层次分析法

1
7.1
AHP方法的基本原理
一、递阶层次结构模型
首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层 次结构模型。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层 次。同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层 次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。AHP的层次结构，既可以
7.1
AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
[例3]设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵
Cr
Al
Al
a11
A2
a12
A3
a13
A2
A3
a21
a31
a22
a32
a23
a33
3 1 / 4 1 A 1 / 3 1 5 4 1/ 5 1
三、判断矩阵的一致性
定理2:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵； ③ A 的每一行均为任意指定一行的正数倍数； ④ A 的最大特征值max=m，其余特征值均为0 ； ⑤ 若A的属于max的特征向量为 X ( x1 , x2 ,, xm )T
max 2
m aii m , 即 |
i 1
m
|
i 2 i
m
max
m
为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取
| i |
i 2
m
m 1

max m
m 1
C .I
作为检验判断矩阵一致性指标。
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7.1
AHP方法的基本原理
(1) g2
总目标 ……
(1) gn 1
第1层子目标
g1( n )
(n) g2
……
( n) gn n
第n层子目标
C1ຫໍສະໝຸດ Baidu
C2
……
Cs
方案层
层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存 在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则称此元 素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系， 则称为不完全层次关系。 在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过 多。每一层次元素一般不要超过9个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一 个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。
10
7.1
AHP方法的基本原理
A (aij )mm，A 0,
三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
1 (1) aii 1, (2) aij ； i , j 1, 2, a ji
则称 A 为互反矩阵。
,m
定义2:设
A (aij )mm，A 0,
如果满足下列三个条件：
A (aij )mm，A 0,
A 是互反矩阵。
① 若max是 A 的最大特征值，则 max ≥m ② 若1,2,…,m 是A的特征值，则

i, j i j
i
j 0
③ A 是一致性矩阵的充分必要条件是 max=m
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7.1
AHP方法的基本原理
A (aij )mm，A 0,
阶数
R.I.
9
1.46
10
1.49
11
1.52
12
1.54
13
1.56
14
1.58
15
1.59
一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率
C .R
C .I R. I
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7.1
AHP方法的基本原理
三、判断矩阵的一致性
用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致 性越好。一般认为，当C.R≤0.1时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排 序的结果是可以接受的。否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。
6
7.1
AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
设3个物体重量组成的向量为 G ( g1 , g2 , g3 )T
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g /g g /g g /g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
1-9标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看， 在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。 根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介 于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将l-9标度方法和其它 标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法 9 比较，能更有效地将思维判断数量化。
可行性 B3
发展前景 B4
实 用 价 值 C1
经 济 效 益 C11 社 会 效 益 C12
科 技 水 平 C2
优 势 发 挥 C3
难 易 程 度 C4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
课题1
……
课题N
5
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AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 1之间。在给定的决策准则之下，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算 得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程。
[例2]设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将每 一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，得到3个 重量比值gi/g1 ，gi/g2，gi/g3 (i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A，称为3个物体 重量的判断矩阵。
g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 A (aij )33 g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g /g g /g g /g 3 1 3 2 3 3
3 1 / 4 1 产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性， A 1 / 3 1 5 但是不一定具有一致性，即不一定满足 4 1/ 5 1
有：aij
xi ,( i , j 1, 2, xj
, m)
aik aij ； i , j , k 1, 2, 3 a jk
3
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AHP方法的基本原理
一、递阶层次结构模型
[例1] 构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因素：成果贡献、人 才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个： ① 实用价值。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值 与成果贡献、人才培养、发展前景等目标都有关系。 ② 科技水平。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接 关系到成果贡献、人才培养、发展前景。 ③ 优势发挥。课题发挥本单位学科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利 因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。 ④ 难易程度。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可 能性。与课题可行性、发展前景相关联。 ⑤ 研究周期。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。 ⑥ 财政支持。是指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直 接相关。
三、判断矩阵的一致性
C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越 大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离 一致性越小。当阶数m≤2时，C.I=0，判断矩阵具有完全一致性。因此， 必须引入平均随机一致性指标R.I，随判断矩阵的阶数而变化，如下表。 这些R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出 一致性指标，并加以平均而得到的。 阶数 R.I. 1 0 2 0 3 0.52 4 0.89 5 1.12 6 1.26 7 1.36 8 1.41
AG 3G
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的 重量，就是判断矩阵最大特征值3的特征向量的各个分量。
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7.1
AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
g1 / g2 g1 / g3 a11 a12 a13 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 1 判断矩阵 A a21 a22 a23 g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 / g1 1 g / g 2 3 a a a g / g g / g g / g g / g g / g 1 31 32 33 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2
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7.1
AHP方法的基本原理
尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大
三、判断矩阵的一致性
于阶数m，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的 层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验， 使之达到满意的一致性标准。 设判断矩阵A的全部特征值为：1= max，2，，m 由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，，m)。由矩阵理论有
是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型：
① 最高层。只包含一个元素，表示总目标层。 ② 中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，
称目标层。
③ 最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层。
2
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AHP方法的基本原理
一、递阶层次结构模型
G
g 1(1)
aik 1 (1) aii 1, (2) aij , (3) aij ； i , j, k 1, 2, a ji a jk
则称 A 为一致性矩阵。
,m
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AHP方法的基本原理
A (aij )mm，A 0,
三、判断矩阵的一致性
定理1(Perron):设 则：
① A 有最大的正特征值max，并且max是单根，其余特征值的模均小于max ② A 的属于max的特征向量 X＞0 定理2:设
元素 aij＞0（称为正矩阵），i,j=1,2,3，并且满足下列三个条件：
aik 1 (1) aii 1, (2) aij , (3) aij ； i , j, k 1, 2, 3 a ji a jk
产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵的最大特征值是否存在， 是否为单根?
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7.1
第一章 层次分析法(AHP)
AHP (Analytic Hierarchy Process)方法，又称为层次分析法或多层 次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学 萨蒂(T· L· Saaty)教授首次提出来的。 该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效地分析目 标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。 由于系统、简洁、实用，在社会、经济、管理等许多方面，得到越来越广 泛的应用。
科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次 序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立科研课题决策的层次结构模 型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明。
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7.1
AHP方法的基本原理
综合评价科研课题A
一、递阶层次结构模型
成果贡献 B1
人才培养 B2
AHP方法的基本原理
二、判断矩阵及其特征向量
实际中，判断矩阵的构造采用Saaty引用的1-9标度方法，各级标度含义如下表。
标度 1 3 5 7 9 2,4,6,8 上列标度倒数 定 义 同样重要 稍微重要 明显重要 强烈重要 极端重要 相邻标度中值 反比较 含 义 两元素对某准则同样重要 两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要 两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要 两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要 两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要 表示相邻两标度之间折衷时的标度 元素i对元素j的标度为aij，反之为l/aij