力学量的平均值随时间的变化.pptx
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第四章力学量随时间的演化与对称性
故有 其中 Cn (0) 为
Cn (t) = Cn (0)e
−
iEn t h
时力学量的概率分布函数， t = 0 时力学量的概率分布函数，所以
Cn (t) = Cn (0)
2
2
即守恒量A的测量概率与时间无关， 即守恒量 的测量概率与时间无关，即概率分布不 的测量概率与时间无关 随时间而变化。 随时间而变化。
例如，中心力场中的粒子， 例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守 但由于三个分量互相不对易， 恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们 并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。 并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。
三、举例 1、自由粒子动量守恒 、
∧ 2
ˆ = P 自由粒子的哈密顿算符： 自由粒子的哈密顿算符：H 定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，
即[ F , H ] = 0, [G , H ] = 0, 但[ F , G ] ≠ 0
则：体系能级一般是简并的。 体系能级一般是简并的。
证明： 证明：
由于[F , H] = 0, F与H可以有共同本征函数φ， Hφ = Eφ, Fφ = F 'φ
可见：
d2A ˆ ˆ ˆ －h 2 2 = [[ A, H ], H ] dt
§4.2守恒量与对称性 守恒量与对称性
（一）关于对称性
无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象 无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.
德国数学家魏尔（ 德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称 ） 他对上述现象作了如下表述： 性.他对上述现象作了如下表述： 他对上述现象作了如下表述 若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射 若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射 对称或双向对称的. 对称或双向对称的 若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身， 若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对 转动的对称性. 轴的转动的对称性 轴的转动的对称性
量子力学课件：3.8 力学量期望值随时间的变化 守恒定律
§3.8 力学量平均值随时间的 变化 守恒定律
力学量算符的平均值:
| cn |2 n
F n
| cn |2
n
基本对易关系：
x , p i
lˆ lˆ i lˆ 或
对易的意义：
F *(x)Fˆ (x)dx *(x) (x)dx
1 0
( ) ( )
lˆ ,lˆ i lˆ
Fˆ ,Gˆ 0
经典力学中守恒量：体系取确定值！ ①
量子力学守恒量：不一定确定值！ 但测量值几率不随时间变化！
② 量子力学定态特点：测量值几率不随时间变化！
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态）
——平均值、测量几率分布不随时间变化！
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
一、力学量的平均值随时间的变化
量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一 时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是 具有确定的平均值及几率分布。
力学量F的平均值
F *Fˆ d *(x,t)Fˆ (x,t)dx
2、对一切力学量（不显含时间，不管是不是守恒量） ——平均值、测量几率分布不随时间变化！
[1 i Fˆ , Hˆ ] i[Fˆ , Hˆ ] 0
就F^是体系的一个守恒量，是与变换Q相联 系的可观测量。
1.空间平移不变性
设体系具有平移不变性，
Dˆ (a) (x) (x a)
其中平移变换： D(a) e i pˆxa
力学量算符的平均值:
| cn |2 n
F n
| cn |2
n
基本对易关系：
x , p i
lˆ lˆ i lˆ 或
对易的意义：
F *(x)Fˆ (x)dx *(x) (x)dx
1 0
( ) ( )
lˆ ,lˆ i lˆ
Fˆ ,Gˆ 0
经典力学中守恒量：体系取确定值！ ①
量子力学守恒量：不一定确定值！ 但测量值几率不随时间变化！
② 量子力学定态特点：测量值几率不随时间变化！
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态）
——平均值、测量几率分布不随时间变化！
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
一、力学量的平均值随时间的变化
量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一 时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是 具有确定的平均值及几率分布。
力学量F的平均值
F *Fˆ d *(x,t)Fˆ (x,t)dx
2、对一切力学量（不显含时间，不管是不是守恒量） ——平均值、测量几率分布不随时间变化！
[1 i Fˆ , Hˆ ] i[Fˆ , Hˆ ] 0
就F^是体系的一个守恒量，是与变换Q相联 系的可观测量。
1.空间平移不变性
设体系具有平移不变性，
Dˆ (a) (x) (x a)
其中平移变换： D(a) e i pˆxa
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t
第4章 力学量随时间的演化和对称性
先讨论力学量的平均值如何随时间改变.
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0
第四章力学量随时间的演化与全同粒子精品PPT课件
1 k1 (q1) k1 (q2) 2 k2 (q1) k2 (q2)
若k1=k2，结果如何 ？
若k1=k2，则A≡0，说明这种情况不允许存在。
不允许有两个全同的Femi子处在同一个单粒子态
—Pauli不相容原理
~ ~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~
若初始时刻体系处于守恒量A的本征态,则体 系将保持在该本征态，守恒量有确定值。
若初始时刻体系不处于守恒量A的本征态,则以 后的状态也不是A的本征态,守恒量无确定值，但 其平均值和测量值的几率分布不随时间改变。
② 守恒量与定态 定态: 能量本征态,一切力学量(不显含t, 但不管是 否守恒量)的平均值和测值几率不随时间变。
ddt ak(t)2ddatk *akddatkak *
d
a
* k
dt
ak
复共轭
t(t),kk,(t)复共轭
Hˆ
i
,k
k,
复共轭
1 i
,H ˆk
k,复共轭
Ek i
,kk,复共轭
Ek i
,k 2 复共轭
0
d dt
ak (t) 2
0
即守恒量的取值概率不 随时间变化。
守恒量的几点说明：
① 与经典力学中守恒量的概念不同的是，量子力学 中的守恒量不一定取确定值，即体系的状态不一定 是某个守恒量的本征态。 (取决于初态)
i
i
t
1(,[A ˆ,H ˆ])(,A ˆ)
i
t
所以
d A(t)1[Aˆ,Hˆ]A
dt
i
t
（二）体系的守恒量
d A(t)1[Aˆ,Hˆ]A
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
dinger 方程 o 接地描写各力学量的变化。当然，我们也可以由 Schr
推出一个力学量随时间变化的一般方程，即量子力学运动方程或 海森堡运动方程，由它可以更直接的描述力学量的变化，并可得 出一些重要结论。
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
ˆ F 1 ˆH ˆ H ˆF ˆ ) dx dx ( F t i
ˆ 1 d F F ˆ,H ˆ] 即： [F dt t i
(1)
ˆ 显含时间而引 此即为海森伯运动方程。 其中右边第一项是由于 F
起的，即使 不随 t 变化这一项也存在；第二项是由于 随 t 变 化而引起的，即使 F 不随 t 变化这一项也存在。
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
y
x
y
ˆ ˆ2 L L 0， x t t dL d L2 所以： 0； x dt dt
ˆ L y
ˆ L z ＝0 t t dL y dL z 0； 0 0； dt dt
dinger 方程 o 接地描写各力学量的变化。当然，我们也可以由 Schr
推出一个力学量随时间变化的一般方程，即量子力学运动方程或 海森堡运动方程，由它可以更直接的描述力学量的变化，并可得 出一些重要结论。
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
ˆ F 1 ˆH ˆ H ˆF ˆ ) dx dx ( F t i
ˆ 1 d F F ˆ,H ˆ] 即： [F dt t i
(1)
ˆ 显含时间而引 此即为海森伯运动方程。 其中右边第一项是由于 F
起的，即使 不随 t 变化这一项也存在；第二项是由于 随 t 变 化而引起的，即使 F 不随 t 变化这一项也存在。
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
y
x
y
ˆ ˆ2 L L 0， x t t dL d L2 所以： 0； x dt dt
ˆ L y
ˆ L z ＝0 t t dL y dL z 0； 0 0； dt dt
3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律
§3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律一. 力学量的平均值随时间的变化关系力学量A 在ψ(x ,t)中的平均值为:*ˆ()(,)(,)A t x t Ax t dx ψψ=⎰ (3。
8.1) 因为ψ是时间的函数Â也可能显含时间，所以Ā通常是时间t 的函数。
为了求出Ā随时间的变化，(1)式两边对t 求导dA dt =***ˆˆˆA dx A dx A dx t t tψψψψψψ∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰ (3.8.2) 由薛定谔方程ψψH t i ˆ=∂∂ ，⇒ ψψH i t ˆ1=∂∂ **)ˆ(1ψψH i t-=∂∂∴ ***ˆ11ˆˆˆˆ()()dA A dx H A dx A H dx dt t i i ψψψψψψ∂∴=-+∂⎰⎰⎰(3.8.3) ***ˆ1ˆˆˆˆ[]A dx AH dx HA dx t i ψψψψψψ∂=+-∂⎰⎰⎰ 因为Ĥ是厄密算符**ˆ1ˆˆˆˆ()A dx AH HA dx t i ψψψψ∂=+-∂⎰⎰ ˆ1ˆˆ[,]dA A A H dt t i ∂∴=+∂(3.8.6) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。
若Â不显含t ，即ˆ0A t∂=∂，则有 1ˆˆ[,]dA A H dt i =(4) 如果Â既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â, Ĥ]=0），则由上式有0d A dt= (5) 即这种力学量在任何态ψ之下的平均值都不随时间改变。
证明：在任意态ψ下A 的概率分布也不随时间改变。
概括起来讲，对于Hamilton 量Ĥ不含时的量子体系，如果力学量A 与Ĥ对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。
所以把A 称为量子体系的一个守恒量。
即A 的平均值不随时间改变，我们称满足(5)式的力学量A 为运动恒量或守恒量。
守恒量有两个特点：(1). 在任何态ψ(t )之下的平均值都不随时间改变；(2). 在任意态ψ(t )下A 的概率分布不随时间改变。
38力学量平均值随时间的变化
1
[F, H ]
dt t ih
如果算符不显含时间,
F t
0
则
dF
1
[F, H ]
dt ih
若
[F, H] 0
则
dF 0
dt
(3.8-4) (3.8-5)
(3.8-6) (3.8-7)
(3.8-8)
满足上式的力学量,称为体系的运动恒量。
守恒量的特点
守恒量具有如下特点，即体系在任何状态下：
（1）其平均值不随时间而变化；
§3.8力学量平均值随时间的变化 守恒定律
在波函数 描写的状态中,力学量的平均值为
F *(x,t) F (x,t)dx
因波函数是时间的函数,所以
(3.8-1)
d F d
*(x,t) F (x,t)dx
dt dt
* F dx
*
F
dx
*
F
dx
t
t
t
(3.8-2)
由 Schro&&dinger 方程
t
)
(rv,
t
)
(rv,
t
)
对应 P的本征值 1的态，称寄宇称
得出另一态，称其无确定宇称来自称守恒若体系哈密顿量具有空间反演不变性
H
(rv)
H
(rv)
则
PH
H
P
即
[P, H ]
0，亦即 P
是一个守恒量，或者说
H
描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。
（2）其概率分布不随时间而变化。
证明特点（2）：
因为 [F, H ] 0
，故
F
,
H
具有共同本征函数系n
力学量平均值随时间的变化守恒定律
时间区间
定义时间区间为$[t_1, t_2]$，其中$t_1$和$t_2$分别表示时间区间的起始时间和终止时间。
时间变化的数学表达
时间变化
在物理学中，时间的变化通常用时间导数来表示。时间导数可以表示为$frac{d}{dt}$，其中$d/dt$表示 对时间进行微分。
时间导数的物理意义
时间导数描述了物理量随时间变化的速率。如果一个物理量的时间导数为零，则表示该物理量不随时 间变化。
挑战
目录
Part
01
力学量平均值随时间变化的守 恒定律概述
定义与概念
定义
力学量平均值随时间的变化守恒定律 是指在一定条件下，一个力学量的平 均值不会随时间发生变化，即其时间 导数为零。
概念
该定律是物理学中的基本原理之一， 它表明某些物理量在特定条件下具有 恒定的性质，不受时间的影响。
守恒定律的重要性
希望借助现代科技手段，推动实验观测和数据分析的技术 革新，提高对自然现象的认知和理解。
期望在未来的发展中，能够更好地将基础理论研究与应用 实践相结合，发挥力学量平均值随时间变化的守恒定律在 解决实际问题中的价值和作用。
THANKS
感谢您的观看
结合现代科技手段，如人工智能和大数据分析， 对实验数据进行更深入的挖掘和处理，以揭示 隐藏在数据背后的规律和模式。
拓展力学量平均值随时间变化的守恒定律在复 杂系统和非线性动力学领域的应用，如气候变 化、生态系统和脑科学等。
面临的挑战与问题
如何克服实验观测的局限性，获取更精确和全面的数据，以验证和修正理 论模型。
如何理解和解释力学量平均值随时间变化的守恒定律在不同物理体系中的 共性和差异性。
如何将力学量平均值随时间变化的守恒定律与其他物理定律和原理进行有 机整合，构建更为完整和系统的理论框架。
定义时间区间为$[t_1, t_2]$，其中$t_1$和$t_2$分别表示时间区间的起始时间和终止时间。
时间变化的数学表达
时间变化
在物理学中，时间的变化通常用时间导数来表示。时间导数可以表示为$frac{d}{dt}$，其中$d/dt$表示 对时间进行微分。
时间导数的物理意义
时间导数描述了物理量随时间变化的速率。如果一个物理量的时间导数为零，则表示该物理量不随时 间变化。
挑战
目录
Part
01
力学量平均值随时间变化的守 恒定律概述
定义与概念
定义
力学量平均值随时间的变化守恒定律 是指在一定条件下，一个力学量的平 均值不会随时间发生变化，即其时间 导数为零。
概念
该定律是物理学中的基本原理之一， 它表明某些物理量在特定条件下具有 恒定的性质，不受时间的影响。
守恒定律的重要性
希望借助现代科技手段，推动实验观测和数据分析的技术 革新，提高对自然现象的认知和理解。
期望在未来的发展中，能够更好地将基础理论研究与应用 实践相结合，发挥力学量平均值随时间变化的守恒定律在 解决实际问题中的价值和作用。
THANKS
感谢您的观看
结合现代科技手段，如人工智能和大数据分析， 对实验数据进行更深入的挖掘和处理，以揭示 隐藏在数据背后的规律和模式。
拓展力学量平均值随时间变化的守恒定律在复 杂系统和非线性动力学领域的应用，如气候变 化、生态系统和脑科学等。
面临的挑战与问题
如何克服实验观测的局限性，获取更精确和全面的数据，以验证和修正理 论模型。
如何理解和解释力学量平均值随时间变化的守恒定律在不同物理体系中的 共性和差异性。
如何将力学量平均值随时间变化的守恒定律与其他物理定律和原理进行有 机整合，构建更为完整和系统的理论框架。
第4章 力学量随时间的演化与对称性
1）量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系
的状态并不一定就是某个守恒量的本征态，例如
自由粒子的动量是守恒的，但自由粒子的状态并 不一定处于动量本征态(平面波)。而一般是一个 波包。一个体系在某个时刻t是否处于某守恒量的 本征态，完全依赖于初始状态，若初时体系处于
某守恒量的本征态，则以后任何时候都将处于其
即没有确定的轨道，因而在两波函数重叠的区 域内，我们就无法区分它们。由此可见，
18重叠时，
才是可区分的，波函数发生重叠后，它们就不 可区分。
1
2
1
(a)
2
(b )
(c )
经典粒子的可区分性和 全同典粒子的不可区分 性
19
全同粒子的这种不可区分性是微观粒子所具有
Q I iF
ε是刻画无穷小变换的实参数
QQ ( I iF )( I iF ) I i( F F ) O(2 ) I F F
即F为厄米算符，称为变化Q的无穷小算符。由于它是 厄米算符，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测 量。体系在Q变换下的不变性就导致
17
运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时 刻，都有确定的位置和速度，这样我们就可以
判断哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
但在量子力学中，情况就完全不同了，两个全 同粒子的位置可以用相应的波函数来描述。在 运动过程中，两个波函数会在空间发生重叠。 由于两粒子的固有性质完全相同，同时它们的
位置和速度不象经典粒子那样同时有确定的值，
定态是体系的一种特殊状态。即能量本征态〈在 其中能量有确定的值〉，而守恒量则是体系的一 种特殊力学量，它与体系的哈密顿量对易。在定
的状态并不一定就是某个守恒量的本征态，例如
自由粒子的动量是守恒的，但自由粒子的状态并 不一定处于动量本征态(平面波)。而一般是一个 波包。一个体系在某个时刻t是否处于某守恒量的 本征态，完全依赖于初始状态，若初时体系处于
某守恒量的本征态，则以后任何时候都将处于其
即没有确定的轨道，因而在两波函数重叠的区 域内，我们就无法区分它们。由此可见，
18重叠时，
才是可区分的，波函数发生重叠后，它们就不 可区分。
1
2
1
(a)
2
(b )
(c )
经典粒子的可区分性和 全同典粒子的不可区分 性
19
全同粒子的这种不可区分性是微观粒子所具有
Q I iF
ε是刻画无穷小变换的实参数
QQ ( I iF )( I iF ) I i( F F ) O(2 ) I F F
即F为厄米算符，称为变化Q的无穷小算符。由于它是 厄米算符，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测 量。体系在Q变换下的不变性就导致
17
运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时 刻，都有确定的位置和速度，这样我们就可以
判断哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
但在量子力学中，情况就完全不同了，两个全 同粒子的位置可以用相应的波函数来描述。在 运动过程中，两个波函数会在空间发生重叠。 由于两粒子的固有性质完全相同，同时它们的
位置和速度不象经典粒子那样同时有确定的值，
定态是体系的一种特殊状态。即能量本征态〈在 其中能量有确定的值〉，而守恒量则是体系的一 种特殊力学量，它与体系的哈密顿量对易。在定
第五章 力学量随时间的演化与对称性
不能同时取确定值。 （2） Vivial Theorem 维里定理 ） 不显含 t 的力学量，在定态上的平均是与t 无关。
ˆ ˆ ˆ dr ⋅ p [ r ⋅ p, H ] , =0= dt ih
2 ˆ] 1 ˆ ˆ [ r ⋅ p, H p 1 ˆ ˆ ] + [ r ⋅ p, V( r )] = [ r ⋅ p, ih ih 2 m ih
ˆ 不随t变，而取 As 的几率 ∑ cns 2 也不随t变。 A
n
我们称与体系 H 对易的不显含时间的力学量算符 与体系 ˆ
ˆ A
为体系的运动常数。 为体系的运动常数。
各运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们
ˆ 都与 H对易，但它们之间可能不对易。如
p ˆ + V( r ) H= 2m
与
2
ˆ 2 , L x , L y , Lz对易，但 L , L , L 不对易， ˆx ˆy ˆz L ˆ ˆ ˆ
ˆ x, p x
的平均值。 的平均值。
ˆ A=x ˆ ˆ ˆ d < px > [px , H ] ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ih ∂x
m
d <x> dt
2
2
ˆ d < px > ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ∂x
称为的恩费斯脱定理。 称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来 非常相似
第四章
力学量随时间的演化与对称性
1. 力学量随时间的演化，运动常数（守恒 力学量随时间的演化，运动常数（ 恩费斯脱定理（ 量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）。 恩费斯脱定理 ） （1）力学量的平均值随时间变化，运动常数 ）力学量的平均值随时间变化， 力学量的平均值为： 力学量的平均值为： 它随时间变化为
量子力学5-1 (3)ppt课件
pˆ
2 y
pˆ
2 z
)
i
pˆ 2
2m
m
m
但
[(r
pˆ ),V
(r )]
r
[
pˆ ,V
(r )]
ir
V
(r )
28
所以
[(r
pˆ ),
Hˆ
]
i m
(
pˆ
2 x
pˆ
2 y
pˆ
2 z
)
ir
V
(r )
2iTˆ ir V
EFˆ | E 可见 Fˆ | E 与 | E 均为 Hˆ 的属于同一能量
E 的本征态。 但能级 E 不简并
Fˆ | E F '| E
即 | E 必为Fˆ的本征态 ﹟
21
例
一维谐振子势V (x) 1 m 2 x2中的粒子的能
2 级 是 不 简 并 的 ， 而 空 间反 射 算 符Pˆ 为 守 恒 量
第五章 力学量随时间的演化与对称性
§5.1 力学量随时间的演化 1、守恒量 量子力学中力学量的取值问题与经典不同。
在一个给定的态ψ （一般为力学量的非本征 态）中，力学量的取值有一定的几率分布，从
而有平均值的概念。 由于波函数随时间变化，力学量的平均值也 是随时间变化的。我们下面就研究这个问题。
1
力学量A在态
t
从而有
d A(t) 1 [ Aˆ, Hˆ ]
dt
i
故若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
则有
d A0
dt
力学量的平均值波函数随时间演化方程
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
此之谓Ehrenfest方程， 形式与经典的Newton方程类似，但只有当
的运动规律才与经典粒子相同。 F ( r ) F ( r ) 时，波包中心 r
2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求：
(1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当；
(2) 势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近；
V V V n 1 x y z nc V ( x, y, z ) (cx ) (cy ) (cz ) 令c =1得 r V nV
则由位力定理得
2T r V nV
如谐振子
库仑势
δ势
1 V ( x ) mω 2 x 2 , n 2 V T 2 1 V ( r ) ~ , n 1, V 2T r 1 δ (ax) δ ( x ), n 1, V 2T a
8
a 10 cm
E 5MeV
14 1
δx
a
pα 2mEα 10 g cm s
a mα a δt vα pα
α
在对原子的散射过程中，α粒子穿越原子的时间约为
在该时间间隔内波包的扩散为
δx ~ vα δt
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
1. 经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
此之谓Ehrenfest方程， 形式与经典的Newton方程类似，但只有当
的运动规律才与经典粒子相同。 F ( r ) F ( r ) 时，波包中心 r
2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求：
(1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当；
(2) 势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近；
V V V n 1 x y z nc V ( x, y, z ) (cx ) (cy ) (cz ) 令c =1得 r V nV
则由位力定理得
2T r V nV
如谐振子
库仑势
δ势
1 V ( x ) mω 2 x 2 , n 2 V T 2 1 V ( r ) ~ , n 1, V 2T r 1 δ (ax) δ ( x ), n 1, V 2T a
8
a 10 cm
E 5MeV
14 1
δx
a
pα 2mEα 10 g cm s
a mα a δt vα pα
α
在对原子的散射过程中，α粒子穿越原子的时间约为
在该时间间隔内波包的扩散为
δx ~ vα δt
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kN (q2 )
k1 (qN ) k2 (qN )
kN (qN )
Slater 行列式
N个全同Bose子组成的体系
ψS n1nN
(q1,,
qN
)
ni!
i
N!
P[φ k1 (q1 )φ k N (qN )]
P
其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成 的置换，这样的置换数为
N!
dt
dt
dt
1 i
(U
HAU
U
AHU
)
利用U的幺正性，及U+HU=H
d dt
A(t )
1 i
(U
HUU
U
AHUU
HU
)
1 i
( HA(t )
A(t ) H
)
则
d dt
A(t
)
1 i
[
A(t
),
H
]
(12)
上式称为Heisenberg方程。
利用U的幺正性，及U+HU=H
d dt
A(t )
Hˆ
]
1 i
eiHˆt /[rˆ,
pˆ 2
/
2m]eiHˆt
/
eiHˆt / pˆ eiHˆt / pˆ
m
m
则 rˆ(t) rˆ(0) pˆ t
t
力学量平均值随时间的变化
d dt
A(t)
1 i
[ A,
H
]
( 3)
波函数随时间演化可写成
ψ (t) U (t,0)ψ (0), (4)
U (0,0) 1
( 5)
U (t,0) 称为时间演化算符。
(4) 代入(2)得到
i U (t,0)ψ (0) HU (t,0)ψ (0)
t
则
i U (t,0) HU (t,0) (6)
t
积分得
U (t,0) eiHt /
( 7)
可以证明： U (t,0)U (t,0) U (t,0)U (t,0) 1 (8)
U (t,0) 是幺正算符。
(ψ (t),ψ (t)) (ψ (0),ψ (0)) (9)
2. Heishenberg 图像 波函数不变，算符随时间变化
A(t) (U (t,0)ψ (0), AU (t,0)ψ (0))
d
r
p
0
dt
（定态下力学量的平均值不随时间 变化）
则
1
p2
r V
m
2T r V
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
r
p
1
(r
p
p
r)
2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到 定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
ni!
i
§4.3 Schrödinger图像和Heisenberg图像
1. Schrödinger 图像
力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。
力学量的平均值
A(t) (ψ (t), Aψ (t)) (1)
波函数随时间演化方程---Schrödinger 方程
i ψ (t) Hψ (t) (2)
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
1. 力学量的平均值随时间的变化
d dt
A(t)
1 i
[
A,
H]
A t
2.守恒量 若 [ A, H ] 0
则ห้องสมุดไป่ตู้
d A(t) 0
dt
A称为守恒量
3. 守恒量的性质
如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
1 i
(U
HUU
U
AHUU
HU
)
1 i
( HA(t )
A(t ) H
)
则
d dt
A(t )
1 i
[
A(t
),
H
]
(12)
上式称为Heisenberg方程。
例题1 自由粒子 H p2 / 2m [ p, H ] 0
p为守恒量，则 p(t)=p(0)=p
d dt
rˆ (t )
1 i
[rˆ (t ),
A k1k2k3
(q1,
q2
,
q3
)
1 3!
k1 k2 k3
(q1 ) (q1 ) (q1 )
k1 (q2 ) k2 (q2 ) k3 (q2 )
k1 (q3 ) k2 (q3 ) k3 (q3 )
A k1k N
(q1,,
qN
)
k1 (q1) 1 k2 (q1)
N!
kN (q1)
k1 (q2 ) k2 (q2 )
（2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变
6. 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
(1) 两个全同粒子组成的体系
S k1k2
(q1,
q2
)
1 2
[
k1
(
q1
)
k
2
(
q2
)
k1
(
q2
)
k
2
(q1
)]
A k1k2
(q1,
q2
)
1 2
[
k1
(q1
)
k2
(
q2
)
k1
(q2
)
k2
(q1
)]
(2) N个全同Femi子组成的体系
三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 不同的单粒子态φk1, φk2, φk3 上，则反对称波函数为
d A(t) 0 dt
d dt
ak (t) 2
0
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 守恒量对应的量子数称为好量子数 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。
V (cx, cy, cz) cnV (x, y, z)
证明 2T nV
8. Feynman-Hellmann定理
设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为 En , n
若H中含有参数λ，则有
En
n
H
n
9. 全同粒子体系与波函数的交换对称性
Pij , 对称波函数 Pij ， 反对称波函数
(ψ (0),U (t,0)AU (t,0)ψ (0))
(ψ (0), A(t)ψ (0))
(10)
A(t) U (t,0) AU (t,0)
(11)
算符的演化方程----Heisenberg 方程
d A(t) d U (t,0) AU (t,0) U (t,0) A d U (t,0)
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE， 则ΨE必为F 的本征态。
7. 位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
H
p2
/ 2m
V (r )
r·p的平均值随时间的变化为
i
d
r
p
[r
p, H ]
1
[r
p,
p2]
[r
p,V
(r )]
dt
2m
对定态有
i
p2 m
r V