第七章 第39讲 (1)

第39讲不等关系与不等式
考试要求不等关系的概念(A级要求).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.()
(2)若a
b>1，则a>b.()
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.()
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.()
(5)a>b>0，c>d>0⇒a
d>
b
c.()
(6)若ab>0，则a>b⇔1
a<
1
b.()
答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√
2.(教材改编)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的________条件. 解析a－b>0⇒a>b
⇒a>b⇒a2>b2，
但由a2－b2>0a－b>0.
答案充分不必要
3.(2018·南京模拟)若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是________(填序号).
①a－b>0；②a3＋b3>0；
③a2－b2<0；④a＋b<0.
解析由a＋|b|<0知a<0，且|a|>|b|，
当b≥0时，a＋b<0成立，
当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0.
答案④
4.如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________.
解析由a2＋a<0得a<－a2，
∴a <0且a >－1，∴a <－a 2<a 2<－a . 答案 a <－a 2<a 2<－a
5.若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，1
2，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________. 解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴0<a <1
2<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －122＋12<12.
即a <2ab <12，
又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝1
2， 即a 2＋b 2>1
2，
a 2＋
b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，
综上，a <2ab <1
2<a 2＋b 2<b . 答案 a <2ab <1
2<a 2＋b 2<b
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ，
a －
b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b ；
(a ，b ∈R )，
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧a
b >1⇔a >b ，
a
b ＝1⇔a ＝b ，a b <1⇔a <b .
(a ∈R ，b >0)，
2.不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性
a >
b ⇔a ＋
c >b ＋c
⇔
可乘性
⎭
⎪⎬⎪
⎫a >b c >0⇒ac >bc ⎭
⎪⎬⎪
⎫a >b c <0⇒ac <bc 注意c 的符号
同向可加性
⎭
⎪⎬⎪
⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒ 同向同正可乘性
⎭
⎪⎬⎪
⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒
可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数
可开方性
a >
b >0⇒n a >n
b (n ∈N ，n ≥2)
(1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1
b . ②a <0<b ⇒1a <1
b . ③a >b >0，0<
c <
d ⇒a c >b
d . ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1
a . (2)有关分数的性质 若a >
b >0，m >0，则
①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0).
②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0).
考点一 比较两个数(式)的大小
【例1】 (1)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5
5，则a ，b ，c 的大小关系为
________.
(2)(2018·无锡期中)若1a <1
b <0，给出下列四个不等式：
①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a
b >2中，其中正确的不等式是________(填序号).
解析 (1)法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 4
4ln 3 ＝log 8164<1， 所以a >b ；
b c ＝5ln 4
4ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .
法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x
x ，y ′＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .
(2)因为1a <1
b <0，即b －a ab <0，且a <0，b <0，所以b <a <0，ab >0.经逐一分析，得①④正确.
答案 (1)c <b <a (2)①④ 规律方法 比较大小的常用方法 (1)作差法：
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法：
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.
(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
注意：在综合题中遇到比较大小时要采用此法.
【训练1】 (1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________.
(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________. 解析 (1)∵A ≥0，B ≥0， A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b ) ＝2ab ≥0， ∴A ≥B .
(2)a b ＝18161618＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1816161162 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9816⎝ ⎛⎭⎪⎫1216＝⎝
⎛⎭⎪⎫98216
， ∵9
82
∈(0，1)，∴⎝
⎛⎭⎪⎫98216
<1， ∵1816>0，1618>0， ∴1816<1618，即a <b . 答案 (1)A ≥B (2)a <b 考点二 不等式的性质
【例2】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中一定成立的是________(填序号). ①ab >ac; ②c (b －a )<0； ③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0.
(2)设a ，b 为正实数.现有下列命题：
①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1
a ＝1，则a －
b <1；③若|a －b |＝1，则 |a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.
其中的真命题有________(写出所有真命题的编号). 解析 (1)由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立.
(2)①中，a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，a ，b 为正实数，若a －b ≥1，则必有a ＋b >1，又a －b ＝
1
a ＋b
，不合题意，故①正确.
②中，1
b－
1
a＝
a－b
ab＝1，只需a－b＝ab即可.如取a＝2，b＝
2
3满足上式，但a－b
＝4
3>1，故②错.
③中，a，b为正实数，所以a＋b>|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a－b)|＝|a＋b|>1，故③错.
④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨设a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确.
答案(1)①(2)①④
规律方法解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
【训练2】(一题多解)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②a
d＋
b
c<0；
③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是________. 解析法一∵a>0>b，c<d<0，
∴ad<0，bc>0，
∴ad<bc，故①错误.
∵a>0>b>－a，∴a>－b>0，
∵c<d<0，∴－c>－d>0，
∴a(－c)>(－b)(－d)，
∴ac＋bd<0，∴a
d＋
b
c＝
ac＋bd
cd<0，故②正确.
∵c<d，∴－c>－d，
∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，
∴a－c>b－d，故③正确.
∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，故④正确.
法二取特殊值.
答案 3
考点三不等式性质的应用
【例3－1】(一题多解)已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为________(填序号).
解析法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；
由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，
∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；
∵a>b>0，∴a>b，
∴(a－b)2－(a－b)2
＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，
∴a－b>a－b，③成立；
若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，
a3＋b3<2a2b，④不成立.
法二令a＝3，b＝2，
可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立.答案①②③
【例3－2】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.
解析∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
答案(－4，2)(1，18)
规律方法(1)判断不等式是否成立的方法
①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.
②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.
(2)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.
【训练3】(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是________(填序号).
③
1
a－b
>
1
b；②a
2<ab；
③|b|
|a|<
|b|＋1
|a|＋1
；④a n>b n.
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①c
a>
c
b；②a
c<b c; ③log b(a－c)>log a(b－c).
其中所有正确结论的序号是________.
解析(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；
③中，|b|
|a|<
|b|＋1
|a|＋1
⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立.
(2)由不等式性质及a>b>1知1
a<
1 b，
又c<0，∴c
a>
c
b，①正确；
构造函数y＝x c，
∵c<0，∴y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴a c<b c，②正确；
∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，③正确.
答案(1)③(2)①②③
一、必做题
1.当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系为________. 解析∵x3－(x2－x＋1)
＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)
＝(x －1)(x 2＋1). 又∵x ＞1，
故(x －1)(x 2＋1)＞0， ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1. 答案 x 3＞x 2－x ＋1
2.(2018·镇江模拟)若6<a <10，a
2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________.
解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a
2， ∴9<3a
2≤a ＋b ≤3a <30. 答案 (9，30)
3.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是________(填序号). ①xy >yz; ②xz >yz ； ③xy >xz; ④x |y |>z |y |.
解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0， 又y >z ，∴xy >xz . 答案 ③
4.设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的________条件. 解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；
由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/ (a －b )·a 2<0，必要性不成立. 答案 充分不必要
5.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________.
解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π
6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β
3<π. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π
6.已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________(填序号).
①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a c >b
c ，则a >b ；
③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1
b ； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1
b . 解析 当
c ＝0时，可知①不正确； 当c <0时，可知②不正确；
对于③，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0， 所以1a >1
b 成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确. 答案 ③
7.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是________(填序号). ①a ＋1b >b ＋1a ；②b a >b ＋1a ＋1；
③a －1b >b －1
a ；④2a ＋
b a ＋2b >a b
.
解析 取a ＝2，b ＝1，排除②与④；另外，函数f (x )＝x －1
x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1
x 在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1
a ，但g (a )>g (
b )未必成立. 答案 ①
8.若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是________(填序号). ①1a <1
b ；②log 2a >log 2b ；
③a 2＋b 2≤2a ＋2b －2；④b <ab <a ＋b
2<a .
解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)， ∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2， ∴③一定不成立.
答案 ③
9.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n <0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________.
解析 当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1，1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74.综上，12<a <74.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 二、选做题
10.已知－1<2x －1<1，则2x －1的取值范围是________.
解析 －1<2x －1<1⇒0<x <1⇒1x >1⇒2x >2
⇒2x －1>1.
答案 (1，＋∞)
11.已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示).
解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，
∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，
∴z 的取值范围是[3，8].
答案 [3，8]
12.已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1
，试比较f (a )与f (b )的大小. 解 f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (a )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1， f (b )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b －1. 由a >b >1，知a －1>b －1>0.
∴
1
a－1
<
1
b－1
，∴1＋
1
a－1
<1＋
1
b－1
.
①当m>0时，m(1＋
1
a－1
)<m(1＋
1
b－1
)，f(a)<f(b).
②当m＝0时，f(a)＝f(b)＝0.
③当m<0时，m(1＋
1
a－1
)>m(1＋
1
b－1
)，f(a)>f(b).
综上所述，当m>0时，f(a)<f(b)；
当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m<0时，f(a)>f(b).。