7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积

x x+dx
1
x
求出积分区间后,可直接套公式.
讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？
y
是否要讨论f上, f下 的正负?
y=f 上(x)
只有x能做积分变量?
y d x=f 左( y) x=f 右( y)
O
a y=f 下(x)
A1
b
x
A3 c
y a y = f 上 (x ) b
x
O
b
x
a
O y=f 下(x)
0 -2
2
4
6
8
x
思考: 选x为积分变量?
A [ 2 x - (- 2 x )]dx ( 2 x - x 4)dx
0 2 2 8
x2 y2 例 3 求椭圆 2 2 1 所围成的图形面积． a b
解 设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1． 第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为[0，a]．
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 [a , b ] ； 积分变量，并确定它的变化区间
2) x, x dx a, b ， U在[x, x + dx]上的部分量
DU f x dx dU
3）
U f x dx
A2
A1=A2= [f 上(x)-f 下(x)]dx． A3 =

d c
[f 右(y)-f 左(y)]dy．
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积． 解 画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)． 将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]． 选 y 为积分变量
y
0
4
2a
x
. . . .
例 求抛物线 y - x x - 与其在点 (0,-)和点(3,0)处的
切线所围成图形的面积
。
y
由 y - x
得两切线的斜率为 l1 l2
故两切线为
k , k - l : y - x
x
第七章
定积分应用和广义积分
7.1 7.2
7.3
微元法 几何应用
物理应用
7.5
广义积分
7.1
定积分的微元法
y = f(x)
y
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b 所围成。
A a f ( x )dx
部分的面积
=3cos
由 3cos =1+cos
得交点的坐标
S= 2
y

π 3 0
θ
2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.5
-0.5
-0.4
-1
-1
a sin
1 0.8 0.6 0.4 0.2
a 1 - sin
-1 -0.5 0.5 1
a 1 sin
2 1.5
-0.5
1
-1
0.5
-1.5
-1 -0.5 0.5 1
-0.4 -0.2
2

2
0
3 1 ( cos 2t )dt 2 2

2
0
sin tdt cos tdt 0
0
2
摆线一拱的面积是母圆面积的3倍。
y
0
2a
x
二、在极坐标情形下求图形的面积
•曲边扇形及曲边扇形的面积： 由曲线ρ()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
[ , d ] [ , ],
b
O
a
b x
•在 [a, b]中任意插 入 n -1个分点． 得n个小区间： [xi-1 , xi ] 区间[xi-1 , xi ]的长 度Dxi xi -xi-1 ． (i=1, 2 , ··· , n)．
y = f (x ) y f(i)
f(2)
f(1)
f(i)Dxi
A DAi
y
因为面积元素为ydx， 所以
A1 0 ydx ，
a
b
x2 y 2 1 a 2 b2
y
O dx a x
椭圆的参数方程为: 于是
a
xa cos t ， yb sin t ，
注意上下限
1 1 1 1 1 1 2 2 b 0(1(1 -cos22 t))d dt a bb ·· a b b ． a ba cos t a a ． 0 2 22 4 4 2 2 2 A 4A1 a b．
7.2
几何应用
一、平面图形的面积 二、平面曲线的弧长 三、体积
7.2.1
平面图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积 二、在极坐标情形下求图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积． 面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
A 0
2
1 1 4 2 [ a ] 2 d a 2[ 3]0 a 2 3． 2 3 3

2a
O
d
x
ρ a
1 dA= [ a ] 2 d 2
例5 计算心形线ρ a(1cos ) (a>0) 所围成的图形的面积．
解
1 A2 0 [ a(1cos )] 2d 2 1 1 2 a 0 ( 2cos cos 2 ) d 2 2 1 3 2 2 3 ]0 a ． a [ 2sin sin2 2 4 2
i 1
n
O
a x1 2 x2 1
n
xi-1
i
xi
xn-1
b
x
•任取i [xi-1，xi ] ,∆Ai ≈ f ( i) Dxi i=1,2,…,n.
•曲边梯形的面积近似为：A
i 1
f ( i )Dxi
n
．
四步哪一步 最重要？
•记 max{Dx1, Dx2， ··· , Dx n }．则
a
b
二、元素法（微元法）
当所求量U 符合下列条件： “整体量 = 部分量之和”
（1）U 是与一个变量 x 的变化区间a , b有关的 量； （ 2 ） U 对于区间 a , b具有可加性，就是说， 如果把区间 a , b分成许多部分区间，则U 相应 地分成许多部分量，而整体量U 等于所有部分 量之和； （3）部分量 DU 的近似值可表示为 f ( x )Dx 。
。 。
l : y x - ,
其交点的横坐标为
o

3
x
A =


3 2 0
[4 x - 3 - ( - x 2 4 x - 3)]dx

[- x - ( - x x - )]dx

–3

例 求曲线 3cos θ及 1 cos θ分别所围成的公共
A ydx y t x t dt
a b


当y ( t ) ＜ 0
A - ydx - y t x t dt
a b


A y t x t dt


其中 , 是与积分限 a, b 对应的参数值． 注意： 不一定比 小．

3
a cos 3 - 2

6
-

6
x cos y sin
2 2 例 求双纽线 2a cos 2 所围面积
由对称性
S 4

4 0
1 2 ( )d a cos d 2a 2 2
记 •曲边梯形的面积的精确值为：A= lim f ( i )Dxi ． 0
i 1

b
a
f ( x ) dx
y = f (x ) y
简化步骤：
任取 x, x dx a, b
DA f x dx dA
f(x)dx
面积元素
O
a
x
x+dx
b
x
A f x dx
0.2 0.4
-2
(3) 星形线
(5)双纽线
2 3
x y a
1 0.5
2 3
2 3
2 a 2 cos 2
y
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
x
-1
(4)螺旋线
2 a 2 sin 2
y
a
1 -2 -1 -2 -3 -4 2 4 6
x
(6) 三叶玫瑰线
a sin 3
摆线一拱的面积
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
a
x
摆线一拱的面积
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
.
x
摆线一拱的面积
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。 x = a (t – sint) t 的几何意义如图示 y = a (1– cost) 当 t 从 0 2，x从 0 2a
y [-2, 4]
4
2
y 2=2x
(8, 4) y=x-4
[ y, y dy] [-2, 4],
(2, -2) 在[y, y+dy]上面积元素为 1 2 dA = (y 4 - y )dy ， 2 所求的图形面积为 4 11 22 4 11 2 2 1 1 3 4y 3 ] 4 A ( y 4 y ) dy [ y 4 y 18． A -2 (y 4 - y )dy [ y 4y - y ] - 2 18 ． -2 -2 22 22 6 6

A1 0 ydx b sin t d (a cos t) - a b sin 2t d t
2 2
0
0
x x t 一般地，若曲线由参数方程 y y t
x t 不变号且连续，y ( t ) 连续．
给出，
当y ( t ) > 0
a b
需要我们找出的 被积表达式
注 DU f x dx 中，f (x)dx必须是 DU 的线性主部， 即要 DU - f x dx o Dx 此时实际上 f (x)d x = d U
几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 应用： 物理：功；水压力；引力 计算：平均值等．
y
即曲线走了一拱
2a
a
t a 2a
a
x
0
摆线一拱的面积
A
a
2
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
2 a
0
2
ydx 0 a(1 - cos t ) a(1 - cos t )dt
2
2
2

0
(1 - 2cos t cos t )dt a
3 2 2 a t 0 3 a 2
y
于是面积元素为 dA = ( x -x 2)dx ， 以(
x -x 2)dx为被积表达式，
1
y2x yx 2
以[0, 1]为积分区间求定积分 得所求的图形面积
A 00
1 1
2 3/2 1 3/2 1 1 3 ]3 ( x -x )dx [ x - x 0 0 3 3
2 2
1 ．0 3
•在[ , d ] 上曲边扇形的面积元素： 1 dA [()] 2d ． DA 2
用圆扇形面积近似替代 小曲边扇形面积－以常代变

ρ () +d
•曲边扇形的面积为
A


O x
1 [()] 2d ． 2
例4 计算阿基米德螺线ρ a (a >0)上相应于从0变到2 的 一段弧与极轴所围成的图形的面积． 解
b
b
y
y=f 上(x)
y = f (x ) y=f 下(下 x)
O
a
b
x
例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积。
解
两曲线的交点(0,0) , (1,1). [ x, x dx] [0,1]
DA ( x -x 2)dx ，
选 x为积分变量 x [0,1]
在[x,x+dx]上

d ρ a(1cos ) 2a O x
dA =
1 [ a(1cos )] 2d 2
几种常见的曲线
(1)圆 (2)心形线
a cos
0.4 0.2
a 1 cos
1 0.5
a 1 - cos
1 0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5
1
1.5
所求图形的面积为：
A= [f 上(x)-f 下(x)]dx．
a
bHale Waihona Puke Baidu
y
y=f 上(x)
y=f 下(x) O a x x+dx b x
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积： 所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差 A= a f 上(x)dx - a f 下(x)]dx．