基本不等式教案设计习题

第四节 基本不等式 [备考方向要明了]

考

什 么

怎 么 考

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如2012年T5，T8等．

2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如2012年T17等.

[归纳·知识整合]

1．基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a ＝b 时，a ＋b

2

≥ab 取等号，即a ＝b ⇒

a ＋b

2

＝ab

②仅当a ＝b 时，

a ＋b

2

≥ab 取等号，即

a ＋b

2

＝ab ⇒a ＝b .

2．几个重要的不等式

a 2＋

b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a

b

≥2(a ，b 同号)．

ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2(a ，b ∈R ) 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术

平均数不小于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 42

(简记：和定积最大)．

[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？

提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y ＝x ＋1

x

在x ≥2时的最小值，利用单调

性，易知x ＝2时y min ＝5

2

.

[自测·牛刀小试]

1．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81

D ．243

解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数f (x )＝x ＋1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3

D ．4

解析：选C f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2

＋2， ∵x >2 ∴x －2>0 ∴f (x )≥2 x －2·1

x －2

＋2＝4 当且仅当x －2＝

1

x －2

，即x ＝3时，“＝”成立，又f (x )在x ＝a 处取最小值，所以a ＝3. 3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0则xz y

2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为1

8

D ．最大值为1

8

解析：选D xz y 2＝xz x ＋2z 2＝

xz

x 2＋4xz ＋4z 2

＝

1x z ＋4z x

＋4

≤18.当且仅x z ＝4z

x ，即x ＝2z 时取等号．

4．函数y ＝x ＋1

x

的值域为________．

解析：当x >0时，x ＋1

x

≥2

x ·1

x

＝2； 当x <0时，－x >0， －x ＋1

－x

≥2

－x ·1－x ＝2，所以x ＋1

x

≤－2.

综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)

5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2

x

的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长

的最小值是________．

解析：由题意知：P ，Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m >0，n >0，n ＝2

m

，所

以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝ ⎛⎭

⎪⎫m 2＋4m 2≥16(当且仅当m 2

＝4m

2，即m ＝2时，取等号)．故线段PQ 长的最小值为

4.

答案：4

利用基本不等式证明不等式

[例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，

求证：⎝

⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋1b ≥9.

[自主解答] 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a b

.

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝a b

，即a ＝b 时取“＝”．

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．

法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab

＝1＋

a ＋

b ab ＋1ab ＝1＋2

ab

， ∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14

，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”

． 于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝1

2

时取“＝”．

∴⎝

⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝1

2时等号成立．

保持例题条件不变，证明：

a ＋12

＋

b ＋12

≤2.

证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴

a ＋12

＋

b ＋12

＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12×1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋12×1