二次函数中的焦点与准线问题

二次函数中的焦点与准线问题

【例题讲解】

（ 2011 年·黄冈市）如图所示，过点F（ 0， 1）的直线 y=kx＋ b 与抛物线y 1

x2交于4

M （ x1， y1）和 N（ x2， y2）两点（其中x1＜ 0， x2＜0）．

⑴求 b 的值．

⑵求 x1x2的值

⑶分别过M、 N 作直线 l ：y=－ 1 的垂线，垂足分别是M1、 N1，判断△ M1FN 1的形状，

并证明你的结论．

⑷对于过点 F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切．如

果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，

请说明理由．

解：⑴ b=1

x x

1 和

x x

2是方程组

y k x 1

⑵ 显然的两组解，解方程组消元得

y y1y y2y 1 x2

4

1 x2kx10 ，依据“根与系数关系”得x1·x

2 =－ 4.

4

⑶△ M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知 M1的横坐标为x1， N1的横坐标为x2，设 M1N1交 y 轴于 F1，则 F1M1?F1N1=－ x1?x2=4，而FF1=2，所以 F1M1?F1N1=F1F2，另有∠ M1F1F=∠FF1N1=90°，易证 Rt△ M1FF1∽ Rt△ N1FF1，得∠M1FF1=∠ FN1F1，故∠ M1FN1=∠ M1FF1＋∠ F1FN1=∠ FN1F1＋∠ F1FN1=90°，所以△ M1FN1是直角三角形．

⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：

直线 y=－1即为直线 M1N1．

如图，设 N点横坐标为 m，则 N点纵坐标为1

2

1

1 2，44

NF=

m212212

1

，得 NN1NF (m1)m=

44

同理 MM1=MF．

那么 MN=MM＋ NN，作梯形 MMNN的中位线 PQ，由中位线性质知1（ MM＋ NN）=1MN，

PQ=

1111

2112

即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．

通过此题，可以得到如下一些性质：

③ y 1 y 2=1; ④ y 1+y 2=4k 2

+2 性质 1：① x 1 x 2 =-4; ② x 1+x 2 =4k;

性质 2： M 1F ⊥ FN 1

性质 3： NF=NN 1，MF=MM 1， MN=MM 1 +NN 1. 性质 4： MQ ， NQ 分别为∠ M 1MN ，∠ N 1NM 的平分线 . 性质 5： FQ ⊥ MN.

性质 6：在直角梯形

MMN N 中，以 M1N1为直径的圆与

MN 相切，切点为 F.

1

1

性质7：

1

1 1

MF

NF

性质 8： MQ ⊥ MF,NQ ⊥ N F, 且 MQ 与 MF 和 NQ 与 NF 的交点在 x 轴上 .

1

1

1

1

性质 9：点 M ， O ， N 1 共线； N ， O ， M 1 共线 .

【练习巩固】

1.(2014 年湖北咸宁 ) 如图 1，P （ m ，n ）是抛物线 y

x 2 l 是过点 （ 0， 2 ）

1上任意一点，

4

且与 x 轴平行的直线，过点 P 作直线 PH ⊥ l ，垂足为 H ．

【探究】

（1）填空：当 m ＝0 时， OP ＝ ，PH ＝

；当 m ＝ 4 时， OP ＝

， PH ＝

；

【证明】

（ 2）对任意 m ，n ，猜想 OP 与 PH 的大小关系，并证明你的猜想．【应用 】

（ 3）如图 2，已知线段 AB=6，端点 A ， B 在抛物线 y

x

2

1上滑动，求 A ，B 两点到直

线 l 的距离之和的最小值．

4

y

y

A

P （m ，n ）

O

x

B

O

x

l

－2 H

－2 l

(第 23 题图 1)

(第 23 题图 2)

2

2. （ 2013?南宁）如图，抛物线 y=ax +c （a ≠0）经过 C （2，0），D （ 0，﹣ 1）两点，并与直 线 y=kx 交于 A 、B 两点，直线 l 过点 E （ 0，﹣ 2）且平行于 x 轴，过 A 、 B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 M 、 N ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证： AO=AM ； （3）探究：

① 当 k=0

时，直线

y=kx

与 x 轴重合，求出此时

的值；

② 试说明无论

k 取何值，

的值都等于同一个常数．

3. 2015 y=kx+b k 0 F 0 1

y = 1 2 相交 ）过点 x （ ·四川资阳）已知直线 （ ≠ （ ， ），与抛物线

4

于 B 、C 两点 .

（ 1）如图 13-1 ，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式；

（ 2）在（ 1）的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D ，是否存在这样的点 M ，使得以 M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（ 3）如图 13-2 ，设 B （m, n ）( m <0) ，过点 E （0， 1）的直线 l ∥x 轴， BR ⊥ l 于 R ，CS ⊥ l

于 S ，连接 FR 、 FS ．试判断△ RFS 的形状，并说明理由．

4.（ 2015 年福建泉州）抛物线

y= x 2

上任意一点到点（ 0， 1）的距离与到直线

y=﹣ 1 的距

离相等，你可以利用这一性质解决问题．

问题解决