[生活]第一讲 定积分的数值计算
数学《定积分》讲义
第九章 定 积 分1 定积分的定义一、背景1、曲边梯形的面积1()ni i i S f x ξ=≈∆∑2、变力所做的功 1()ni i i W F x ξ=≈∆∑上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.二、定积分的定义定义 1 设闭区间[],a b 内有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，其把[],a b 分成n 个小区间[]1,,1,i i i x x i n -∆==⋅⋅⋅.称这些点或小闭子区间构成[],a b 的一个分割，记为{}01,,n T x x x =⋅⋅⋅或{}12,,n ∆∆⋅⋅⋅∆，小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-，同时记{}1max i i nT x ≤≤=∆，称为分割T 的模(或细度).注1 ||||,1,i x T i n ∆≤=⋅⋅⋅. 因而，||||T 可用来刻画[],a b 被分割的细密程度，同时，若T 给定，则||||T 确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.定义 2 设f 为[],a b 上的函数,对[],a b 上的分割{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆,任取点,i i ξ∈∆1,i n =⋅⋅⋅，作和式1()niii f x ξ=∆∑，称为函数f 在[],a b 上的一个积分和，也称为Riemann 和.注2. Riemann 和与分割T 及i ξ的取法有关. 对同一个分割T ，相应的Riemann 和有无穷多个.定义 3 设f 是[],a b 上的函数，J 为一个确定的数. 若对任给正数0ε>，存在正数0δ>，使得对[],a b 上的任何分割T ，以及其上任选的i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称f 在[],a b 上可积(或Riemann 可积) ，数J 称为f 在[],a b 上的定积分(或Riemann 积分) ，记作()baJ f x dx =⎰. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分的下限、上限.注.1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰⇔0,0,,,,i i T T εδδξ∀>∃>∀<∀∈∆1()()nbi i ai f x f x dx ξε=∆-<∑⎰定积分的几何意义(f 可积)(1) 0f ≥时，()ba f x dx ⎰就是以,,x a xb x ==轴及()y f x =围成的曲边梯形的面积.(2) 0f ≤时，()baf x dx ⎰为x 轴下方的曲边梯形面积的相反数(负面积) .(3) ()baf x dx ⎰是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方所有曲边梯形的负面积的代数和. (4) 注.()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰，定积分与积分变量无关.三、举例例 1 已知函数2()f x x =在区间[]0,1上可积，求120x dx ⎰.例 2 已知1()1f x x=+，()sin g x x π=在[]0,1上可积. 利用定积分的定义说明 1) 10111lim()1221n dx n n n x→∞++⋅⋅⋅+=+++⎰. 2) 10012(1)1lim (sin sin sin )sin sin n n xdx x dx n n n n ππππππ→∞-++⋅⋅⋅+==⎰⎰.给出一般公式().......ba f x dx =⎰例 3 讨论Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 在[]0,1上的可积性.四、 定积分的计算 定理 (微积分基本定理)设[]:,f a b R →可积，存在可导函数[]:,F a b R →，使F f '=，则()()|()()bx bx a af x dx F x F b F a ====-⎰上式也称为Newton-Leibniz 公式.例 4 求例2中定积分的值.例 5 1) 211(ln )eex dx x⎰;2) 2⎰;3) 求11()f x dx -⎰，其中210()0x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩， ，;4) 0⎰;5) 221lim nn i in i→∞=+∑;6) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+.2 可积性条件一、可积的必要条件定理1 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上有界.注 有界仅是f 可积的必要条件，而非充分条件. 如[]0,1上的()D x . 定理2 设函数f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点. [ 若函数f 在[],a b 上处处不连续，则f 必不可积. ] 二、可积的充要条件设{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆为[],a b 上的一个分割，设f 在[],a b 上有界，则f 在每个i ∆上必有上下确界，记{}sup ()ii x M f x ∈∆=，{}inf ()ii x m f x ∈∆=，1,i n =⋅⋅⋅.作和式1()n i i i S T M x ==∆∑，1()ni i i s T m x ==∆∑，分别称为f 关于T 的上和和下和(Darboux 上下和) , 从而i i ξ∀∈∆，1,i n =⋅⋅⋅，1()()()ni i i s T f x S T ξ=≤∆≤∑. (作图几何意义)注 当分割T 确定后，则上和与下和完全确定.性质1 对同一分割T ,上和()S T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的上确界(相对于i ξ取),下和()s T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的下确界, 即{}1()inf ()i i n i i i s T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑， {}1()sup ()i i n i i i S T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑，且 1()()()()()ni i i m b a s T f x S T M b a ξ=-≤≤∆≤≤-∑，其中,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界.性质2 设T '为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割. 则()()()()s T s T s T p M m T '≤≤+- ()()()()S T S T S T p M m T '≥≥--即分点增加后，下和不减，上和不增.性质3 若T 与T '为任意两个分割，T ''为T 与T '所有分点合并组成的分割，记为T T T '''=+，则 ()()s T s T ''≥， ()()S T S T ''≤；()()s T s T '''≥， ()()S T S T '''≤.性质4 对任意两个分割T 、T '，总有()()s T S T '≤.即：对任何两个分割，下和总不大于上和. 因而，所有的上和有下界，所有的下和有上界，从而分别有下、上确界，记为S 和s . 即{}inf ()TS S T =，{}sup ()Ts s T =，称S 和s 分别为f 在[],a b 上的上、下积分，记为()ba S f x dx -=⎰，()b a s f x dx -=⎰.性质5 ()()()()bbaa mb a f x dx f x dx M b a ---≤≤≤-⎰⎰性质6. [Darboux 定理] 0lim ()()b a T S T f x dx -→=⎰，0lim ()()ba T s T f x dx →-=⎰.定理 3 (第一充要条件) [],a b 上的有界函数f 可积⇔()()bb a a f x dx f x dx --=⎰⎰定理4 (可积的第二充要条件)[],a b 上的有界函数f 可积⇔ 0ε∀>，存在分割T ，使得()()S T s T ε-<.由于11()()()nni i i i i i i S T s T M m x x ω==-=-∆=∆∑∑，其中i i i M m ω=-称为f 在i ∆上的振幅. 从而有定理4' [],a b 上的有界函数f 可积⇔0ε∀>，存在分割T ，使得1ni i i x ωε=∆<∑.定理4'的几何意义：若f 可积，则曲线()y f x =可用总面积任意小的一系列小矩形覆盖. 反之亦然.三、可积函数类(充分条件)定理 5. 若f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上可积.定理 6. 若f是[],a b上仅有有限个间断点的有界函数，则f在[],a b上可积.注.改变可积性函数在某些点处的值, 不改变可积性, 也不改变积分值. 定理7. 若f为[],a b上的单调函数，则f在[],a b上可积.例1试用两种方法证明函数0 0()1111xf xxn n n=⎧⎪=⎨<≤⎪+⎩，，，1,2n=⋅⋅⋅在[]0,1上可积.例2 设f 在[],a b 上有界，{}[],n a a b ⊂，lim n na c =.证明：若f 仅在{}n a 上间断，则f 在[],a b 上可积.例3 f 在[],a b 上可积，[][],,a b αβ⊂，则f 在[],αβ上可积.例4 证明定理2: 若f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点(从而有无穷多个连续点) .例5 证明: Riemann 函数[]1, ()0 0,10,1p x p q q p q q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩，和互素,，或中的无理数 在[]0,1上可积，且1()0f x dx =⎰.(第三充要条件)3 定积分的性质一、定积分的性质 1. 线性性质定理 1 设f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上可积，且 ()()bbaakf x dx k f x dx =⋅⎰⎰.定理 2 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.推论. 设,f g 在[],a b 上可积，,αβ为常数，则f g αβ+在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.2. 乘积可积性定理 3 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ⋅在[],a b 上可积. 注 一般情形下，()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ⋅≠⋅⎰⎰⎰.定理 4 有界函数f 在[],a c 和[],c b 上可积f ⇔在[],a b 上可积，且()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰规定 1) ()0aa f x dx =⎰.2)()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰，()b a <.则对任何,,a b c 均有 ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.4. 关于函数的单调性定理5 设,f g 在[],a b 上可积，且()()f x g x ≤，[],x a b ∀∈，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论 (积分值的估计) 设f 在[],a b 上可积，,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界，则 ()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰.定理6 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积，且|()||()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.注. 定理 6的逆不真.6. 积分第一中值定理定理 7 若函数f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰.几何意义: 称1()ba f x dxb a -⎰为f 在[],a b 上的平均值.定理7' (推广的第一中值定理) 若,f g 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.[()1g x ≡时，即为定理7.]二、应用举例例 1 求11()f x dx -⎰. 其中2110() 01x x x f x e x ---≤<⎧=⎨≤<⎩， ，.例 2 求()sin f x x =在[]0,π上的平均值.例 3 若f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，则()0ba f x dx >⎰.例 4比较积分1⎰和21x e dx ⎰的大小.例 5证明：22ππ<<⎰.例 6 若f 在[],a b 上可积，()0f x >，则()0ba f x dx >⎰.例 7 若,f g 在[],a b 上可积，则{}()max (),()M x f x g x =在[],a b 上可积.*例 8 设f 在[],a b 上可积，且()0f x m >>，则1f可积.*例 9 证明：若f 在[],a b 上连续，且()()0b baaf x dx xf x dx ==⎰⎰，则在(),a b 内至少存在两点12,x x 使12()()0f x f x ==. 又若2()0bax f x dx =⎰，此时，f 在(),a b 内是否至少有三个零点?*例 10 设f 在[],a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明: 1) 1()()2ba ab f f x dx b a+≤-⎰ 2) 又若()0f x ≤，[],x a b ∈，则又有2()()ba f x f x dxb a ≥-⎰，[],x a b ∈.*例11证明：(1)11ln(1)11ln2n nn+<++⋅⋅⋅+<+(2)1112lim1lnnnn→∞++⋅⋅⋅+=*例13若f可积，m f M≤≤，g在[,]m M上连续，则复合函数h g f=可积.由此, 若f可积, 则2f,13,f||f, ()f xe, (0)f≥,1(inf0)ff>可积.4 微积分基本定理 定积分的计算一、微积分基本定理 1. 变限积分的可微性设f 在[],a b 上可积，则任何[],x a b ∈，f 在[],a x 上也可积，从而()()xa x f t dt Φ=⎰，[],x ab ∈定义了一个以x 为积分上限的函数, 称为变上限积分.定理1 若f 在[],a b 上可积，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上连续.定理 2 (原函数存在定理，微积分学基本定理)若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰，[],x a b ∈.注. 1) 当f 在[],a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰为f 的一个原函数，且f 的任一原函数()()xaF x f t dt C =+⎰. 令x a =，则()F a C =. 从而()()()xaf t dt F x F a =-⎰——Newton-Leibniz .2) 定理2. 揭示了导数和定积分之间的深刻联系，同时证明了连续函数必有原函数，并说明变上限积分就是一个原函数. 由于它的重要作用而被称为微积分基本定理.3) 同样可定义变下限积分()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰. 且当f 连续时，有()()bxd f t dt f x dx =-⎰ 4) 变上限积分()xaf t dt ⎰一般不写作()xaf x dx ⎰.例 1 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰例 2 设f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，证明: ()0baf x dx >⎰.例 3 设f 为连续函数，,u v 均为可导函数，且复合f u ，f v 均有意义，证明()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=⋅-⋅⎰.例 4 求1) 230limx x x +→⎰2) 222010cos limx x x t dtx →-⎰二、定积分的换元法定理 3 设f 在[],a b 上连续，Φ满足条件1) ()a αΦ=，()b βΦ=. [](),,a t b t αβ≤Φ≤∈ 2) ()t Φ在[],αβ上有连续导函数，则()(())()baf x dx f t t dt βα'=Φ⋅Φ⎰⎰.例 5 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰3)10x x dx e e -+⎰4)3212(1)dx x x -+⎰5)120ln(1)1x dx x ++⎰6) 已知32()4f x dx =-⎰，求21(1)xf x dx +.注 在换元法计算定积分时，一要注意积分上下限的变化(这里只需要求,a b 的对应值为,αβ，而不计较,αβ的大小) . 二是要注意代入新变量，直接求定积分的值，而无需变量还原. (此与不定积分是不一样的. 这是因为不定积分求的是被积函数的原函数，其变量应一致，而定积分的结果是一个数值，只需求出即可) .注 定理3换元积分条件，f 可减弱为f 可积，ϕ可减弱为()t ϕ'在[],αβ上可积，且除有限个点外()0t ϕ'>(或()0t ϕ'<) . (保证[][]:,,a b ϕαβ→是11-的.) 例 6 设f 为[],a a -(对称区间) 上的连续奇(偶) 函数，则()0aaf x dx -=⎰(0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰) .如求22223(sin3cos 5arctan 1)x x x x x e x dx ππ--⋅+⋅--⎰.例 7 设f 为(,)-∞+∞上以T 为周期的可积函数，证明：对任何实数a R ∈，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰.例 8 设f 为连续函数，则1) 22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;2)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.由此计算2sin sin cos xdx x x π+⎰和20sin 1cos x x dx xπ⋅+⎰.例 9 设f 在[],a b 上连续，求证：()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.由此计算362cos (2)xdx x x πππ-⎰.三、分部积分定理 4 若(),()u x v x 为[],a b 上的连续可导函数，则有定积分分部积分公式()()()()()()bbb a aau x v x dx u x v x u x v x dx ''⋅=⋅-⋅⎰⎰或()()()()()()bb b a aau x dv x u x v x v x du x =⋅-⎰⎰例 10 1) 10x xe dx ⎰ 2)21ln ex xdx ⎰3) 1ln eexdx ⎰4) 1arcsin xdx ⎰5) 2sin x x e dx π⋅⎰6)4⎰例 11 求20sin nxdx π⎰和2cos n xdx π⎰.注 由前两式可推出著名的Wallis 公式：2(2)!!1lim 2(21)!!21m m m m π→∞⎡⎤=⋅⎢⎥-+⎣⎦.四、Taylor 公式的积分型余项 推广的分部积分公式设(),()u t v t 在[,]a b 上有1n +阶连续导函数，则(1)()(1)()()()()()()()(1)()()bn n n n n baau t v t dt u t v t u t v t u t v t +-'⎡⎤⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦⎰1(1)(1)()()bn n au t v t dt +++-⋅⎰.设f 在0x 处的某邻域0()U x 有1n +阶连续导函数，0()x U x ∈，则有(1)()1(1)()()()()()()!()0()xxn n n n n n xx x x x t ft dt x t f t n x t f t n f t f t dt +--⎡⎤-=-+-+⋅⋅⋅++⋅⎣⎦⎰⎰()00000()!()![()()()()]!n n f x n f x n f x f x x x x x n '=-+-+⋅⋅⋅+-!()n n R x =(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +⇒=-⎰ ——积分型余项注 1) 由推广的第一积分中值定理((1)()n f t +连续，()n x t -在[]0,x x 或[]0,x x 上保持同号) ，则(1)1()()()!x n n n x R x f x t dt n ξ+=-⎰(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++=-+ ——Lagrange 型余项2) 直接由积分第一中值定理，有(1)01()()()()!n n n R x f x x x n ξξ+=-- (1)10001(())(1)()!n n n f x x x x x n θθ++=+--- 00x =时，(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=-， 01θ≤≤——Cauchy 型余项五、积分第二中值定理 定理 5 设f 在[],a b 上可积,1) 若g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.2) 若g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰.推论. 设f 在[],a b 上可积，g 为单调函数，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰.例 12 设()f x 为[]0,2π上的单调递减函数，证明：对任何正整数n ，恒有20()sin 0f x nxdx π≥⎰.定理 6 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，函数g 在[],a b 上可导，且导函数()g x '在[],a b 上非负且连续，则存在[],c a b ∈，使得()()()()()()bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx =+⎰⎰⎰.例 13 证明：当0x >时，有不等式21sin x cxt dt x+≤⎰(0)c >.例 14 设()y f x =为[],a b 上严格增的连续曲线，试证：存在(),a b ξ∈使图中阴影部分面积相同.习 题1. 求)0(F '及)4(πF '. 其中⎰-=202sin )(x t tdt e x F2. 求下列极限(1) ⎰→xx dt t x 020cos 1lim (2) dxe dt e x txt x ⎰⎰∞→020222)(lim3. 求下列积分(1) ⎰⋅2042sin cos πxdx x (2)dx x ⎰-224(3) dx xx⎰+202sin 1cos π (4) dx xx ⎰+411(5) dx x x ⎰-1122)2( (6)dx x a x a2202-⎰(7)dx xx ⎰++311 (8)xdx x 3sin][3π⎰4. 求下列积分 (1) dx xe x⎰-2ln 0(2) ⎰210arccos xdx(3) ⎰-adx x a 022 (4) dx x x⎰-1221(5)⎰-2ln 01dx e x(6)dx ax x aa⎰-+222(7)dx xb x a xx ⎰+⋅202222sin cos cos sin π(8)dx x x ee⎰1ln(9)⎰+20cos sin cos πdx xx x(10)⎰+-adx xa xa 0arctan(11)dx e x x ⎰-⋅202sin π(12)dx xa xa x a⎰+-025. 求下列极限 (1) ∑=+∞→nk n nk 123lim (2) 2213lim k n nk nk n -∑=∞→6. 证明 (1)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m(2) 若f 在R 上连续, 且⎰=x adt t f x f )()(, 则.0)(≡x f (3) 0sin sin ,m n mx nxdx m n N m nπππ-≠⎧=∈⎨=⎩⎰，(4)⎰-=ππ0cos sin nx mx(5) 设f 在],0[π上连续,且⎰⎰⎰===πππ0cos )(sin )()(xdx x f xdx x f dx x f求证f 在),0(π内至少两个零点.定积分1、定积分的定义1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰0,0,,,,di i T T εδδξ⇔∀>∃>∀<∀∈∆1()ni i i f x J ξε=∆-<∑. (())baJ f x dx =⎰2、可积函数(充要) 条件1) f 在[],a b 上可积⇒f 在[],a b 上有界⇒f 在(),a b 内至少有一个连续点2) f 在[],a b 上可积⇔()()b ba a f x dx f x dx --=⎰⎰⇔0,,()()T S T s T εε∀>∃-< ⇔10,,ni i i T w x εε=∀>∃∆<∑3) f 在[],a b 上连续⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上单调⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上仅有限个间断点(或间断点仅有限个聚点) ，则f 在[],a b 上可积. f 在[],a b 上可积，g 与f 仅有限个点处不相等，则g 在[],a b 上可积，且()()bbaag x dx f x dx =⎰⎰4) 可积函数复合未必可积.3、定积分性质1) 线性性质 2) 子区间可积性 3) 乘积可积 4) 区间可加性 5) 单调性 6) 绝对可积性4、微积分基本定理与Newton-Leibniz 公式定理. 若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰. 由此可得()()()baf x dx F b F a =-⎰.注. 若f '可积，则()()()b af x dx f b f a '=-⎰.定理. 若f 在[],a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上连续.结论 (变限积分的导数)()()(())(())()(())()h x g x f t dt f h x h x f g x g x '''=⋅-⋅⎰5、定积分的积分方法 1) 换元设()y f x =在[],a b 上可积，()x t ϕ=满足ϕ'在[],αβ上可积，且在[],αβ上至多除有限个点使()0t ϕ'=，其余点()0t ϕ'>，(),()a b ϕαϕβ==，则()(())()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⋅⎰⎰[ 注意：积分上下限只需对应，而不管大小. ] 2) 分部积分 (注意具体被积函数的形式) 设,u v ''为[],a b 上可积函数, 则 bbb a aaudv uv vdu =-⎰⎰.6、Taylor 公式与积分中值定理. 1) 可积函数未必有原函数.1, 01;() 1 , 1 2.x f x x -≤≤⎧=⎨<<⎩ 2) 有原函数的函数也未必可积.22211cos 2sin , 0;()0, 0.x x f x x x xx ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在[1,1]-上有原函数220, 0;()1sin , 0.x x F x x x =⎧⎪=⎨⋅≠⎪⎩ 但f 在[0,1]上不可积.3) 可积不连续的函数也可能有原函数.习 题 课一、定积分的计算 例 1 1)20πθ⎰2) 1t x t dt -⎰, (1,0,01)x x x ><≤≤3)arctana⎰4) 10(1)xdx x α+⎰5)10ln(1dx ⎰6)0⎰7)121⎰8)2-⎰9) 21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨>⎪⎩ , 求31(2)f x dx -⎰.10) 1(2)2f =，(2)0f '=，20()1f x dx =⎰. 求120(2)x f x dx ''⎰.二、利用定积分定义求和式极限11111()lim ()lim ()nn i i T n i i f x dx f x f n n ξ→→∞===∆=∑∑⎰1()lim ()n ban i b a b af x dx f a i n n→∞=--=+∑⎰例 2 1) 221lim nn i i n i→∞=+∑2) 11lim[(1)]n n n k k n -→∞=+∏3) 12lim 1knnn k n k→∞=+∑4) 444333124lim (12)5n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+三、变限积分的导数例 3 1)2sin b a d x dx dx⎰ 2) 2sin x a d tdt dx ⎰3) 10(arctan )t x e tdt '⋅⎰4)23ln t t d dxdt x⎰ 例 4 1) 设0x ≥时，()f x 连续，且230()x f t dt x =⎰，求()f x .2) 设f 连续，31()x f t dt x c -=+⎰，求c 与(7)f .例 5 1) 设f 在[],a b 上连续，0()()()xF x f t x t dt =-⎰，[],x a b ∈.求证：()()F x f x ''=.2) 设f 在[)0,+∞上连续，且()0f x >，00()()()xx tf t dt x f t dtϕ=⎰⎰.试证：ϕ在()0,+∞上严格增.3) f 为连续可导函数. 试求：()()xa d x t f t dt dx'-⎰.四、求含变限积分未定型极限 例 6 1) 20cos limsin xx x x t dttdt→⎰⎰2) 222020()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰例 7 1) 设f 在[],a b 上连续，求证：(),x a b ∈时，1lim ()()()()xa h f t h f t dt f x f a n+→+-=-⎰.2) ()f x 在R 上连续，且以T 为周期，求证：0011lim ()()x Tx f t dt f t dt x T→∞=⎰⎰.3)1lim bb -→⎰，(01)b << 存在.4) 设f 在[]0,A (0)A ∀>上可积，lim ()x f x a →+∞=，则01lim()xx f t dt a x →+∞=⎰.五、定积分的极限例 8 1) 求证: 1) 10lim 1nnx dx x +⎰ 2) 120lim (1)n n x dx →∞-⎰3) 2lim sin n n xdx π→∞⎰2) 设f 在[]0,2π上单调，求证：20lim ()sin 0f x xdx πλλ→∞⋅=⎰.六、某些积分不等式1、利用积分关于被积函数的单调性证明不等式.例 9 证明不等式 11201413n x dx n x x n-≤≤-+⎰，n ∈.例 10 证明:1) 211<⋅⋅⋅+< 2) 11ln(1)11ln 2n n n+<++⋅⋅⋅+<+[由此证明11lim(1ln )2n n n ++⋅⋅⋅+-存在，一般称此极限为Euler 常数，记为C ]2、某些不等式的积分形式设函数,f g 在[],a b 上可积，对[],a b 上n 等分, 取[]1,i i i x x ξ-∈，若对任何n ，1i n ≤≤，有11()()nn i i i i b a b af g n n ξξ==--⋅≤⋅∑∑，则有()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰. 例 11 1) 证明Schwarz 不等式.设,f g 在[],a b 上可积, 则222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.而当,f g 连续时, 等号成立⇔c ∃，g cf =.2) 设f 在[],a b 上连续，且0f >，则21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上可积，证明：21120()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.4) 设,f g 在[],a b 上可积，则有Minkowski 不等式()111222222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.例 12 若ϕ在[]0,a 上连续，f 二阶可导，且()0f x ''≥, 则有Jesen 不等式0011(())(())a af t dt f t dt a a ϕϕ≥⎰⎰.3、其它不等式例13 1) 设f 在[]0,1上连续可导，证明：10()()()f x f t f t dt '≤+⎰，[]0,1x ∈.2) 设0a >，f 在[]0,a 上连续可导，则01(0)()()aa f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上连续可导, 且(0)0,(1)1f f ==, 求证：110()()f x f x dx e -'-≥⎰.4) 设f 二阶可导, 求证：3()()()()224baa b Mf x dx b a f b a +--≤-⎰. 其中[],sup ()x a b M f x ∈''=.。
定积分的计算方法课件
要点二
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间[a, b]分成n个等间隔的小 区间，每个小区间的长度为$Delta x = frac{b-a}{n}$。然 后在每个小区间上取一个矩形，高为函数f(x)在区间[a, b] 上的最大值和最小值之差，即$f(x_i) - f(x_{i-1})$，其中 $x_i$和$x_{i-1}$分别为第i个和第i-1个小区间的右端点和 左端点。将这些矩形的面积加起来，就得到了定积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$的近似值。
微积分基本定理的证明
总结词
详细描述
03
定积分的计算方法
CHAPTER
直接法
总结词 公式
详细描述 例子
换元法
总结词
详细描述
公式
换元法是通过替换变量 来简化定积分计算的方 法。
换元法适用于被积函数 和积分区间都比较复杂 的情况。通过替换变量， 可以将复杂的问题简化， 从而更容易地计算定积 分。在替换变量时需要 注意变量的范围和原函 数的对应关系。
梯形法
总结词
详细描述
辛普森法 则
总结词
辛普森法则是另一种定积分近似计算方法，通过将积 分区间划分为若干个小的子区间，然后在每个子区间 上取一个点，并求和得到定积分的近似值。
详细描述
辛普森法则是基于梯形法的改进，它将积分区间[a, b] 分成n个等间隔的小区间，每个小区间的长度为 $Delta x = frac{b-a}{n}$。然后在每个小区间上取一 个点$c_i$，高为函数f(x)在点$c_i$的值。将这些小梯 形的面积加起来，就得到了定积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$的近似值。辛普森法则是数值积 分中常用的方法之一，具有较高的计算精度和稳定性。
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下的面积、曲线的长度、质心、体积等问题。
在实际问题中，计算定积分可以帮助我们了解各种变化的数量或者性质。
本文将详细介绍定积分的计算方法。
一、基本概念和性质1.定积分的定义设函数y=f(x)在[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，取小区间内任意一点ξi，构造对应的面积Si=Δx*f(ξi)。
定积分的定义为：当n趋于无穷大，Δx趋向于0时，所有小区间内面积的和的极限，即为函数f(x)在[a,b]上的定积分，表示为∫a^b f(x)dx。
2.定积分的基本性质（1）线性性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，则对于任意实数k，有∫a^b kf(x)dx= k∫a^b f(x)dx。
（2）加法性质：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则有∫a^bf(x)dx + ∫a^b g(x)dx = ∫a^b [f(x)+g(x)]dx。
（3）区间可加性：若函数f(x)在区间[a,b]上可积，且a<c<b，则有∫a^b f(x)dx = ∫a^c f(x)dx + ∫c^b f(x)dx。
二、定积分计算的方法1.利用基本初等函数的积分表对于一些基本初等函数，我们已知它们的积分表达式，可以直接进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3 x^3 + C。
2.使用换元法当被积函数中含有复杂的函数表达式时，我们可以进行变量替换，使得被积函数中的形式简化，以便求解。
例如，对于∫(3x^2+2x+1)^2 dx ，令u=3x^2+2x+1 ，则有du=(6x+2)dx ，原定积分可以转化为∫u^2 du ，然后再对u进行积分，最后将u还原为x。
3.利用分部积分法若被积函数是两个函数的乘积，可以利用分部积分法来简化计算。
分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu。
例如，对于∫x*sin(x)dx ，令u=x ，dv=sin(x)dx ，则有du=dx ，v=-cos(x) ，根据分部积分公式可得∫x*sin(x)dx = -x*cos(x)+∫cos(x)dx = -x*cos(x)+sin(x)+C。
定积分的基本计算方法
定积分的基本计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来了解一下定积分的定义。
定积分是一个数学上的概念，它表示在一个区间上函数数值的总和。
在数学符号上，我们可以用∫表示定积分，其中∫a^b f(x)dx表示在区间[a, b]上函数f(x)的定积分。
这个符号中，a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数，dx表示自变量的微元。
接下来，我们将介绍定积分的基本计算方法。
在实际计算中，我们通常会用到定积分的基本性质和积分表。
定积分的基本性质包括线性性、区间可加性、积分中值定理等。
通过这些性质，我们可以将复杂的定积分计算化简为简单的代数运算。
另外，积分表是我们在计算定积分时经常会用到的工具。
积分表中包含了许多常见函数的积分表达式，我们可以通过查表的方式来进行定积分的计算。
当然，对于一些特殊的函数，我们也可以通过换元积分、分部积分等方法来进行计算。
除了基本性质和积分表，我们还需要掌握定积分的计算步骤。
在进行定积分计算时，我们需要先确定被积函数，然后确定积分的上下限，接着根据被积函数的性质选择合适的计算方法，最后进行具体的计算步骤。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用。
在数学领域，它可以用来求曲线下面积、求函数的平均值等；在物理领域，它可以用来求物体的质量、质心、转动惯量等。
因此，掌握定积分的基本计算方法对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
总之，定积分是微积分中的重要内容，掌握定积分的基本计算方法对于我们的学习和工作都是非常重要的。
通过本文的介绍，相信读者对定积分有了更深入的理解，希望能够在实际应用中灵活运用定积分的基本计算方法。
定积分的定义与计算方法
定积分的定义与计算方法定积分是微积分的重要概念之一，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总变化量。
本文将介绍定积分的定义及其计算方法，帮助读者更好地理解和应用定积分。
一、定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的面积或曲线下的有向面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，将其映射到函数的对应值f(ξi)，得到小矩形的面积为f(ξi)Δx。
当n趋向于无穷大时，每个小矩形的宽度趋近于0，这时求和Σf(ξi)Δx的极限就是定积分，记作∫[a, b] f(x)dx。
二、定积分的计算方法1. 几何法：对于简单的函数，可以根据几何图形的面积来计算定积分。
将函数的图像与坐标轴围成的区域划分为几个简单的几何形状（如矩形、三角形等），计算每个几何形状的面积，再将这些面积相加即得到定积分的值。
2. 分割求和法：将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
在每个小区间中选择一个代表点ξi，计算f(ξi)与Δx的乘积，然后将所有小区间的乘积相加，即可得到定积分近似值。
当n 越大时，近似值越接近定积分的真实值。
3. 定积分的性质：定积分具有线性性质和可加性质。
即对于任意实数a和b，有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
4. 牛顿—莱布尼茨公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数（即F'(x) = f(x)），那么∫[a, b]f(x)d x = F(b) - F(a)。
通过求函数的原函数，可以通过原函数的值来计算定积分。
三、应用举例1. 求解面积：设函数f(x)在[a, b]上连续且非负，其图像在坐标轴上方形成一个封闭区间。
此时，通过计算∫[a, b]f(x)dx可以得到该区域的面积。
2. 平均值计算：设函数f(x)在[a, b]上连续，则其平均值为f_avg =1/(b-a) * ∫[a, b]f(x)dx。
定积分的基本计算方法
定积分的基本计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在进行定积分的基本计算时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。
本文将介绍定积分的基本计算方法，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来了解定积分的定义。
定积分是一个区间上的函数在该区间上的平均值与区间长度的乘积。
通俗地讲，它可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。
在实际计算中，我们经常会遇到一些基本的函数，比如多项式函数、三角函数和指数函数等。
针对不同类型的函数，我们需要采用不同的计算方法。
对于多项式函数而言，我们可以直接利用定积分的定义来计算。
首先，我们将函数表示成一个无穷小区间上的和，然后对每一个小区间的函数值进行加总，最后取极限即可得到定积分的值。
这种方法比较直接，但对于复杂的函数可能会比较繁琐。
对于三角函数和指数函数，我们可以利用换元积分法来简化计算。
通过选择合适的代换变量，将原函数转化为一个更容易积分的形式，然后进行简单的积分运算即可得到结果。
这种方法在处理一些复杂的函数时非常有效，能够大大简化计算过程。
此外，我们还可以利用分部积分法来计算定积分。
分部积分法是对积分中的乘积进行分解，然后利用积分的性质进行转化，最终将原积分转化为两个更容易计算的积分。
这种方法在处理一些特殊的函数积分时非常有用，能够大大简化计算过程。
除了上述方法外，我们还可以利用定积分的性质来简化计算。
比如利用定积分的线性性质、积分中值定理、积分的比较性质等，都可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
总之，定积分的基本计算方法包括直接利用定义、换元积分法、分部积分法以及利用定积分的性质等。
在实际计算中，我们需要根据具体的函数形式选择合适的计算方法，以便简化计算过程，提高计算效率。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
《定积分的计算方法》课件
代换积分法
通过变量替换将一个 积分转化为另一个形 式的积分。
分式分解法
将复杂的有理函数进 行分解，再进行积分。
定积分的应用
定积分在几何、物理、经济学和生态学等领域有着广泛的应用。
1
几何应用
定积分可以计算曲线与坐标轴所围成的
物理应用
2
面积、曲线的弧长和旋转体的体积。
定积分可以描述物理量的累积变化，例
3 保号性质
对于非负函数，定积分的结果也是非负的。
4 中值定理
如果函数在区间上连续，那么存在一个点， 使得该点的函数值等于定积分的平均值。
定积分的计算方法
计算定积分有多种方法，包括函数积分法、分部积分法、代换积分法和分式将一个积分转化为两 个函数的乘积求积分。
定积分在实际中的应用
定积分在几何、物理、经济学和生态学等领域有着 广泛的应用。
学习定积分的建议
理解概念，多做练习，掌握不同的计算方法，加深 应用理解。
定积分等于曲线下的面积，可以用来计算不规则形状的面积。
物理意义
定积分可以表示物理量的累积变化，例如速度与时间的关系。
定积分的基本性质
定积分具有多个重要的性质，包括线性性质、区间可加性质、保号性质和中值定理。
1 线性性质
定积分具有线性运算，可以对函数的和、差 进行积分。
2 区间可加性质
定积分可以通过分割区间，并对每个子区间 进行积分，然后累加得到。
如速度、加速度和功的计算。
3
经济学应用
定积分可用于计算边际效益、成本和收
生态学应用
4
益等经济指标。
定积分可以计算物种的种群数量、生态 系统的稳定性等生态学指标。
示例分析
通过一些具体的例题，我们将深入了解定积分的计算方法和应用。
定积分的含义和计算
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种重要概念，它表示在一定区间内的曲线与坐标轴之间的面积或者是一个变量随着另一个独立变量的变化而累积的结果。
在实际应用中，定积分可以用于求解曲线下面积、质量、体积、平均值等问题，具有广泛的应用价值。
一、定积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]划分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δxi，区间[a,b]的分割记为P={x0,x1,…,xi,xi+1,…,xn}，则Δxi表示第i个小区间的长度。
选取小区间中任意一点ξi，构造n个函数值f(ξi)，则这些函数值的乘积f(ξi)·Δxi表示第i个小区间的面积，将这些小区间的面积加和即可得到整个区间[a,b]的面积。
当n趋于无穷大时，得到了定积分的定义：∫(a,b)f(x)dx=lim(n→∞)Σf(ξi)·Δxi其中f(ξi)表示小区间内其中一点的函数值，Δxi表示小区间的长度。
∫(a,b)f(x)dx表示在区间[a,b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算要计算一个函数的定积分，常用的方法有两种：几何方法和代数方法。
1.几何方法：利用几何图形的面积来计算函数的定积分。
将曲线与坐标轴围成的图形分为一些几何图形，计算这些图形的面积，然后将这些面积相加即可得到函数的定积分。
具体的步骤如下：（1）根据函数的特点，找到在区间[a,b]上函数的拐点，划分为多个子区间。
（2）对于每个子区间，确定曲线与坐标轴之间所构成的几何图形的公式。
（3）计算每个子区间的几何图形的面积。
（4）将各个子区间的面积相加，得到整个区间[a,b]上函数的定积分。
2.代数方法：利用微积分的基本公式和性质，将函数的定积分转化为求导或者函数原函数的问题，从而进行计算。
常用的方法有不定积分和定积分的基本性质以及换元积分法和分部积分法。
（1）基本性质：定积分具有线性性、界性、可加性、可换项性。
线性性：∫(a,b)(f(x)+g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(a,b)g(x)dx界性：若f(x)≤g(x)，对于a≤x≤b，那么∫(a,b)f(x)dx≤∫(a,b)g(x)dx可加性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx可换项性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx（2）换元积分法：根据链式法则，将复杂的定积分转化为简单的定积分。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下方的面积、变量间的平均值、曲线的长度等问题。
在计算定积分时，有几种常见的方法可以使用。
一、基本定积分计算方法1.函数不可导情况下的计算方法：当函数在闭区间上不可导时，可以将该区间划分成多个子区间，然后在各子区间上分别求积，最后求和。
2. 函数可导情况下的计算方法：对于可导函数，可以使用Newton-Leibniz公式求解定积分。
若函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x) = f(x)，则有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
二、几何意义的计算方法1.面积计算：当被积函数为非负函数时，定积分表示积分区间上的曲线与x轴之间的面积。
使用定积分计算面积时，要先找到积分区间，并选择一个适当的被积函数。
2.长度计算：当被积函数为非负函数时，定积分可以表示曲线的弧长。
通过将曲线分成小线段，并用小线段长度之和逼近曲线的弧长，然后取极限即可得到曲线的弧长。
三、换元法换元法是一种常用的定积分计算方法，通过代换变量的方式来简化被积函数。
具体步骤如下：1.将被积分函数中的变量替换为一个新的变量，使得替换后的函数能够更容易积分。
2. 计算新变量的微分形式dx，然后求解出新的积分上下限。
3.将原函数转化为新变量的函数，并根据新的上下限计算定积分。
4.最后要将新变量换回原变量的形式。
四、分部积分法分部积分法是通过Leibniz公式的一个特殊情况来进行定积分计算的方法。
具体步骤如下：1. 选择u和dv，其中u是整个被积函数的一个部分，dv是剩余的部分。
2. 求解du和v分别对x的积分。
3. 将原函数表示为uv积分减去∫vdu，其中v需要对x进行积分。
4.根据上述公式计算定积分。
五、极坐标下的计算方法当被积函数围成的区域具有对称性或者特殊的形状时，可以使用极坐标进行计算。
1.将被积函数与曲线转化为极坐标形式，即用r和θ表示。
2. 根据极坐标的面积元素dA=rdrdθ，计算出面积元素dA。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。
它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。
具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。
然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。
二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。
与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。
但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。
三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。
简单的定积分计算公式
简单的定积分计算公式
积分是数学中最基本的概念之一，它表示某个函数在某个给定区间内的面积或总和。
定积分是积分的一种重要形式，它可以用来计算常见几何图形的面积，以及复杂的物理量的总和。
计算定积分的公式简化了积分的计算过程，它的核心思想是用一个变量来代表一个函数，然后将函数表示为有限个点，通过每个点的函数值积分，就可以得到有关函数和指定积分
区间的关系。
定积分的计算公式是：∫ a b f（x）dx=F[b]-F[a]，其中f（x）是连续函数，a、 b对应的各
有上下限，F[x]是f（x）的积分，可以通过求向量积公式求解，这个积分结果叫做函数曲
线的积分值。
例如，根据定积分计算公式，计算函数f（x）=2x2-4x+3在[1,3]区间上的积分值，具体过
程如下：
首先，求f（x）的积分F[x]：F[x] = 1/3x^3-2x^2+3x
然后，计算[1,3]区间上的积分值：F[3]-F[1] = 1/3·3^3-2·3^2+3·3-(1/3·1^3-2·1^2+3·1) =
18-2+9-1/3+2-3 = 22.67
最终，[1,3]区间上的积分值为22.67。
因此，在求解数学相关的问题时，定积分的计算公式可以为常见几何问题提供精确的解答，它也经常被用来计算复杂的物理量的总和。
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中重要的概念之一，用于计算曲线下面的面积、求函数的平均值等。
在本文中，将介绍一些常见的定积分计算方法，并结合例子进行说明。
1. 定积分的定义定积分可以理解为将一个函数在区间[a, b]上的曲线下方的面积进行求和。
用数学符号表示，可以写作∫[a, b]f(x)dx，其中f(x)是要进行积分的函数，[a, b]表示积分的区间。
2. 几何法几何法是一种简单直观的计算定积分的方法。
它基于几何图形的面积计算方法，通过将曲线下方的区间划分为若干个矩形、梯形或三角形来逼近曲线下方的面积。
例如，我们要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分。
首先，将区间[0, 1]平均划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n=(1-0)/n=1/n。
然后，在每个小区间上取一个点xi，并计算出相应的函数值f(xi)。
接着，将矩形的高度设定为f(xi)，则每个小区间上的矩形的面积为f(xi)Δx。
最后，将所有小矩形的面积相加即可得到近似的定积分值。
3. 不定式法不定式法是一种通过求解原函数来计算定积分的方法。
如果给定函数f(x)在[a, b]上连续，并假设F(x)是它的一个原函数，则根据微积分基本定理，可得到∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这意味着我们只需要找到函数f(x)的一个原函数F(x)，并计算F(b)和F(a)的差值，即可求得定积分的值。
举个例子，考虑要计算函数f(x) = x²在区间[1, 3]上的定积分。
首先，求出函数f(x)的一个原函数F(x)。
由f(x) = x²可知，F(x) = (1/3)x³ + C 是f(x)的一个原函数。
根据不定式法，定积分的值为∫[1, 3]x²dx = F(3) - F(1) = (1/3)(3³) + C - [(1/3)(1³) + C] = 9/3 - 1/3 = 8/34. 分部积分法分部积分法是一种利用积分的性质来计算定积分的方法。
(计算物理学)第3章物理学中定积分的数值计算方法
辛普森法则
总结词
详细描述
公式表示
辛普森法则是另一种改进的数值积分 方法，通过将积分区间划分为若干个 小的子区间，然后在每个子区间上取 一个点，并使用这些点的函数值来近 似积分值。
辛普森法则是基于梯形法的改进，它 使用了更多的点来近似函数曲线。具 体来说，它在每个子区间上取两个点 （即区间的端点和中点），然后使用 这两个点的函数值来计算该子区间的 近似面积。将这些近似面积相加，即 可得到定积分的近似值。
几何意义
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即原函数曲线与x轴、 x=a、x=b所围成的区域面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf(x)+f (x)dx
区间可加性
∫caf(x)dx=∫baf(x)dx+∫caf(x)dx
常数倍性质
k∫baf(x)dx=k∫baf(x)dx
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误差分析
梯形法误差主要来源于对曲线的近似，当梯形 越多，近似程度越高，误差越小。
适用范围
适用于被积函数在积分区间上变化较小的情形。
辛普森法则的误差分析
辛普森法则的基本思想
将积分区间分成若干个小区间，每个小区间上用抛物线代替曲线， 然后求抛物线面积之和。
误差分析
辛普森法则误差主要来源于对曲线的近似，当抛物线越多，近似程 度越高，误差越小。
形等。
计算体积
02
定积分可以用来计算三维物体的体积，例如长方体、球体、圆
柱体等。
计算长度
03
定积分可以用来计算曲线或曲面的长度，例如圆的周长、椭圆
的弧长等。
在物理学中的应用
01
定积分的定义怎么计算公式
定积分的定义怎么计算公式定积分的定义及计算公式。
定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积变化量。
定积分的计算方法有很多种，其中最常用的是利用定积分的定义来进行计算。
在本文中，我们将介绍定积分的定义及其计算公式，以及一些具体的例子来帮助读者更好地理解定积分的概念和计算方法。
定积分的定义。
在介绍定积分的计算公式之前，我们先来了解一下定积分的定义。
在数学中，定积分可以用来描述函数在一个区间上的累积变化量。
假设有一个函数f(x)，我们要求解它在区间[a, b]上的定积分，可以用以下公式表示：∫[a, b] f(x)dx。
其中，∫表示积分符号，a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
定积分的计算公式。
定积分的计算公式可以根据被积函数的不同而有所不同。
下面我们将介绍一些常见的定积分计算公式。
1. 基本积分公式。
如果被积函数是一个常数函数，那么定积分的计算公式就是：∫[a, b] cdx = c(b a)。
其中，c是一个常数，表示被积函数的值。
2. 多项式函数的积分公式。
如果被积函数是一个多项式函数，那么可以利用多项式函数的积分公式来进行计算。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + k，它在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] (ax^n + bx^(n-1) + ... + k)dx = (a/(n+1))x^(n+1) + (b/n)x^n + ... + kx |[a, b] 其中，|表示在区间[a, b]上的取值范围。
3. 三角函数的积分公式。
如果被积函数是一个三角函数，那么可以利用三角函数的积分公式来进行计算。
例如，sin(x)和cos(x)的定积分计算公式分别为：∫[a, b] sin(x)dx = -cos(x) |[a, b]∫[a, b] cos(x)dx = sin(x) |[a, b]这些是定积分计算公式中的一些基本公式，通过这些公式可以对各种类型的函数进行定积分的计算。
数值计算数值积分
数值计算数值积分
数值积分是求解定积分的一种数值方法，它通过将定积分区间分割为若干小区间，在每个小区间上选用一个代表点，然后通过求出每个小区间上的面积之和来逼近定积分的值。
常见数值积分方法
矩形法
矩形法是一种最基本的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，然后在每个小区间的左端点、右端点或中点上求出函数的函数值，最后将这些函数值相加乘以区间长度，即为定积分逼近值。
梯形法
梯形法比矩形法在逼近定积分时更加精确，它将每一小块区间都近似看作平行四边形，通过求出每个小区间上的梯形面积之和来逼近定积分值。
辛普森法
辛普森法是一种更高精度的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，在每个小区间的两端和中点处分别求出函数的函数值，然后按照一定的公式将这些函数值组合起来求解定积分近似值。
总结
数值积分方法在数学、工程学等领域应用广泛，本文介绍了数值积分的三种常见方法，分别是矩形法、梯形法和辛普森法。
实际应用中可以根据不同的场景选择使用不同的数值积分方法，以更加准确地达到目标求解效果。
定积分基本计算公式通用课件
定积分的注意事项
04
积分区间要正确
积分区间是定积分的 核心要素之一，必须 准确无误。
区间选择错误会导致 积分结果不准确，甚 至出现错误的结果。
积分区间的确定要根 据具体问题进行分析 ，确保区间选择的合 理性。
被积函数要正确
被积函数是定积分的另一个重要 要素，必须准确无误。
被积函数的选择要根据具体问题 进行分析，确保函数表达式的正
定积分的应用
03
面积计算
总结词
定积分在面积计算中有着广泛的应用，可以用来计算平面图形的面积。
详细描述
定积分的基本计算公式可以用来计算平面图形的面积，例如矩形、圆形、三角 形等。计算转化为定积分 的计算。
体积计算
总结词
定积分在体积计算中也有着重要的应用，可以用来计算三维物体的体积。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于由曲线、x轴和区间 [a,b]所围成的曲边梯形的面积。
详细描述
定积分的值等于由曲线y=f(x)、x轴和 区间[a,b]所围成的曲边梯形的面积。 这个面积可以通过将曲边梯形分割成 若干个小矩形，然后求和得到。
定积分的性质
要点一
总结词
定积分具有线性性质、可加性、积分区间的可加性、积分 的可加性等性质。
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。它将一个复杂函数的定积分 转化为两个简单函数的定积分的和的导数，从而简化计算过程。
详细描述
分部积分法的基本思想是将两个函数的乘积进行求导，然后将求导结果进行积分，从而得到原函数的 一个表达式。这种方法可以将一个复杂函数的定积分转化为两个简单函数的定积分的和的导数，从而 简化计算过程。分部积分法在求解某些物理问题时也具有广泛应用。
定积分的概念和计算方法
定积分的概念和计算方法定积分是微积分的重要概念之一，它不仅有着广泛的应用，而且对于深入掌握微积分知识也具有极其重要的作用。
本文将介绍定积分的概念和计算方法。
一、定积分的概念首先，我们需要了解什么是定积分。
在数学上，定积分可以用来计算曲线下的面积。
它是从a到b之间的函数f(x)在x轴上方所围成的面积。
具体来说，定积分是指将积分区间[a, b]分成若干个小区间，对于每个小区间，在区间内部任意选取一个点，计算出该点处函数值f(x)，然后将所有小区间内的函数值乘以它所对应的区间长度 dx，再将所有小区间的面积加起来，就可以得到整个积分区间[a, b]内的曲线下面积S。
即：$ \int\limits_a^b f(x)dx=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\sum\limits_{i=1}^nf(x_i)\Delta x $其中，$ \Delta x=\frac{b-a}{n} $ ，$ x_i=a+i\Delta x $。
需要注意的是，定积分的计算结果既有正值，也有负值，具体取决于f(x)在x轴的上下位置关系。
二、定积分的计算方法在计算定积分时，我们需要选取合适的积分区间，确立精确的函数模型，然后根据积分公式进行计算。
下面将介绍三种常见的定积分计算方法。
1. 几何意义法几何意义法是指通过将函数图像与x轴围成的面积分为若干个几何图形，分别计算每个几何图形的面积，然后加起来得到定积分的值。
例如，计算 $ \int\limits_1^2 xdx $ 时，我们可以将积分区间[a, b]分成若干个小区间，对每个小区间用梯形的面积近似代替曲线下的面积。
这样，整个定积分就被转化为梯形的面积之和。
2. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式法是通过积分的导数来计算定积分的值。
如果一个函数f(x)在[a, b]区间内可积、连续，那么它的原函数F(x)就存在，即：$ \int\limits_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $这个公式被称为牛顿-莱布尼茨公式。
定积分的定义和计算
定积分的定义和计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积、质量、体积等物理量。
本文将介绍定积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定积分的定义定积分的定义可以通过分割求和的思想来解释。
给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上进行分割，将该区间划分为n个子区间，每个子区间的长度为Δx。
选取每个子区间中的一个点xi，然后计算函数在该点的函数值f(xi)。
将这些函数值乘以子区间的长度Δx，并对它们进行求和，得到一个近似值。
当我们让n趋近于无穷大时，所得到的近似值逐渐接近定积分的准确值。
定积分的定义可以表示如下：∫[a, b]f(x)dx = lim[n→∞]∑(i=1 to n)f(xi)Δx其中∫表示定积分的符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量x的微小变化，lim表示极限操作，∑表示求和。
二、定积分的计算方法定积分的计算可以通过基本积分公式和定积分的性质来进行。
1. 基本积分公式定积分的计算可以利用基本积分公式，将被积函数直接进行积分。
例如，对于多项式函数、三角函数等常见函数，可以通过查表或运用基本积分公式来计算定积分的值。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，可以简化计算过程。
（1）线性性质：若f(x)和g(x)是可积函数，a和b是常数，则有以下等式成立：∫[a, b][f(x) + g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx∫[a, b]af(x)dx = a∫[a, b]f(x)dx（2）区间可加性：若f(x)在区间[a, b]和[b, c]上是可积函数，则有以下等式成立：∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx（3）换元积分法：对于积分区间和被积函数都有一定条件的情况下，可以通过换元积分法简化计算过程，将积分转化为更容易处理的形式。
定积分基本计算公式
b( x)
f
dx a( x )
证:
如果 f (t)连续，a( x)、b( x)
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
例1 求
解
分析：这是 型 不定式，应用洛 必达法则.
d 1et2dt
lim dx x0
cos x
x2
.
cos x et2 dt , 1 .
1
2e
d 1 et2 dt
dx cos x
sin x ecos2 x
lim 1 et2dt
lim
x0
cos x
x2
x0
2x
证
F ( x)
x
x
xf ( x)0 f (t )dt f ( x)0 tf (t )dt
x
2
0 f (t )dt
d dx
x
0
f
(t )dt
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)
1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
f (x)
x2
1
sin t t
dt ,
因为 sin
一 定积分计算的基本公式
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[生活]第一讲定积分的数值计算第一讲定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。
【主要内容】定积分的数值计算方法，包括:矩形法、梯形法与辛普森法;对误差的了解:精度与收敛速度引言首先回忆一下函数在区间上的定积分概念的建立过程。
考虑在区间内任意插入个分点的分法:把分割成个小区间，第个子区间的长度为;任取数，做乘积，把所有这些乘积相加得到和式.如果无论区间怎样划分及分点怎样选取，当时，该和式都趋于同一常数，则称函数在区间上可积，且称此常数为在区间上的定积分，即。
称和式为积分和或黎曼和。
在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割和点的选取都是任意的。
显然，对于区间的不同分割或者点的选取不同，得到的和式一般不同。
定积分的定义中要求在对区间无限细分()的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。
这一点初学者较难理解。
我们将通过数值实验来加以理解。
当在区间上连续，为在区间上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式方便地求得。
但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。
而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。
我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。
实验一定积分概念的深化——达布和设函数在区间上有界。
考虑将将区间任意分割成个子区间()的分法，设在子区间上的上、下确界分别为，称为在子区间上的振幅，和式分别称为关于该分割的达布(Darboux)大和与达布小和。
由定义可知，函数对应于同一分割的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。
当在区间上不连续时，达布和不一定是积分和，但它们都与积分和有着密切的联系，容易知道对于同一分割，有. 可以证明在区间上可积的充分必要条件是现在假定在区间上非负连续，那么达布大和在几何上就表示在子区间上以为高所做的个小矩形构成的阶梯形的面积;达布小和表示在子区间上以为高所做的个小矩形构成的阶梯形的面积，它们的差就是这两个阶梯形面积之差。
由于函数在区间上可积，所以当，即当区间被无限细分时，这两个阶梯形面积都趋于该曲边梯形的面积，从而这两个阶梯形面积之差为零，即.当考虑对区间进行等分时，我们有相应地将、分别记作和.特别，如果在区间上单调增加，那么达布小和就是左和，达布大和就是右和;如果在区间上单调减少，那么达布大和就是左和，达布小和就是右和，即数值实验1对区间上作等分，观察在上的达布大和与达布小和之差随增加时的变化趋势。
Mathematica 程序(ch1-ex1.nb)实验过程:(1) 改变分割次数，观察;(2)改变被积函数观察实验结果分析与理解:从实验看出，对于函数，它在上的达布大和与达布小和之差随增加而趋于0. 达布大和与达布小和分别趋于曲边三角形的面积。
实验二定积分数值计算方法——近似计算如果在区间上可积，那么我们已经知道用它的左和或右和来逼近它，我们称之为矩形求积公式。
当越大，逼近的精度越高。
根据上述求积公式当为增函数时，，当为减函数时，，我们甚至知道什么时候左和及右和给出的是过剩的近似值还是不足的近似值。
从上面的数值实验例子可以看到，当=2时，左和给出了一个相当差的不足近似值，而右和也只给出了一个相当差的过剩近似值。
当然，当充分大时，它们都能给出好的近似值。
但是，在给定的条件下，我们如何修改计算求积公式，使本例中左和与右和产生的不足与过剩相互抵消，提高计算的精度,一个办法是根据单调函数的特点，使用中点值，得到如下中点求积公式; 另一办法是取左和与右和的平均值，得到如下梯形求积公式.数值实验2 在给定分割数的条件下，观察使用左求积公式(左和)、右求积公式(右和)、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分的值的精度情况。
Mathematica 程序(ch1-ex2.nb)实验过程:(1) 改变分割次数，观察;(2)改变被积函数观察实验结果分析与理解IntegrateValue= 2.66666666666666667从实验中，我们看到，对于给定的条件下，使用左求积公式(左和)、右求积公式(右和)、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分的值时，中点公式具有最好的精度。
随着的增加，它们的精度也相应提高。
实验三更高的精度要求与收敛速度——对误差的了解当我们计算一个近似值时，总会涉及到误差，即准确的答案与近似值之差。
我们从来不知道准确的误差，假如知道，也就知道准确的答案了。
因此，我们有必要对误差有好的了解。
记，其中是定积分的积分和，它是定积分精确值的一个近似值，称为误差。
显然，误差越小，近似值越接近精确值，这时，我们说精度越高。
这里，我们通过实验来了解如何估计误差界限以及怎样使误差变小的方法。
数值实验3 使用左求积公式(左和)、右求积公式(右和)、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分，观察当分割数依次增加10倍或100倍时误差的变化情况。
在观察过程中，注意各近似值中小数点后有几位相同。
继续增大，直到我们希望的增大按一位数停止变化，我们称之为稳定。
最令人感兴趣的是误差不是随机的，而是随定规律变化。
Mathematica 程序(ch1-ex3.nb)实验过程:(1) 改变分割次数的倍数，观察小数点后数字的变化;(2)改变被积函数观察实验结果对实验结果的观察，我们能得到如下事实:(1) 左、右求积公式所致误差具有相反的符号，但在数值上近乎相等。
这是因为，函数在上单调增加，左和总是不足近似值，右和总是过剩近似值。
而且，因为每个子区间长度很小时，连续函数在每个子区间上几乎是一条直线，那么左和与右和的误差几乎相等。
(2) 中点求积公式与梯形求积公式能产生更好的近似。
因为它们较好地消除了左和与右和所致的不足误差与过剩误差。
比如，梯形求积公式所致误差正好是左、右求积公式所致误差的平均值。
(3) 对左求积公式与右求积公式而言，每增加一个小数位的精度，大约需要增大10倍，即大约需要增加10倍的工作量。
对应地，增大10倍，使用中点求积公式和梯形求积公式大约能增加两个小数位的精度。
因此，矩形求积公式的误差大约正比于，中点求积公式和梯形求积公式大约正比于。
从这种意义上，中点求积公式和梯形求积公式具有更快的收敛速度。
一般地，如果某求积公式给出定积分精确值的一个近似值，且存在正数，使得(非零常数) 那么，称该求积公式是阶收敛的。
特别，当时，称该求积公式具有线性的收敛速度;当或时，称该求积公式具有超线性的收敛速度。
一般认为，一个二阶收敛的求积公式具有快的收敛速度。
可以证明矩形求积公式具有线性的收敛速度，中点求积公式和梯形求积公式具有二阶收敛速度。
定理设在区间上具有连续的二阶导数，那么梯形求积公式是二阶收敛的。
其中证明在小区间上，梯形求积公式用连接两端点、的直线段近似代替该小区间上的曲线弧。
易知称为的一阶拉格朗日插值多项式或线性插值函数。
记，称为插值余项，那么，并可设. . 任取，作辅助函数，易知满足，反复应用罗尔定理可知，至少存在一点，使得，注意到，那么.从而我们得到，，于是梯形求积公式的绝对误差可用给出，显然进一步，由于在上连续，记，那么我们就得到了梯形求积公式的误差估计式利用这一求积公式，我们得到如下几点认识:(1)当时，梯形求积公式的误差，这说明梯形求积公式是数值稳定的。
(2)梯形求积公式的误差是阶的，或者说梯形求积公式是二阶收敛的，这说明梯形求积公式有较快的收敛速度。
(3)利用该求积公式我们能确定适当的分割次数来满足给定的精度要求。
(4)误差依赖被积函数。
从该求积公式可以看出，较小的产生较小的误差，说明的二阶导数对梯形求积公式的误差有较大的影响。
因为决定曲线的曲率，因此曲线越歪曲，梯形求积公式的误差越大，曲线越平坦，梯形求积公式的误差越小。
这在几何上是非常清晰的，因为梯形求积公式是使用直线段近似代替曲线段，当曲线曲率较小时，在一个小区间上的一段曲线近乎直线。
实验四辛普森求积公式及应用细心观察上面的实验，还可以看出梯形求积公式与中点求积公式的误差符号相反，且前者约为后者的两倍。
这样，我们就会想到利用这两个公式的加权平均数将得到更小的误差。
这一公式称为辛普森求积公式。
下面我们从另一角度来阐述辛普森求积公式。
我们知道，矩形公式、中点公式在每个子区间上用常数逼近，梯形公式在每个子区间上用线性函数逼近。
如果我们在每个子区间上用二次函数逼近，即用抛物线代替原曲线，就得到辛普森求积公式。
由于二次函数含三个参数，每段要用相邻两个小区间端点的三个函数值，因此要将区间分成个子区间。
在第段的两个小区间上用三个节点、、作二次插值函数，那么有将各段相加，得到辛普森求积公式可以证明，如果有连续的四阶导数，那么辛普森求积公式是四阶收敛的。
所以辛普森求积公式有更高的精度和更快的收敛速度。
数值实验4 使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分，观察它们的精度对照。
Mathematica 程序(ch1-ex4.nb)实验过程实验结果数值实验5 使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分，观察当分割数增加5倍时误差的变化情况。
Mathematica 程序(ch1-ex5.nb)实验过程改变被积函数和积分区间，观察分割次数为2和20，10和100的精度变化实验结果数值实验6 将区间二十等分，并将在各分点处的函数值列成表，利用该数据表使用梯形求积公式和辛普森求积公式来计算定积分的值，并与精确值比较。
Mathematica 程序(ch1-ex6.nb)实验结果数值实验7 使用梯形求积公式和辛普森求积公式解决下列问题。
问题1 某树干其周长随树高(距地面)而变化，下表给出了树高与周长的一些对应值:表8.10 5 10 15 20 25 30 树高/m8 7 6 4 2 1 0 周长/m假设树干的横截面都为圆形的，试估算树干的体积。
Mathematica 程序(ch1-ex7.nb)(使用上面已经验证了的梯形求积公式和辛普森求积公式程序ch1-02-ex06.nb，只对数据部分作了适当修改)实验结果思考题1 从几何的角度观察左、右求积公式的误差与被积函数的一阶导数有何依赖关系。
并用分析方法证明在一定条件下，左、右求积公式具有线性收敛速度。
2 证明课文中从两个角度得到的辛普森求积公式是一致的。
3 有一种船，它的船体的宽度是由下表的数据给出的，在表中从左到右读表，给出的是在船的吃水线以下某一水平现内从船头到船尾0m，10m，60m各点处的的宽度，从上向下读出，给出的是在船头到船尾之间某点处在吃水以下场m，2m，4m，6m,8m各水平处船的宽度，试根据梯形求积公式和辛普森求积公式来估算船体位于吃水线以下部分的体积。