双曲线中的最值问题(高)

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解 :设 A（ x,y） ∣ AM│ = x a 2 y 2 = x a 2 2 x = x 2 2ax a 2 2 x 设 f ( x ) x 2 2a 1x a 2 2 2 x a 1 a 1 a 2 2 = x a 1 a 1 a 2 2 2 = x a 1 a a 1 2 x a 1 2 a 1 = 当a 1 0,即a 1时, f x min f 0 a 2 AM min f x min a a
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作 1、知双曲线 x4 y5
2 2
业
1
及点 M （6 ，2 ）,F 1、 F2 分别为双曲线的左、
右焦点，A 为双曲线右支上的任意一点， 求：①∣ AM│ +∣ AF2│的最小值及最大值；
2 ②∣ AM│ + ∣ AF2│的最小值 3
2、已知抛物线 y2=2x 及点 M（3 ，1 ） ，F 为抛物线焦点，A 为抛物 线上任意一点，ι 为准线， 求：∣ AM│ +∣ AF│的最小值； 3、若抛物线 y=4-x2 与直线 3x-y=0 的交于 A、B 两点，P 是抛物 线弧 AB 上的点，试求△ PAB 面积的最大值。
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F 1、 F2 分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭 圆上的任意一点，求： ①∣ AM │ + ∣ AF 2 │的最小值及最大值； ②若点 M 的坐标改为 M （ 2 ， 1 ）求∣ AM│ +
4 3 ∣ AF 2 │的最小值
Hale Waihona Puke Baidu
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解：①∵ b= 7 ＜ 3 ∴点 M(1,3) 在椭圆外 , ∵∣ AM │+ ∣AF 2 │≥∣ MF 2 │( 当且仅当 A 、M、F2 三点 共线时，等号成立 ) 2 2 1 3 3 0 13 ∴ （∣ AM │+ ∣AF 2 │） min = ∣ MF 2 │ = ∵∣ AF 1 │ + ∣ AF 2 │ =2a ∴∣ AM │ + ∣ AF2 │ = ∣ AM │ +2a- ∣ AF1│ =2a+( ∣ AM │ - ∣ AF 1 │ ) ∴∣ AM │- ∣AF 1 │≤∣ MF 1 │( 当且仅当 A 、M、F2 三点 共线时，等号成立 ) ∴ （∣ AM │- ∣AF 2 │） max = ∣ MF 1 │ =
3 1 2 3 0 2
5
∴（∣ AM │ + ∣ AF 2 │） max =2a+ ∣ MF 1 │ =8+5=13
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例 2、已知：抛物线 y 2=2x 及点 M（ a， 0） ,其中 a>0，A 为抛物线上任意一点，求：∣ AM│的最小 值
圆锥曲线中的最值问题
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复 习
1、椭圆及双曲线第一定义； 2、椭圆及双曲线第二定义； 3、抛物线定义
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x2 y2 例 1、 已 知 椭 圆 16 7 1 及 点 M （ 1 ， 3 ） ,
当a 1 0,即a 1时, f x min f a 1 2a 1 AM
min

f x min 2a 1
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小 结
• 求圆锥曲线的最值问题时，可利用圆锥 曲线的定义并结合几何性质，用几何方 法求出最值；也可用代数方法建立目标 函数，利用函数性质或不等式性质求出 最值。