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2020年“名师杯”全国教师公开 课大奖赛获奖作品
1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
3、世界会向那些有目标和远见的人让路。
4、必须从过去的错误学习教训而非依赖过去的成功。
5、美丽的花虽然会凋谢，可是盛开的时刻值得欣赏。要在美 好的时候创造出美好的东西，人生才会充满意义。
例3 填空：
知2－讲
(1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半 径r(cm)之间的函数关系式是__V_＝__1_4_π_r_2(_r_＞_0_)__；
(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y， y与x之间的函数关系式是__y＝__－__x_2_＋_2_0_x_(_0_≤_x_≤_10_)___．
y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60 000.
知识点 1 二次函数的定义
知1－导
做一做
银行的储蓄利率是随时间变化的，也 就是说，利率是一个变量.在我国，利率的 调整是由中国人民银行根据国民经济发展 的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x， 一年到期后，银行将本金和利息自动按一 年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那 么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式. （来自《教材》）
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点 2 利用二次函数的表达式表示实际问题
1．根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤： (1)确定自变量与因变量代表的实际意义； (2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关 系列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
2．易错警示：一般情况下，二次函数中自变量的取值范 围是全体实数，但对实际问题的自变量的取值范围必 须使实际问题有意义．
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因 变量？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙 子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x 之间的关系式.
总结
果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x） 个橙子，因此果园橙子的总产量
（来自《典中点》）
1.关于二次函数的定义要理解三点： (1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实
数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实 际意义． (2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要 把函数表达式化为一般式． (3)二次项系数不为0.
2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤：
想一想
知1－导
（1）两数和是20，设其中一个数是x，你能写出中两 数之积y的表达式吗？
（2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2 吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的 面积与其一边长的关系吗？
（来自《教材》）
知1－讲
1．定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示 成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x 的二次函数；其中a是二次项系数，b为一次项系数，c为 常数项．
6、失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如 我要，我就一定能！
7、让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！
8、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。
9、永不言败，是成功者的最佳品格。
10、一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较 的少。
11、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。原谅别人，就是 善待自己。
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数 的表达式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个 条件：
(1)所表示的函数的表达式为整式； (2)函数的表达式有唯一自变量； (3)自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2
已知函数y＝(a－b)x3＋2x2＋2＋
2a
b x
3
是y关
于x的二次函数，求a，b的值．
导引：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多项 式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．
解：由题意得
a b 0, 2a b 3
0,
解得
a b
1, 1.
（来自《点拨》）
花园的面积不能达到200 m2.
（来自《点拨》）
知2－讲
总结
(1)此题将生活问题转化为几何问题，列生活中有关几何
面积问题的函数关系式，一般先要根据题中条件求出
自变量的取值范围，再由相关的面积公式求出函数关
系式．
(2)求自变量的取值范围，应结合问题，全面考虑，不要
漏掉一些约束条件(如本例中墙长15 m)，列不等式组
是求自变量取值范围的常用方法．
(3)本例(2)中常常因不考虑自变量x的范围而出现错误结
论．
（来自《点拨》）
知2－练
1 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年 后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达 式为( )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
24、一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这样心无 压力，出来的结果反而会更好。
第二章 二次函数
第1节 二次函数
1 课堂讲解 二次函数的定义
利用二次函数的表达式表示实际问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结 600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距 离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会 少结5个橙子.
（来自《典中点》）
知2－练
2 (2015·温州)如图，∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线 ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交 OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH，
已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x， 图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数表达式是
要点精析：(1)二次函数必须满足三个条件： ①函数表达式为整式； ②函数表达式有唯一的自变量； ③自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.
(2)二次函数中自变量的取值范围是一切实数，函数值范围不 是一切实数．
知1－讲
2．判断一个函数是否为二次函数的方法： (1)将函数表达式整理为右边是含自变量的代数式，左边是
(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2； (3)y＝3a3＋2a2；
(4)y＝x－2＋x;
(5)y＝3(x－2)(x－5);
(6)y＝x2＋
1 x2
.
解：(2)与(5)是二次函数．(2)y＝－5x2的二次项系数为
－5，一次项系数和常数项为0；(5)化为一般式，
得到y＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)满足条件的花园的面积能达到200 m2吗？若能，求出此
时x的值，若不能，说明理由．
导引：本例根据实际问题建立数学模型，转化为几何问题， 得出的有关结果要符合实际，因此列函数关系式时， 要求出自变量的取值范围．
知2－讲
解：(1)因为栅栏的总长为40 m，如图，
导引：(1)根据圆柱体积公式V＝πr2×h求解；
(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝
S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x(10－x) ＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②减少的面积y＝
S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2
＋20x，③减少的面积y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10
－x)2＝－x2＋20x.
（来自《点拨》）
知2－讲
总结
(1)求几何问题中二次函数的关系式，除了根据有关面积、体积公式
写出二次函数关系式以外，还应考虑问题的实际意义，明确自变
量的取值(在一些问题中，自变量的取值可能是整数或者是在一
定的范围内)；
(2)如果不能通过已知条件直接写出函数关系式(直接法)，应适当考
19、滴水穿石,不是力量大,而是功夫深。
20、必须不断汲取专业知识但不要以专家自居以专家自居 的想法会损害产生新思想、运用新思想的能力。
21、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的 荣耀。
22、每个人都必须发展两种重要的能力适应改变与动荡的 能力以及为长期目标延缓享乐的能力。
23、将一付好牌打好没有什么了不起能将一付坏牌打好的 人才值得钦佩。
12、未必钱多乐便多，财多累己招烦恼。清贫乐道真自在， 无牵无挂乐逍遥。
13、处事不必求功，无过便是功。为人不必感德，无怨便是 德。
14、平安是幸，知足是福，清心是禄，寡欲是寿。
15、人之心胸，多欲则窄，寡欲则宽。
16、宁可清贫自乐，不可浊富多忧。
17、受思深处宜先退，得意浓时便可休。
18、势不可使尽，福不可享尽，便宜不可占尽，聪明不可 用尽。
虑通过割补法，将问题转化为几个图形面积和差的问题(间接法)，
再寻求解答；判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，
不要漏掉一些约束条件．列不等式组是求自变量的取值范围的常
见方法．
(3)如果要作实际问题中的函数的图象，注意其图象应是在自变量取
值范围内的部分图象．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4〈易错题〉在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要 在一块靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD， 花园的一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围成，若设 花园平行于墙的一边长为x m，花园的面积为y m2.
5 若y＝(m－1)x m2＋1是二次函数，则m的值是( ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
6 下列结论中正确的是( ) A．二次函数中两个变量的值是非零实数 B．二次函数中变量x的值可以是所有实数 C．形如y＝ax2＋bx＋c的函数叫二次函数 D．二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值均不能为零
若BC的长为x m，则AB的长为
40 x
m.
0 x≤15,
2
由
40 x
可得0<x≤15.
2 0,
根据题意，得y＝x·
40 2
x
，即y＝－
1 2
x2＋20x，
所以y＝－ 1 x2＋20x(0<x≤15)．
2
(2)不能．理由如下：当y＝200时，－
1 2
x2＋20x＝200，所
Fra Baidu bibliotek
以x2－40x＋400＝0.解得x1＝x2＝20.因为0<x≤15，所以此
因变量的形式； (2)判断右边含自变量的代数式是否为整式； (3)判断自变量的最高次数是否为2； (4)判断二次项系数是否为0. 3．易错警示：判断一个函数是不是二次函数，化为一般形
式后当二次项系数包含字母时，一定要注意二次项的系 数不能为零这一条件．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数 的二次项系数、一次项系数和常数项．
()
A．y＝ 3 x2
2
B．y＝ 3 x2
C．y＝2 3 x2 D．y＝3 3 x2
（来自《典中点》）
知2－练
3 下列函数关系中，不是二次函数的是( ) A．边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系 B．一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个 直角三角形的面积y与一条直角边长x的函数关系 C．在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方 形，剩余面积S与t的函数关系 D．多边形的内角和m与边数n的函数关系
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义； (2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关
系列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
A．y＝
1 x2
C．y＝2x2－1
B．y＝x2＋ 1 ＋1
x
D．y＝ x2 1
3 下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c B．x2＋y－2＝0
C．y2－ax＝2
D．x2－y2＋1＝0
（来自《典中点》）
知1－练
4 若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
总结
知1－讲
当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须 满足二次项系数不为0这一条件．
（来自《点拨》）
知1－练
1 (2015·兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋
1 x
2 下列各式中，y是x的二次函数的是( )