第七章 第39讲 (1)
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第39讲不等关系与不等式
考试要求不等关系的概念(A级要求).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (2)若a b>1，则a>b.() (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.() (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.() (5)a>b>0，c>d>0⇒a d> b c.() (6)若ab>0，则a>b⇔1 a< 1 b.() 答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√ 2.(教材改编)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的________条件. 解析a－b>0⇒a>b ⇒a>b⇒a2>b2， 但由a2－b2>0a－b>0. 答案充分不必要 3.(2018·南京模拟)若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是________(填序号). ①a－b>0；②a3＋b3>0； ③a2－b2<0；④a＋b<0. 解析由a＋|b|<0知a<0，且|a|>|b|， 当b≥0时，a＋b<0成立， 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0. 答案④ 4.如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________. 解析由a2＋a<0得a<－a2， ∴a <0且a >－1，∴a <－a 2 5.若0 2，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________. 解析 ∵0 21且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝1 2， 即a 2＋b 2>1 2， a 2＋ b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2 综上，a <2ab <1 2 2 知 识 梳 理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ， a － b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a (a ，b ∈R )， (2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧a b >1⇔a >b ， a b ＝1⇔a ＝b ，a b <1⇔a (a ∈R ，b >0)， 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a > b ⇔a ＋ c >b ＋c ⇔ 可乘性 ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a >b c >0⇒ac >bc ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a >b c <0⇒ac 同向可加性 ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒ 可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数 可开方性 a > b >0⇒n a >n b (n ∈N ，n ≥2) (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1 b . ②a <0 b . ③a >b >0，0< c < d ⇒a c >b d . ④0 a . (2)有关分数的性质 若a > b >0，m >0，则 ①b a b －m a －m (b －m >0). ②a b >a ＋m b ＋m ；a b 0). 考点一 比较两个数(式)的大小 【例1】 (1)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5 5，则a ，b ，c 的大小关系为 ________. (2)(2018·无锡期中)若1a <1 b <0，给出下列四个不等式： ①a ＋b b >2中，其中正确的不等式是________(填序号). 解析 (1)法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 4 4ln 3 ＝log 8164<1， 所以a >b ； b c ＝5ln 4 4ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c 法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c (2)因为1a <1 b <0，即b －a ab <0，且a <0，b <0，所以b 0.经逐一分析，得①④正确. 答案 (1)c 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法： 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论. (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 注意：在综合题中遇到比较大小时要采用此法.