(整理)广义积分的收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰

+∞a

dx

x f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有

ε<⎰|)(|/

b b dx x f

证明：对+∞→b lim

0)(=⎰

+∞

b

dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．

同样对瑕积分⎰b a

dx x f )((b 为瑕点), 我们有

定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰b

a dx x f )(收敛的

充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<

εηη<⎰--|)(|/

b b dx x f

定义9.5如果广义积分⎰+∞

a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰

+∞a

dx

x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞

a dx x f )(收敛而非绝

对收敛，则称⎰

+∞a

dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．

由于a A A ≥∀/,，均有

|)(|/

⎰

A A

dx x f ≤⎰/

|)(|A A dx x f

因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞a

dx x f )(绝对收敛，

则广义积分⎰+∞

a

dx x f )(必收敛．

它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．

下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：

定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有

),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数）

则当⎰+∞

a dx x )(ϕ收敛时,

⎰+∞

a

dx x f )(也收敛;

当⎰

+∞a

dx x f )(发散时,

⎰+∞

a

dx x )(ϕ也发散．

证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使

∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则

1） 如⎰b

a

dx x g )(收敛，则⎰b

a

dx a f )(也收敛。

2）如⎰b a

dx x f )(发散，则⎰b

a

dx x g )(也发散．

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()

(lim l x g x f x =+∞

→

则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且⎰+∞

a

dx x g )(收敛, 则积分⎰+∞

a dx x f )(也收敛．

(2) 如果+∞≤

a

dx x g )(发散，则积分⎰+∞

a dx x f )(也发散．

证明：如果,0)()

(lim

≠=∞

→l x g x f x

则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )

()

(0

即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然

⎰+∞

a

dx x f )(与

⎰+∞

a

dx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有

定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰b a dx x f )(与⎰b

a dx x g )( 如果

f (x ),

g (x ) 是非负函数，且,)()

(lim l x g x f b

x =-

→

则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰b

a

dx x g )(收敛时，则⎰b a

dx x f )(也收敛．

（2） 当+∞≤

dx x g )(发散时，则⎰b

a

dx x f )(也发散．

对无限区间上的广义积分中，取⎰

∞

+a

p dx x

1

作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么:

定理9.8 若0≤f (x )≤p x

c

， p >1,那么积分⎰+∞a

dx x f )(收敛，如

f (x )≥p x

c

，p ≤1,则积分⎰+∞a

dx x f )(发散．

其极限形式为

定理9.9 如+∞

→x lim l x f x p =)(

(+∞<≤l 0, p >1), 则积分⎰+∞

a

dx x f )(收