高一数学必修1函数的概念

高一数学必修1函数的概念

二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的明白得；能依照函数的三要素

判定两个函数是否为同一函数；明白得分段函数的意义．

三．教学重点：函数是一种专门的映射,而映射是一种专门的对应；函数的三要素中对应法那

么是核心，定义域是灵魂．

四．教学过程： 〔一〕要紧知识：

1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义； 2．函数的传统定义和近代定义； 3．函数的三要素及表示法． 〔二〕要紧方法：

1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；

2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻明白得，这是处理函数咨询题的关键； 3．明白得函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．

〔三〕例题分析： 例1．〔1〕A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； 〔2〕*

{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2

:22f x y x x →=-+；

〔3〕{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=

上述三个对应 是A 到B 的映射．

例2．集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y

，那

么

集

合

N =

〔 〕

()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>> ()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<< ()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>

解法要点：因为2x y +=，因此2222x

y

x y

+⋅==．

例3．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分不在BC 、

CD 上，且CE CF x ==，〔1〕将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式； 〔2〕求S 的最大值． 解：

〔

1

〕

2111

()408(5)5(8)222

ABCD CEF ABE ADF

S f x S

S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- 22113113169()22228

x x x =-+=--+．

∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，

∴函数()S f x =的解析式：2113169

()()(05)228

S f x x x ==--+<≤；

〔2〕∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20．

例4．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =， 〔1〕求(0)f 的值；

〔2〕对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2

x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范畴．

解：〔1〕由等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=， 又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．

〔2〕由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由〔1〕知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．

∵11(0,)2x ∈，∴2

2111111()2()24

f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，

∴13

()2(0,)4f x +∈．

要使任意11(0,)2x ∈，21

(0,)2

x ∈都有12()2log a f x x +<成立，

当1a >时，21

log log 2

a a x <,明显不成立．

当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113

log 24

a a <<⎧⎪

⎨≥⎪⎩

，解得14a ≤< ∴a

的取值范畴是4

．

〔四〕巩固练习：

1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点1

1(,)66

-的原象是

2．以下函数中，与函数y x =相同的函数是

〔 C 〕

()A 2

x y x

= ()

B 2

y =

()C lg10x

y =

()D 2log 2x y =

3．设函数3,(10)

()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩

，那么(5)f ＝8．

二．函数的解析式及定义域

一．课题：函数的解析式及定义域

二．教学目标：把握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些

简单实际咨询题中的函数的解析式表示出来；把握定义域的常见求法及其在实际中的应用．

三．教学重点：能依照函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母

参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际咨询题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际咨询题的要求．

四．教学过程：

〔一〕要紧知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解． 〔二〕要紧方法：

1．求函数解析式的题型有：

〔1〕函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

〔2〕()f x 求[()]f g x 或[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； 〔3〕函数图像，求函数解析式；

〔4〕()f x 满足某个等式，那个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

〔5〕应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 2．求函数定义域一样有三类咨询题：

〔1〕给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

〔2〕实际咨询题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际咨询题有意义；

〔3〕()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：

①把握差不多初等函数〔专门是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数〕的定义域；

②假设()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出． 〔三〕例题分析： 例1．函数1()1x

f x x

+=

-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，那么 ()A A B B = ()B A B ≠

⊂ ()C A B = ()D A B B =〔 D 〕

解法要点：{}|1A x x =≠，121

[()]()(1)11x y f f x f f x x x

+===-+=---， 令2

111x

-+

≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠． 例2．〔1〕3

311()f x x x x

+=+，求()f x ；

〔2〕2

(1)lg f x x

+=，求()f x ；

〔3〕()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；