导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析

一、内容安排

本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分.

导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数.

这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”.

导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法.

微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的.

本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考）

3．1导数的概念........................约3课时

3．2几种常见函数的导数................约1课时

3．3函数的和、差、积、商的导数........约2课时

3．4复合函数的导数....................约2课时

3．5对数函数与指数函数的导数..........约2课时

3．6函数的单调性......................约1课时

3．7函数的极值........................约2课时

3．8函数的最大值与最小值..............约2课时

3．9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时

小结与复习........................约2课时

二、教学目标

1．了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

2．熟记基本导数公式:

0='c ，(c 为常数)，1)(-='n n nx x ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='

3．掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.

4．了解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数.

5．会求指数函数和对数函数的导数（熟记e x ，a x ，lnx ，log a x 的导数公式）

6．会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般是指单峰函数）的最大值与最小值.

7．通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值，文化价值和基本思想.

三、重点与难点

从教学角度考虑本章的重点之一是：根据导数定义求简单函数导数的方法.一方面，按导数的定义求导数可以帮助学生进一步理解导数的概念；另一方面，像两个函数四则运算的求导法则，复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数.

从学生掌握知识的角度考虑本章的重点之二是：掌握利用导数判别可导函数极值的方法教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大（小）值的判定，其中最关键的是可导函数极值的判别定.通过判定可导函数的极值，可以使学生加深对可导函数单调性与其导数的关系的了解；并且，掌握了可导函数极值的判别法之后，再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法，就不成问题了. 难点之一：对导数概念的理解一方面，导数的概念建立在极限的思想上，因此它比较抽象；另一方面，导数概念的定义方法学生不太熟悉.教学中，应结合光滑曲线的斜率，非匀速直线运动的瞬时速度等实际背景，从物理和几何两方面入手引导学生逐步理解导数的概念.

难点之二：求实际问题（包括科技、经济、社会中的）的最大值与最小值在掌握可导函数极值的判别法之外，判定可导函数的最值并不困难，但对一些实际问题，往往会遇到障碍这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与之相应的函数关系（即建模）

四、教材主要特点

（一）加强知识发生过程的学习

学生开始接触的知识，关键是对导数的基本概念、性质等有一个初步的认识，进而达到能够运用由其内容反映出来的数学思想和方法的目点为此，适当介绍有关概念、性质的来龙去脉，对学生了解、把握它们是十分必要的

本章的主要概念是导数，教科书在讲述导数的概念时，首先用比较多的篇幅介绍了导数产生的几何背景——光滑曲线的切线的斜率，以及物理背景——瞬时速度，由此引出函数在一点的导数的定义.接下来，又阐述了导数的几何意

义，这样处理，符合学生的认识规律，有利于学生正确理解和掌握导数的意义

函数的单调性、可导函数的极值与函数的最大值与最小值是导数应用的具体内容，为了使学生能够正确地运用相应的方法，教科书首先从几何直观上让学生了解这此概念，进而引出它们与导数的关系，从而获得解决问题的方法，这样处理，符合知识的发生和发展过程及学生的认识规律，有利于学生正确理解和运用相应的方法.而整章从介绍光滑曲线的斜率，以及物理背景——瞬时速度（知识的发生），到导数的概念和基本函数的导数及有关求导法则（知识的发展）直到最后导数的应用，更是遵循了微积分建立的历史过程.

（二）降低理论要求，重视数学应用

学习导数，要着眼于用导数的知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作中的问题精力，既没有必要也不可能收到明显的效果.因此，与以往高中教材中的导数部分比较，本章在数学应用的内容上适当加强了，而在理论要求上则有所降低 本章导数的初步知识中介绍了一此导数公式与求导法则，教材侧重的是公式在求导中的应用，而淡化（或删除了）公式与法则的理论推导.

例如，在导数公式中，函数x m 的导数公式只给了m 是正整数情况下的证明，

函数sinx 、cosx 的导数公式则没有给出证明；（对数函数与指数函数的导数公式没有给出证明，是因为超出了目前的学习范围），在两个函数四则运算的求导法则中，没有给出商的求导法则的证明，没有给出复合函数求导法则的证明（最近册去）这些都表明皆在降低理论要求.

五、教学中应注意的问题

（一）突出教学重点，把握教学要求

为了提高教学效率，在每个知识的教学中，一定要抓住重点，并把握好教学要求的深度和广度

1．3.1导数概念中，学习导数概念的实际背景时，侧重点应放在瞬时速度的讲授上，而将光滑曲线的切线的斜率作为辅导材料.是因为所汲及地物理背景比较贴近学生的生活经验，学生容易理解还不熟悉的时候，要学生体会“PQ 是曲线的割线，当点Q 沿着曲线无限接近于点P 时，如果割线PQ 有一个极限位置，则直线叫做曲线在点P 处的切线”这个定义，比较困难.

在导数的定义中，应抓住增量y ∆的意义，增量x ∆可正可负，它只是一个改变量强调定义式x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()()(000

00lim lim 的意义和特征

2．对于导数公式和两个函数的和、差、积、商的求导法则，不需要补充介绍其证明，但要熟记公式和法则，关键是能让学生运用它正确地求简单的初等