(课程标准卷地区专用)高考数学二轮复习 专题7 数学思想方法课件 文(解析版)

程思想
(2) 15(B)，2012 课程标准卷 16(C)2012 课程 解答 标准卷 17(B)，2012 课程标准卷 20(B)，
(3) 2012 课程标准卷 21(C)
考点 2 数形结合 选择 2012 课程标准卷 5(A)，2012 课程标准
思想
(3) 卷 7(B)，2012 课程标准卷 11(C)
第19讲│ 二轮复习建议
数形结合思想主要围绕选择题和填空题展开，其知识背景有 函数、函数与方程、不等式、简单的线性规划、三角函数、平面 向量、解析几何等，命题者通常围绕上述内容设计使用数形结合 思想解决的问题或者依靠数形结合找到解题思路的问题，目的是 考查数形结合的思想意识在解题中的应用程度．
预计 2013 年对上述两种数学思想方法的考查仍然有较高的频 度，会在近年的基础上有所突破和创新．
第19讲│ 要点热点探究
[点评] 本例第一题是函数思想的应用，从题目看不出函数 的痕迹，但在解题中需要构造函数、研究函数的性质得出问题 的答案，这是函数思想的深层次运用；第二题是方程思想的应 用，方程思想是高中数学解题中使用最广泛的数学思想方法， 解决许多函数、解三角形、数列、不等式、解析几何问题等都 离不开方程思想．
第19讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲得出结论需观察各选项的结构 ⇨ (推理)问题等价于 ea＋3a>eb＋3b，ea－2a<eb－2b 在 a>0，b>0 时推知 a，b 的大小关系 ⇨ (结论)构造函数 f(x)＝ex＋3x，g(x) ＝ex－2x 后研究这两个函数的单调性；
(2)(分析)欲求|AF|只需求出点 A 的横坐标 ⇨ (推理)设出直 线 AB 方程与抛物线方程联立消元可得点 A，B 的横坐标之积， 根据抛物线定义和已知可得点 A，B 的横坐标之和 ⇨ (结论)组 成方程组解之即得．
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[答案]
(1)A
5 (2)6
[解析] (1)由 ea＋2a＝eb＋3b，有 ea＋3a>eb＋3b，令函数 f(x)＝ex＋3x，则 f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f(a)>f(b)，∴a>b，A 正确，B 错误；
由 ea－2a＝eb－3b，有 ea－2a<eb－2b，令函数 f(x)＝ex－ 2x，则 f′(x)＝ex－2，函数 f(x)＝ex－2x 在(0，ln2)上单调递 减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当 a，b∈(0，ln2)时，由 f(a)<f(b)， 得 a>b，当 a，b∈(ln2，＋∞)时，由 f(a)<f(b)得 a<b，故 C、 D 错误．
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[思考流程] (1)(分析)欲得 c 值需知 c 满足什么条件 ⇨ (推 理)已知的三次函数有两个极值点，结合函数图象可知只要这两 个极值点有一个为零即可 ⇨ (结论)计算后确定选项；
(2)(分析)欲求实数 a 的值需知其满足的方程 ⇨ (推理)与已 知直线平行的曲线的切线的切点即为所求的点，根据导数求出 切点坐标 ⇨ (结论)使用点线距离公式建立方程解之．
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[答案] (1)－13 (2)C [解析] (1)因为向量 b⊥(λa＋b)，所以 b·(λa＋b)＝0，即
(1,1)·(2λ＋1,4λ＋1)＝0，解得 λ＝－13. (2)对于①，函数 f(x)＝x2(x≥0)是增函数，方程 f(x)＝2x 的
解是 x＝0，x＝2，故[0,2]是函数 f(x)＝x2(x≥0)的倍值区间；对 于②，函数 f(x)＝ex(x∈R)是单调递增函数，方程 f(x)＝2x，即 ex＝2x 无解，证明如下：设 g(x)＝ex－2x，则 g′(x)＝ex－2， 可得 x＝ln2 是函数 g(x)在定义域上唯一的极小值点也是最小值 点，故 g(x)≥g(ln2)＝2－2ln2>0；
坐标为(x，x2＋a)，根据点到直线的距离公式得
d＝
|x2－x＋a|＝ 2
x－122＋a－14≥a－14＝
► 探究点二 数形结合思想的应用
例 2 (1)已知函数 y＝x3－3x＋c 的图象与 x 轴恰有两个公
共点，则 c＝( )
A．－2 或 2
B．－9 或 3
wenku.baidu.com
C．－1 或 1
D．－3 或 1
(2)[2012·浙江卷] 定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的
最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离．已知曲线 C1：y＝x2＋a 到直线 l：y＝x 的距离等于曲线 C2：x2＋(y＋4)2＝2 到直线 l： y＝x 的距离，则实数 a＝________.
2
0，解得
ax＝1±22
＝
1 2±
42，且12－
42－18＝
3－2 8
2>0，所以方程
logaax－18＝2x 有两个不同的根 loga12－ 42，loga12＋ 42，故函数 f(x)
＝logaax－18存在倍值区间．
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说明：A 表示简单题，B 表示中等题，C 表示难题．
第19讲│ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度：函数与方程思想主要围绕下面几点展开．第一点是 函数，设计函数解析式的求解、构造函数解决问题，目的是考查最 基本的函数与方程思想；第二点是围绕解析几何展开，设计运用方 程思想求曲线方程，建立函数关系求最值、范围等问题，从深层次 上考查函数与方程思想；第三点是围绕数列展开，设计运用方程思 想求数列的通项公式，运用函数思想求解数列中的范围、最值，或 不等式等问题，也是从深层次上考查函数与方程思想；第四点是围 绕解三角形展开，设计运用方程思想解三角形、使用函数思想求解 其中的最值、范围等问题，也是深层次地考查函数与方程思想；第 五点是围绕导数解答题展开，设计使用方程思想确定待定系数，构 造函数解决不等式、方程等问题，是从更深的层次上考查函数与方 程思想．
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变式题 (1)[2012·浙江卷] 设 a>0，b>0，e 是自然对数的底数 ()
A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a>b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a<b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a>b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a<b (2)函数 f(x)的定义域为 D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数 f(x)满足：①f(x)在[a，b]内是单调函数；②f(x)在[a，b]上的值域为 [2a,2b]，则称区间[a，b]为 y＝f(x)的“倍值区间”．下列函数中存在 “倍值区间”的有( ) ①f(x)＝x2(x≥0)；②f(x)＝ex(x∈R)； ③f(x)＝x24＋x 1(x≥0)；④f(x)＝logaax－18(a>0，a≠1)． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
直线
l
的距离，故12－14－a＝14－a，所以14－a＝
2
2
2
2，可得a－14
＝2，a＝－74或 a＝94，当 a＝－74时，曲线 C1：y＝x2－74与直线 l：y
＝x 相交，两者距离为 0，不合题意，故 a＝94.
第19讲│ 要点热点探究
方法 2：圆到直线的距离求法同方法 1.设曲线 y＝x2＋a 上点的
主干知识整合
第19讲│ 主干知识整合
1.函数与方程思想 (1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用 联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变 量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质， 使问题得到解决． (2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表 示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)， 通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决． (3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的， 是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思 想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．
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[答案]
(1)A
9 (2)4
[解析] (1)若函数 y＝x3－3x＋c 的图像与 x 轴恰有两个公共 点，则说明函数的两个极值中有一个为 0.函数的导数为 y′＝3x2 －3，令 y′＝3x2－3＝0，解得 x＝±1，可知极大值为 f(－1)＝2 ＋c，极小值为 f(1)＝c－2.由 f(－1)＝2＋c＝0，解得 c＝－2，由 f(1)＝c－2＝0，解得 c＝2，所以 c＝－2 或 c＝2，选 A.
第19讲│ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 函数与方程思想的应用 例 1 (1)[2012·浙江卷] 设 a>0，b>0，e 是自然对数的底 数( ) A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a>b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a<b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a>b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a<b (2)过抛物线 y2＝2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两 点，若|AB|＝2152，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
第19讲│ 要点热点探究
对于③，函数 f(x)＝x24＋x 1在[0,1]上单调递增，方程x24＋x 1＝2x
在[0,1]上的解是 x＝0，x＝1，故[0,1]是函数 f(x)＝x24＋x 1的倍值区间；
对于④，根据复合函数的单调性无论 0<a<1 还是 a>1，函数 f(x)＝
logaax－18都是单调递增函数，方程 logaax－18＝2x，即 a2x－ax＋18＝
第19讲│ 主干知识整合
2．数形结合思想 (1)就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互 转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅 形”两个方面． (2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结 合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象 思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路， 而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程． (3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填 空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图， 见数想图，以开拓自己的思维视野.
专题七 数学思想方法
第19讲 函数与方程思想和数形结 合方法 第20讲 分类与整合思想和化归与 转化思想
专题七 数学思想方法
第19讲 函数与方程思想和 数形结合思想
第19讲│ 云览高考
[云览高考]
题型
考点统计
(频
考例(难度)
率)
选择 2012 课程标准卷 4(A)，2012 课程标准 (3) 卷 9(B)，2012 课程标准卷 10(C)，2012 考点 1 函数与方 填空 课程标准卷 14(B)，2012 课程标准卷
第19讲│ 要点热点探究
(2)方法 1：曲线 C2：x2＋(y＋4)2＝2 到直线 l：y＝x 的距离为 圆心到直线的距离与圆的半径之差，即 d－r＝|－24|－ 2＝ 2.由 y
＝x2＋a 可得 y′＝2x，令 y′＝2x＝1，则 x＝12，在曲线 C1 上对应
的点 P12，14＋a，所以曲线 C1 到直线 l 的距离即为点 P12，14＋a 到
第19讲│ 要点热点探究
(2)由抛物线方程可知 p＝1，焦点 F 的坐标为12，0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝2152，所 以 x1＋x2＝1132.设直线 AB 的方程为 y＝kx－12，代入抛物线 y2 ＝2x，得 k2x2－x＋14＝2x，即 k2x2－(k2＋2)x＋k42＝0，x1＋x2 ＝k2k＋2 2＝1132，所以 k2＝24，将 k2＝24 代入 k2x2－(k2＋2)x＋k42 ＝0，因为|AF|＜|BF|，所以解方程得 x1＝13，所以|AF|＝x1＋p2 ＝56.
第19讲│ 二轮复习建议
复习建议：数学思想方法贯穿数学学习的始终，单纯依靠一个 讲次不可能解决问题，设置本讲的目的是给学生一个整体上的认 识，即认识这些数学思想方法的含义、它可以解决哪些方面的问题， 这些思想方法对解题有什么好处，因此本讲的重点是强化使用数学 思想方法指导解题的思想意识．
第19讲│ 主干知识整合