两种矩估计法和最大似然估计法一

矩估计量的观察值称为矩估计值. 例 1 设总体 服从泊松分布 P ( ) ， 求参数 的估计量.
解：设 1 , 2 , n 是总体 的一个 样本,由于 E ,可得
ˆ
1 n

i Hale Waihona Puke Baidu1
n
i

例2
设总体 在[a, b] 上服从均匀分布,其中a, , n ) 是来自总体的样本,求a,
j
ˆ ˆ ( , 求解可得1 ,2 ,...k的一组解： j j 1
从而得到k个含未知数1 ,2 ,...k的方程，
, k )
矩估计法的具体步骤:
(1).求出E (1 , 2 ,
j
, k )
j 1, 2,
,k
k
n 1 (2).令 j j i j ; j 1, 2, n i 1
3 n 2 ( ) , ) i n i 1
例3 设总体 的均值 和方差 都存在,且有
2
0, 但 和 均为未知, 又设 1 , 2 ,
2 2
, n是
一个样本, 求 和 的矩估计量. 1 E , 解
2
2 E 2 ( E )2 D 2 2 ,
点估计问题就是要构造一个适当的统计量 ˆ( , , , ),用它的观察值 ˆ (x , x , , x ) 1 2 n 1 2 n 来估计未知参数 .
ˆ( , , , )称为 的估计量. 通称估计, 1 2 n ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值. 简记为 ˆ.
理论依据: 大数定律
设1, 2 ,...n是来自总体的一个样本，
设的k阶矩k E 存在. 则当j<k时，存在含有1，2 .. k的函数 （ j 1， 2 .. k）
k
我们设 j (1 , 2 ,... k ) , j 1, 2...k
1 n j 子样的j阶矩为 i n i 1 j
例 ~ N (, ), , 未知, 即得, 的矩估计量
2 2 2
ˆ ,
ˆ2
一般地: 1 n 用样本均值 i作为总体的均值的矩估计, n i 1 1 n 用样本二阶中心矩 m2 (i )2 作为总体的 n i 1
1 n (i )2 . n i 1
1 解方程组得到矩估计量分别为 ˆ i n n i 1 1
令 2 2 2
2 2
n
ˆ ( )
2
n
2 2 ( ) S i n . i 1
上例表明: 总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因 不同的总体分布而异.
2 2 a b a b 2 ,

a b 2 即 2 2 b a 12( )
解方程组得到a, b的矩估计量分别为
ˆ 3( 2 ) a
2 ˆ b 3( 2
2
3 n 2 ( ) , i n i 1
方差的矩估计.
矩法的优点是简单易行, 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
例4
设总体 的分布密度为
x
1 p( x; ) e ( x , 0) 2 (1, 2 , n ) 为总体 的样本,求参数 的矩估
这是一个包含 k 个未知参数 1 , 2 ,, k 的方程组 .
(3).解出其中 1 , 2 ,, k ,
ˆ , ˆ ,, ˆ 表示. 用 1 2 k ˆ , ˆ ,, ˆ 分别作为 (4).用方程组的解 1 , 2 ,, k的 1 2 k
估计量 , 这个估计量称为矩估计 量.
第
六
章
点 估 计
第6.1节
参数的点估计
一、点估计问题的提法 二、估计量的求法
三、小结
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的平均体重 估计废品率 估计湖中鱼数 估计平均降雨量 … …
参数估计问题的一般提法
计量.
解：由于 p ( x; )只含有一个未知参数 ，一般 E 的矩估计量，但是 只需求出 便能得到 x 1 E xp( x; )dx x e dx 0 2
即 E 不含有 ,故不能由此得到 的矩估 计量.为此, 求
设有一个统计总体的分布函数F(x, )，
其中 为未知参数. 的范围是已知(称为参数空间）
现从该总体中抽取样本
1 , 2 ,...n
要依据该样本对参数 作出估计，或估计
的某个已知函数 g ( ) .
这类问题称为参数估计.(一般分点估计， 区间估计)
一、点估计问题的提法
设总体的分布函数形式已知, 但它的一 个或多个参数为未知, 借助于总体的一个样 本来估计总体未知参数称为点估计问题.
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题. 点估计的求法: (两种) 矩估计法和最大似然估计法.
一、 矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
b 未知, (1 , 2 , b 的矩估计量.
解
1
（E） 2 E 2 D 12 4 ab 1 n 令 i , 2 n i 1 n 2 2 1 ( a b) ( a b) 2 i , 12 4 n i 1
ab E , 2