一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

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一、

2200(0)040ax bx c a b ac

∆>⇔⎧++=≠⎪

→∆=⇔⎨∆=-⎪∆<⇔⎩

有两个不相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式没有实数根 二、122

12212121221220(0)00b x x a ax bx c a c x x a x x x x x x x x ax bx c x x x x ⎧

+=-⎪⎪++=≠→∆≥→⎨

⎪•=⎪⎩

+++•=++=--ƒƒ一元二次方程以、为根的一元二次方程：（）（）（）

一、选择题

1. B 【05资阳】若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是

A. 1

2

k <

B. 12

k ≤

C. 12

k >

D. k ≥

12

2.A 【05杭州】若t 是一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-V 和完

全平方式2

(2)M at b =+的关系是:

(A)M =V (B)M >V (C)M

3．A 【05嘉兴】已知关于x 的一元二次方程2

20x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）

A.a ≤1

B. a<1

C. a ≤-1

D. a ≥1

4.D 【05台州】下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） （A ）012

=+x （B ）0122=++x x （C ）0322

=++x x

（D ）0322=-+x x

5.A 【05台州】若1x 、

2x 是一元二次方程0572

=+-x x 的两根，则

2

11

1x x +的值是（ ） （A ）

57 （B ）57- （C ）75 （D ）7

5- 6.A 【05温州】已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1

x 2

的值是(

)

A 、3

B 、－3

C 、1

3 D 、1

7. D 【05武汉】不解方程，判别方程5

-7x+5=0的根的情况是（ ）.

（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根 （D ）没有实数根

8.C 【05常德】已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）

A ．－3或1

B ．－3

C ．1

D ．3

9.A 【05连云港】满足“两实数根之和等于3”的一个方程是

（A ）0232=--x x （B ）02322=--x x （C ）0232=-+x x （D ）02322=-+x x 10.B 【05无锡】一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）

A 、3,121==x x

B 、3,121=-=x x

C 、3,121-=-=x x

D 、3,121-==x x 11.A 【05泸州】下列方程中，没有实数根的是

A ．012=++x x

B ．0122=++x x

C ．0122=--x x

D ．022=--x x 12.D 【05枣庄】两个不相等的实数m ，n 满足m 2

-6m=4，n 2

-6n=4，则mn 的值为( ) (A)6 (B)-6 (C)4 (D)-4

13.B 【05漳州】关于x 的一元二次方程2

x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式

12

11

x x ＋的值为( ) A

12 B 1

2

－ C 2 D －2 14.B 【05梅州】方程x 2

－5x －1=0

A 、有两个相等实根

B 、有两个不等实根

C 、没有实根

D 、无法确定

15. D 【05东营】两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为

(A) 6 (B) －6 (C) 4

(D) －4

16. D 【05厦门】已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是 A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m 17.C 【05毕节】方程组18ax y x by -=⎧⎨

+=⎩的解是2

3

x y =⎧⎨

=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )

A ．有两个不相等实数根

B ．有两个相等实数根

C ．没有实数根

D ．有两个根为2和3

18.A 【05泉州】一元二次方程0132

=-+x x 的根的情况为（ ）

A 、有两个不相等的实数根

B 、有两个相等的实数根

C 、只有一个实数根

D 、没有实数根

二、填空题

1.【05内江】等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102

=+-m x x 的两根，则m 的值是 16或25 。

2.【05无锡】设x 1、x 2是方程0222=--x x 的两个实数根，则x 1+x 2=__2___；x 1·x 2=__－2___.

3.【05上海】如果关于x 的方程2

40x x a ++=有两个相等的实数根，那么a ＝ 4

4．【05泸州】若1x 、2x 为方程0122=--x x 的两根，则2121x x x x -+＝ 3

5.【05曲靖】已知关于x 的方程()04

m x m 3x 2

2

=+-+有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 1 。

6.【05太原】解方程，判别方程2y 2―8y+5=0的根的情况是___有两个不相等的正实数_________。

三、解答题

1．【05绵阳】已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根， (1) 求k 的取值范围；

(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 【解】. (1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-1，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-1，且k ≠0 .

(2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0.

则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-k

k ，且

01)

1(2=-+k

k k k ，解得k =-1 . 而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-1，且k ≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 .

2．【05南通】已知关于x 的方程220x kx k n -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ,且

1212(2)8(2)150x x x x +-++=.

（1）求证：0n <; （2）试用k 的代数式表示1x ; （3）当3n =-时,求k 的值.

【解】⑴证明:∵关于x 的方程220x kx k n -++=有两个不相等的实数根, ∴△=2224()340k k n k n -+=-->,∴23

4

n k <-. 又20k -≤,∴0n <. ⑵13x k =-或15x k =-