渐变折射率光纤

rtp
时
dr dz
r'
0
，
于是得到
2r'2
2
dr dz
2
n2 r 2
l
2a r2
2
g r
4 9
上式引进了一个新函数g(r)，只有其为非负值时，方程在实数范
围内才可能有解，光线的路径方程才能存在，这是一个判定光线类
型的判据。
根据l的不同取值，可以画出函数g(r)的曲线，有四种情况。
首先可以看到的是，除了l=0，即子午光线以外，在 r 0时，总有
光线可以从纤芯折射入包层，这就是折射光线，图c的情形。
由g(r) 的定义式可以看到，对于l 0 的偏斜光线，这种情形的条 件是0 2 l2 n22 ，对于l=0的子午光线，条件则变为 0 2 n22 。
3. 如果上述条件都不满足，即 n2 和n22 2 l2，这时我们可以发
现g(r) =0在r a范围内有两个根ric 和 rtp，同时在r a区域，也就是
包层内还有一个根，记 r rrad ，当r rrad 时也有gr 0 ，即此时也
有光线路径存在，称为漏泄光线。r rrad的面称为辐射焦散面，从 g(r)=0可以求得其值为
r2
1
a2l2 n2 r 2
4 8
从上式可以看到，有两种情况：
l=0,则上式只有一个有意义的解 nr ，而 ric 0 ，这就是子
午光线的情况；
l 0 , 则上式有两个正实数的解,大的一个是rtp ,小的一个是ric ， 这就是偏斜光线的情况；
将(4-3)中关于dz和ds几何关系的二式,即ds dz cosz r，和 (4-3)
五、梯度光纤
•1. 几何光学方法 •2. 标量近似解析方法
•1. 几何光学方法
阶跃光纤，结构简单，容易分析，缺点是存在严重的多径色散；改 进的方法是可以将光纤纤芯折射率做成渐变的，一般让纤芯折射率 从中心轴到包层的分界面单调下降，而且折射率呈轴对称分布。这 样的光纤称为梯度光纤(GI)。
折射率分布
沿z轴方向具有不变性。我们可以定义光线传播过程中的不变量
nr
dz ds
nr cosz
r
4 4
上式其实也可以从光线路径方程(4-2)的第3式积分得到，我们来
得到不变量，将(4-2)的第2式两边同乘以 r 2 ，可以得到
r2 d nr d r2nr d dr d r2nr d 0
ds ds
余范围都有 gr 0 ，这就是偏斜束缚光线；
b. 图b所示的情形，gr 0 时取最大值，r 0 时g(r) 单调下降，当
时 r rtp ，gr 0 时r rtp gr 0 ，这就是子午束缚光线。
两种情形下，包层中没有光线，即光线是束缚光线，等价条件为
n2 n1
2. 如果在r a 范围内总有gr 0 ，这说明包层中存在光线路径，即
n
r
n1 n2
r
n1
r
a
ra ra
4 1
梯度折射率光纤折射率分布
•a.路径方程和光线不变量
以光纤轴为z轴构建圆柱坐标系(r,φ,z),此时可以将光线的路径方
程分离成三个变量的独立方程，为
d ds
nr
dr ds
rn r
d ds
2
dn r
dr
d ds
n
dr ds
n
d
ds
nr
曲线，这在横截面内的投影是长度2rtp 的线段，rtp 是光线外焦散面
的半径。
对于偏斜光线，在空间的路径是螺旋状的曲线，它交替的与
r rtp和 r ric的圆柱面相切。rtp 为折返点(或外散焦散面)半径， ric为内焦散面半径。
偏斜光线传播中的空间曲线在横截面内的投影类似于一个椭
圆(一般不封闭)。由于光线路径始终与内、外焦散面相切，而在切
ds ds ds
ds
将上式积分，可以定义光线在传播过程中的第二个不变量l, 即
l
r2 a
nr
d ds
r a
n r sinz
r cos
r
4 5
将(4-4)(4-5)和阶跃光纤中的情况做比较，可以发现后者只是前者在
n(r)=n1, r=a的特例。利用这两个定义式，消去光线与z轴夹角的因子，
可以得到偏斜角与折射率分布的关系
d ds
2n r
r
d ds
dr ds
0
d ds
n
r
dz ds
0
梯度光纤中，因为折射率分布不均匀，
4 2
一般呈轴对称分布，所以光线在纤芯中传播
路径一般为曲线。各角度间有如下关系
dr
ds
cos
r
dz
ds
cosz
r
d ds
1 r
sin
z
r cos
r
4 3
由于梯度光纤的几何结构和折射率分布一般都是轴对称分布的，
cos
r
a r
n2
1
r
1
2
这个关系其实可以用来区分光线分类。
4 6
•b.光线分类及光线路径
梯度光纤中光线在传播过程中仍然可以分为子午光线和偏斜 光线。由于梯度光纤的几何结构和折射率分布一般都是轴对称分 布的，沿z轴方向具有不变性，两类光线的路径都是周期性曲线。
子午光线仍然定义为传播过程中过光纤纤芯的光线。从下图 可以看到，在梯度光纤中，此类光线是光纤纤芯纵剖面内的平面
中的 d ds关系，一起代入路径方程(4-2)的一式中，可以得到
2
d 2r dz2
l2
a2 r3
Байду номын сангаас
1 2
dn2 r
dr
求解上式，首先做变量代换，令dr
dz
r ' ，则 d 2r
dz2
r'
dr ' dr
1 2
dr2 ，代
dr
入上式，得到
d
dr
2r'2 n2 r
2
l
2a2 r3
化解成一阶微分方程后，积分上式，并注意 r
点上必有偏斜角 r 0 ，由此可从(4-6)得到内、外焦散面的半
径 rtp、ric 满足下列关系
n2
r
2
a2 r2
l2
0
4 7
ric
偏斜光线的传播路径及在横截面上的投影
分析上式，可以看到，只要光纤折射率分布n2 r 确定以后，光线
的初始条件 2 和 l 2 可以确定 rtp、ric。
可以将上式转化为关于r的二次方程，为
gr 0；因而对 l 0，即偏斜光线，在 r 0时，光线路径不能存在，
即它不能与光纤轴相交；对l=0的情形，在r=0时 gr n12 2 0，而且
g(r)在光纤轴上取最大值，路径总与光纤轴相交。
具体来看，有
1.如果r a时总有 gr 0 ，这说明在包层中不存在光线的路径，这
就是束缚光线的情况。其中又包含两种情形。 a. 图a所示的情形，仅在 0 ric r rtp a 范围内g(r) 的值为正，其