第36届加拿大数学奥林匹克(CMO)概要

第36届加拿大数学奥林匹克（CMO ）

2004．3．31

1．求所有满足方程组xy z x y xz y x z yz x y z =--⎧⎪=--⎨⎪=--⎩

的三元实数组(,,)x y z ．

[解答]原方程组可化为()()()()()()111111111

x y z x z y y z x ++=+⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩，令1,1,1m x n y t z =+=+=+，

则可得(1)(2)(3)

mn t mt n

nt m =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若,,m n t 有一个为0，则其余两个必为0，000（，，）为方程组的解， 设,,m n t 是非0实数，将（1）代入（2）、（3）得m mn n n mn m ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解之得11

m n =±⎧⎨=±⎩，

则得到新方程组的解，(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)------，故原方程组的解为(1,1,1),(0,0,0),(0,2,2)(2,0,2),(2,2,0)---------

2．将8个车放到如图的9×9棋盘中，使得这8个车互不攻

击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法．

（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）

[解答]如图，首先计算所有车都在黑格的放法数．

将棋盘中的黑格分为两类，一类是奇数行，一类是偶数行，

分别用O 和E 标记，容易知道奇数行的车

和偶数行的车互不攻击，则将5个车放入

奇数行有5!种放法，将4个车放入偶数行

有4!种放法，将9个车放入棋盘有5!4!⋅种

放法，而现在要放8个车，则所有放法种

数为895!4!95!4!C ⋅⋅=⋅⋅种；

同理，将白格做同样的划分，可知，在奇数行中，可以放入4个互不攻击的车，放法为455!A =种，在偶数行中也只能放下4个互不攻击的车，放法为455!A =种故在白格中的放法总数为5!5!⋅种；

综上，总的放法种数为95!4!5!5!145!4!40320⋅⋅+⋅=⋅⋅=种

3．已知，A 、B 、C 、D 是圆上顺次四点，

且AB AD <，BC CD >，BAD ∠的平分线交圆

于X ，BCD ∠的平分线交圆于Y ，在由这六个

点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，

那么BD 必为圆的直径．

[解答] CY 平分BCD ∠，所以BY YD =，

又AB AD <，故Y 在A 、D 两点之间且

,DY YA DY AB >>，同理，X 在B 、C 两点之

间且,BX XC BX CD >>，这样，六边形的相等四边就只能是YA AB XC CD ===，记B A X D A X α∠=∠=，

BCY DCY γ∠=∠=，由题意，22180αγ+=，故90αγ+=，

又YA AB XC CD ===，则B Y X D

=，αγ=，所以45αγ==，故290BAD α∠==，则BD 为圆的直径．

4．已知p 是奇素数，证明：12121(1)(mod )2

p p k p p k p --=+≡

∑ [解答]由1p -为偶数，可得112

21212111(())p p p p p k k k

k p k -----===+-∑∑ 21212121122222221

2121()()()()p p p p p p p p p p k p k k p C p k C p k k ----------+-=++-++-+-

21122232232222212121()()()

p p p p p p p p p p C p k C p k C p k ---------=+-++-+- 则2121222222221

()()(21)(mod )p p p p p p k p k C p k p p k p ------+-≡-≡-⋅ 由费马小定理知 11(m o d )(1)

p k p k p -≡≤<， 则222(21)(21)11(mod )p p k p p --≡-=-

故存在整数m ，使得22(21)1p p k mp --=-，

则2222(21)(mod )p p pk mp p p p --=-≡-

所以

121

2212211

1(1)()()(mod )222p p p k k p p p p p k p p p p ---==--+≡-≡⋅-≡+≡∑∑ 5．设T 是由1002004的所有正约数组成的集合，集合S 满足：

（1）S 是T 的子集；（2）S 中任何一个元素都不是S 中另一个元素的倍数． 求S 中元素个数的最大值．

[解答]因为2200423167=⋅⋅，

则{}

231670200,0,100,,,a b c T a b c a b c N =≤≤≤≤∈ 设{}

200231670,100,,b c b c S b c b c N --=≤≤∈，对于任何0,100b c ≤≤，都有200200b c --≤，则S 为T 的一个子集，S 中共有101×1012101=个不同的元素．

以下证明上述S 中任何一个元素都不是另一个元素的倍数，而且没有其他适合条件的集合比S 有更多的元素．

假设集合S 中20023167b c b c --是20023167j k j k --的倍数，则200200b c j k --≥--，

b j ≥，

c k ≥，由前一个不等式得b c j k +≥+，由后两个不等式得b c j k +≤+，则b j =且c k =，因此S 中没有一个元素是另一个元素的倍数．

假设U 是T 的一个子集且U 中的元素超过2101个，因为数组(,)b c 只有2

101种取值，