《移动机器人原理与设计》第三章运动学

• 机器人运动学约束
把机器人底盘上所有轮子引起的运动学约束以适当的形式联合起来，就 可以描述整个机器人的运动学约束。 设Nf个固定标准轮和Ns个可操纵标准轮， 底盘的滚动约束：
将所有轮子的滚动约束集合成一个单独的表达式：
表示一个投影矩阵，该投影矩阵将机器人在局部参考坐标系下的 运动投影到沿着它们各个轮子平面的运动。 J2是一个大小为N×N的常对角矩阵，其对角线 上的元素为全部标准轮的半径。
• 活动性程度
• 可操纵度 对于 一个安装有零个或多个可操纵标准轮的机器人有： 为零时，说明机器人底盘没有 安装可操纵标准轮；等于2时， 说明机器人没有安装固定标 准轮。
• 机动性 指机器人可以操纵的总的自由度，由直接操纵的自由度（ 即活动性程度）和间接操纵的自由度（即可操纵度）两个 部分构成。

YI YR
R
.
0 R( 2) I 1 0
.

XR
XI
在局部参考坐标系下，沿XR的运动等于- ，沿YR的运动是 ， 也就是说，机器人在局部参考坐标系下沿x轴的运动，相当 于在全局参考坐标系下沿y轴反方向的运动
• 运动学模型
假定差动机器人有2个动力轮，半径均为r，给定点为两轮之间的中点M， 轮距为d。给定r,d,θ和各轮的转速 ， 点M在XR正方向上的平移速度为：
该映射可由正交旋转矩阵来表示
• 例1 如图3-2所示机器人，给定全局参考坐Baidu Nhomakorabea系下的某个速度 ， 且 ，试计算沿机器人局部参考坐标系XR轴和YR轴的运动分量。 解：
x y 1 0 0 0 y x 0 1
左乘得，
进一步的运算可得：
• 3.4移动机器人的机动性
• 活动性程度 瞬时转动中心（即ICR） 四轮汽车和自行车的ICR 只有一个单独的ICR，才保证 机器人的运动是确定的 独立的滑动约束的数目可用 的秩来描述。一般地，对于一个安装有零个或多个标 准轮的机器人： 等于零时，表示机器人未安装标准轮；等于3时，表示机器 人在任何方向是完全受约束的，即它将不可能在平面中运动 。
• 移动机器人的运动控制 开环策略和闭环策略 点镇定、路径跟踪、轨迹跟踪
• 点镇定举例
• 在机器人局部参考坐标系下，给定实际位姿误差向量为 x，y和θ是机器人的目标坐标。如果存在一个控制矩阵K， ，
使得v（t）和w（t）的控制，
满足
机器人在目标点是稳定的，即控制矩阵K可以使机器人到达该目标点。
• 运动学模型的建立
• 3.5 运动控制
• 非完整约束和非完整系统 完整约束是指系统的约束可以用相对于质点的直角坐标（(Xi ,Yi ,Ti)，i =1…n）及时间t的解析方程，或有限方程（非微分方 程）来表示。又称为几何约束。 若约束采用不可积分的微分方程表示，则称为非完整约束。 当系统受非完整约束时，无法约束系统 的运动位形，而只是将系统的瞬时速度 限制在（n-k）维子空间上，也就是说非 完整约束使系统的运动自由度减少，但 是描述系统的独立广义坐标的自由度并 没有减少。
• 底盘的滑动约束
所用标准轮的滑动约束集合成一个单独表达式：
也表示一个投影矩阵，它将机器人局部参考坐标系下 的运动投影到各个轮子的法平面内
• 例4
对两轮差动驱动机器人，求滚动约束和滑动约束的联合表达式。 解：联立约束方程，得
小脚轮无动力，可在任何方向自由运动， 和 分别简化 为 和 。 对右轮，α＝－π/2，β＝π；对左轮，α＝π/2，β＝0 可得总的约束方程：
如果 ，，那么，机器人在平衡点是局部稳定的。 证明：在平衡点，做如下简化： 则
该闭环系统的系统矩阵： 特征方程为
如果 ，那么特征方程的所有根均具有负实部，则该 系统在平衡点附近是稳定的。证毕。
• 习题：
1.试给出建立全局参考坐标系和局部参考坐标系的必要性。 2. 对于差动机器人底盘，固定标准轮A如下图所示，若α＝90 度，β＝0度,θ（即全局框架横轴和局部参考框架横轴的夹 角）＝90度， l=1， r=2， ϕ为轮子旋转角度。试写出轮A 的滚动和滑动约束方程。
假定目标在全局参考坐标系 的原点，差动驱动的机器 人的运动学模型
令 为机器人前进方向和机器人轮轴中心与目标点连线之间的角度，当前 位置在全局参考坐标系下的极坐标为：
• 控制率设置 设计控制信号v和w， 闭环控制系统可表示为：
该闭环系统有一个唯一的平衡点 器人到达目标点。
,它会使机
• 稳定性证明
矩阵表示形式如下：
矩阵表示形式如下：
• 映射到全局坐标系 固定标准轮的滚动约束方程：
机器人沿着轮子平面的运动等价于机器人在全局参考坐标 系下的运动在轮子平面内的投影。必须等于由旋转轮子完 成的运动 。
滑动约束方程：
正交于轮子平面的轮子运动分量为零
• 例3.
假定轮A处在一个位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，试写出 该轮的滑动约束方程。
3．如下图所示，假定机器人位于θ＝π/2，r（轮子半径）＝1， （各轮距P点的距离）l=1，各轮转速分别为8和4，要求： （1）试写出局部参考框架和全局参考框架下位姿变量的转换 关系式，并给出转换矩阵的具体形式。 （2）试计算机器人在全局参考框架中的运动，并给出解释。
第三章 移动机器人运动学
• • • • 移动机器人运动学模型 移动机器人运动学约束 移动机器人的机动性 运动控制
1
3.1 运动学概述
• 机械系统的运行规律 • 对工业机械手的研究很成熟 • 移动机器人的运动与机械手不同 • 由轮子的运动描述，进而得到机 器人整体的运动描述。讨论机器人 的运动控制。
假定轮子不能有侧向滑移，则
旋转角速度分量：
最终得到运动学模型如右式。
3.3 运动学约束
• 轮子的运动学约束 假定： 1、 轮子的平面总是和地面保持垂直，轮子和地面之间只有一个 单独的接触点，并且该接触点的瞬时速度为零。 2 、该接触点无滑动，只存在纯滚动。 1）固定标准轮 轮子的中心点A在机器人局部参考 坐标系下的位置可用极坐标表示 为长度MA=l 和角度α，轮子平面 相对于MA的方向用固定角β表示。 半径为r的轮子在轮子平面内可自 由转动，转动的角度用 ϕ(t)表示
解：根据滑动约束方程， 得：
即，yI=0
• 2）可操纵的标准轮 有一个附加的自由度， 轮子相对机器人底盘的 方向不再是一个固定值 β，而是随时间变化的 函数β(t)。
约束方程与固定标准轮的约束方程是相同的，只把β换成 β(t)，并不直接影响机器人的瞬时运动。但操纵角的变化会 影响到机器人的活动性。
3.2 运动学模型的建立
1、机器人的位置表示 YI • 全局坐标和局部坐标的关系 YR XIOYI为全局参考坐标系， XRMYR为机器人的局部参 考坐标系，局部参考坐标系 的原点为机器人底盘上后轮 轴的中点M。 θ表示全局参 O 考坐标系和局部参考坐标系的角度差 机器人的位姿
XR

M XI
• 局部坐标与全局坐标的映射关系