3.基和向量在基下的坐标

下面讨论同一个向量在不同基下的坐标变换公式. 设向量 α在基α 1 , α 2 , ..., α n 下的坐标为(x 1 , x 2 , ..., x n ), 在基β 1 , β2 , ..., β n下的坐标为(y 1 , y 2 , ..., y n ), 则
6
x1
x11
x2 2
xn n
§4.4 Rⁿ的基、向量在基下的坐标
1
1.基与坐标
定义：设α 1 , α 2 , ..., α n 为Rn 中的n个向量，若它还满足 （1） α 1 , α 2 , ..., α n线性无关； （2） Rn 中任意一个向量α都可以被α 1 , α 2 , ..., α n线性表示为
α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + …+ x n α n 则称α 1 , α 2 , ..., α n 为Rn的一组基，而n元有序数组（ x 1 ，x 2， …， x n ）称为向量α 在基α 1 , α 2 , ..., α n下的坐标 ，且易知 α 在基α 1 , α 2 , ..., α n下的坐标唯一。
α 1 , α 2 , ..., α n是基，每个β j都可以表示为α 1 , α 2 , ..., α n的线
性组合，设
1 a111 a212 an1n ,
2
a121
a222
an2n ,
n a1n1 a2n2 annn .
a11
令A
a21
a12
a22
a1n a2n
2 1 1
12
(1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 )B，其中
1 1 2 B 1 2 0,
1 3 1
(1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 )B ((1 ,2 ,3 ) A1 )B (1 ,2 ,3 ) A1B,
所以基1
,
2
,
3到基
1
,
2
,
的过渡矩阵为
3
3 1 2 11 1 2 6 19 1
x1 y1
y1
x1
x2
A
y2
或
y2
A1
x2
.
xn yn
yn
xn
9
例 在R3中，求向量 (4,12,6)在基1 (2,1,3),2 (1,0,1),
3 (2,5,1)下的坐标.
解 取R3中的标准基1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1),
A1B 1 1 3 1 2 0 13 42 1.
2 1 1 1 3 1 2 7 0
13
例
已
知R
4中
的
基1
,
2
例：E
( 1 ,
2
,
3
)
1 0
0 1
0
0
的列向量组是
R3 的一组基，
0 0 1
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
3
1
7
0
2 1
3 2
7 3
7 0 0 1
b 在基 ɛ1, ɛ 2, ɛ3 下的坐标
3
1 1 1
而上三角形矩阵
A
(1
,
2
,
3
)
0
1
1
的列向量组也是
0 0 1
R3的一个基，那么
2
1
1 1
3 (1) 0 (4) 1 71 1 42 73
7
0
0 1
结论： Rn 的基不唯一， 且同一个向量在不同基下的坐标是 不同的．
4
2.基变换与坐标变换
定义：设α 1 , α 2 , ..., α n 和β 1 , β 2 , ..., β n为Rn的两组基.由于
yn
因为向量α在基α 1 , α 2 , ..., α n 下的坐标是唯一确定的，所以
x1 y1
x2
A
y2
,
xn yn
8
即
x1 a11 y1 a12 y2 a1n yn ,
x2
a21 y1
a22 y2
a2n
yn ,
xn an1 y1 an2 y2 ann yn .
解 要求基1 ,2 ,3到基1 , 2 , 3的过渡矩阵，就需要把 i
表示为
1
,
2
,
的
3
线性
组合,
直接计算比较麻Βιβλιοθήκη Baidu，我们
可借助标准基1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)到这两
组基的过渡矩阵来计算.
所以(1 ,2 ,3 ) (1, 2 , 3 )A，其中
3 1 2 A 1 1 3 ,
5
y1 y2
A1
x1 x2
2 7
3 2 4
5 2
4
7
612 16,
y3
x3
1 2
1 2
1 2
6
1
即在基1,2 ,3下的坐标为(7,16,1).
11
例 在R3中，求由基1 (3,1,2),2 (1,1,1),3 (2,3,1)
到基1 (1,1,1),2 (1,2,3),3 (2,0,1)的过渡矩阵.
(1,2 ,,n )
x2
,
xn
y1
y1 1
y2 2
yn n
(1, 2 ,, n )
y2
,
yn
且(1, 2 ,, n ) (1,2 ,,n )A,
7
从而
x1
y1
y1
(1 ,2
,,n
)
x2
(1,
2 ,,
n
)
y2
(1 ,2
,,n
) A
y2
.
xn
yn
an1 an2 ann
5
则A称为由基α 1 , α 2 , ..., α n 到基β 1 , β 2 , ..., β n的过渡矩阵. 注 意过渡矩阵A的第i列为基向量β i在基α 1 , α 2 , ..., α n 下的坐标. 利用矩阵乘法，两组基的关系可以表示为
( β 1 , β 2 , ..., β n )=(α 1 , α 2 , ..., α n ) A 称为基变换公式.
上两式称为坐标变换公式. 且可证过渡矩阵A可逆.
定理4.1 设Rn中的基α 1 , α 2 , ..., α n 到基β 1 , β 2 , ..., β n
的过渡矩阵为A，则A是可逆矩阵，如果向量α在这两组基
下的坐标分别为(x 1 , x 2 , ..., x n )和(y 1 , y 2 , ..., y n ), 则
则在标准基下的坐标为( x1, x2 , x3 ) (4,12,6),且
1
2 2
1 1
2 3
,
3
3
,
3 21 5 2 3 ,
所以由标准基
1
,
2
,
3到基1
,
2
,
的过渡矩阵为
3
2 1 2 A 1 0 5
3 1 1
10
若设在基1 ,2 ,3下的坐标为( y1, y2 , y3 )，则