高中数学 1.3.1函数的单调性教案 新人教版必修1

1.3.1（1）函数的单调性（教学设计）

教学目标

（一）知识与技能目标

学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：

1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义

2、会根据函数的图像判断函数的单调性

3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数

（二）过程目标

1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力

2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养

（三）情感、态度和价值观

1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯

2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心

教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明

一、复习回顾，新课引入

1、函数与映射的定义。

2、函数的常用表示方法

3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？

4、作出下列函数的图象：

（1）y=x ； (2)y=x 2 ；

二、师生互动，新课讲解：

观察函数y=x 与y=x 2的图象，当x 逐渐增大时，y 的变化

情况如何？

可观察到的图象特征：

（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；

（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右

侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应

y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y

x

1 -1 1 -1

的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．

归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．

1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？

在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用

数学符号语言来描述这种关系呢？

对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，

有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．

课堂练习

请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．

2．增函数和减函数的定义

设函数)(x f 的定义域为I ：

（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都

有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．区间D 叫做函数的增区间。

（2）请你仿照增函数的定义给出函数)(x f 在区间D 上是减函数的定义．

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有

)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）．区间D 叫做函数的减区间。

3．对定义要点分析

问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？

（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？

引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D 上的任意两个自变量都有…”的含义．

例题选讲：

例1：（课本P29例1）图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出x=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数．

解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数．变式训练1：如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32 C），观察这张气温变化图：

问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？

问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？

例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．

证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则

f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)

=3(x1-x2)．

由x1＜x2，得x1-x2＜0，

于是 f(x1)-f(x2)＜0，

即 f(x1)＜f(x2)．

所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数．

想一想：函数f(x)=-3x+2在R 上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的结论是否正确．

归纳：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2

)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 变式训练2：

（1）证明函数y=1x 在(0,+∞)上为减函数。

（2）证明函数x x y 1+=在（1，+∞）上为增函数．

课堂练习：（课本P32练习NO ：1；2；3；4）

三、课堂小结，巩固反思：

（1）增减函数的图象有什么特点？

增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．

（2）用定义证明函数的单调性：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

（3）如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间．

四、布置作业：

A 组：

1、（课本P39习题1.3A 组NO ：1）

2、（课本P39习题1.3A 组NO ：2）

3、（课本P39习题1.3A 组NO ：3）

4、证明函数x

x y 1+=在（0，1）上为减函数．