A(t ) H
)
则
d dt
A(t )
1 i
[
A(t
),
H
]
(12)
上式称为Heisenberg方程。
例题1 自由粒子 H p2 / 2m [ p, H ] 0
p为守恒量，则 p(t)=p(0)=p
d dt
rˆ (t )
1 i
[rˆ (t ),
dt
dt
dt
1 i
(U
HAU
U
AHU
)
利用U的幺正性，及U+HU=H
d dt
A(t )
1 i
(U
HUU
U
AHUU
HU
)
1 i
( HA(t )
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A(t ) H
)
则
d dt
A(t
)
1 i
[
A(t
),
H
]
(12)
上式称为Heisenberg方程。
利用U的幺正性，及U+HU=H
d dt
A(t )