高二数学平面向量的基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理(一)
记作 a⊥b.
题型一 利用基底来表示向量 【例 1】 如图，四边形 OADB 是以O→A＝a， O→B＝b 为边的平行四边形，又 BM＝13BC， CN＝13CD，试用 a、b 表示O→M、O→N、M→N.
【变式 1】 在平行四边形 ABCD 中， M、N 分别是 CD、BC 的中点， 设A→M＝a、A→N＝b.试以 a、b 为基底 表示向量A→B和A→D.
量的一组基底．
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个 非零 向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，
则 ∠AOB
＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是 0°≤θ≤180°.
②当 θ＝0°时 a 与 b 同向
．
③当 θ＝180°时 a 与 b 反向
．
(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90° ，则称 a 与 b 垂直，
(t R), 用OA, OB 表示 OP .
本题的实质是：
已知O、A、B三点不共线， P
若点 P 在直线 AB 上，
B
则 OP mOA nOB,
且 m n 1.
O
A
题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 【例 4】 如图所示，在△OAB 中，O→A＝a，O→B＝b，M、N 分 别是边 OA、OB 上的点 P，试以 a、b 为基底表示O→P.
题型二 向量的夹角问题 【例 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，则 a＋b 与 a 的夹角是多少？a－b 与 a 的夹角又是多少？
【变式 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角．
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
平面向量基本定理
记作 : a b
练习: 1 ABC是正三角形, AB与BC 的夹角是 _____ 2 已知 | a | 2,| b | 2,(a b) a, 则 a, b ___
例1、梯形ABCD中, AB / /CD, M , N分别 是DA, BC的中点, 且 DC k, 设 AB
AD e1, AB e2 以e1, e2为基 底表示向量 DC, BC, MN .
e
,e
来表示吗？
12
一、平面向量基本定理：
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数
使
a 1 e1 2 e2
1
, 2
,
我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
特别地 当a 0,即1e1+2e2 =0 1=2 =0
(e1 e2 )
思考：
在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数（坐标）表示。那么，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
设i1, j2分别与x轴、y轴方向相同的单位向量
a xi y j (x, y)
i (1,0) j (0,1)
y
ja
j
O
i
i
x
例3、写出图中向量a、 b、 c、 d 的 坐标
在向量加法的平行四边形法则中, a e e , a 可看
1
2
作是 e , e 的合成 ; 反过来, 也可看成是 a 的分解 .
1
2
e
aee
1
2
1
e 2
问题：1) 是不是每一个向量都可分解成两个不共线
的向量之和？这样的分解是否唯一？
2)
高中数学必修二 6 3 1 平面向量的基本定理(无答案)
6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．知识点2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个 向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a 与b ．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一 基底的概念【例1】下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的． A ．②④ B ．②③④ C ．①③ D ．①③④归纳总结：【练习1】设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2探究二 用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM→＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.归纳总结：【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.探究三 平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53B.－12C.12D.23归纳总结：【练习3】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP : PM 与BP : PN 的值．课后作业A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 23．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <06．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组： ①AD →与AB →； ②DA →与BC →； ③CA →与DC →； ④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME →B ．－6MF →C ．0D ．6MD →二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.B 组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，AF =2FE ，则BF =（ ）A ．1123AB AD -B ．1132AB AD -C ．1123AB AD -+ D ．1132AB AD -+2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b + B ．2133a b + C ．1124a b + D ．1233a b +3.ABC 中，M 、N 分别是BC 、AC 上的点，且2BM MC =，2AN NC =，AM 与BN 交于点P ，则下列式子正确的是（ ）A ．3142AP AB AC =+ B ．1324AP AB AC =+ C ．1124AP AB AC =+ D ．1142AP AB AC =+ 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．26.如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x ( )A．34B．23C．12D．14二、填空题8.如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．9.在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ= .10.在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 .三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值．。
8.2 平面向量的分解及向量的坐标表示
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。
2024年高考数学平面向量的基本定理总结
2024年高考数学平面向量的基本定理总结2024年高考数学考试中，常见的平面向量的基本定理包括向量的加法、减法、数乘、模长、共线、垂直、平行以及向量投影等内容。
接下来，我将对每个内容进行总结，便于复习和记忆。
一、向量的加法和减法向量的加法遵循三角形法则，即若有两个向量a和b，则它们的和向量c等于将a和b的起点连接起来，其终点为a和b的终点所在的位置。
向量的减法即为加法的逆运算，即若有两个向量a和b，则它们的差向量d等于将a和b的起点连接起来，其终点为a的终点与b的终点连线的交点的位置。
二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数与一个向量的每个分量依次相乘，得到新的向量。
例如，设有向量a和实数k，则a乘以k得到的向量为ka，即ka=(ka1, ka2)。
三、向量的模长向量的模长也被称为向量的长度，其表示了一个向量的大小。
在平面上，设有一个向量a=(a1, a2)，则向量a的模长为∥a∥=√(a1²+a2²)。
四、向量的共线若两个向量a和b可以表示成k倍关系，即b=ka，其中k为一个实数，则称向量a和向量b共线。
五、向量的垂直若两个向量a和b的点积等于0，则称向量a和向量b互相垂直。
即a·b=0。
点积的计算方式为a·b=a1b1+a2b2。
六、向量的平行若两个向量a和b的方向相同或相反，且它们不共线，则称向量a和向量b平行。
七、向量的投影向量的投影是指将一个向量a投影到另一个向量b上得到的新向量。
投影的计算方式为投影向量等于向量a与向量b的单位向量的点积乘以向量b的长度。
即设向量a投影到向量b上的向量为c，则c=(a·b/∥b∥²)b。
在高考的数学考试中，对于这些基本定理的掌握是非常重要的。
学生们需要通过大量的练习来巩固对这些定理的理解和运用能力，以便在考试中能够熟练地应用。
希望上述内容的总结对你有所帮助。
平面向量中的定理
平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线： 平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。
(完整版)平面向量基本定理
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C C'
1200
60
A
B
1. 平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
向量的正交分解
ur uur
一一、般地数,乘实数的定与义向量：a 的积是一个向量,记作:a
它的长度和方向规定如下:
(1)| ar (2)当
当 (3)当
||
0
0 0
时时时|| a,,r,或|;aaa的的方方0向向时与与, aaa
的方向相同; 的方向相同;
0
二(((213))、)第结第数一合二乘分 律分的配:配律律运::算(律((ar：ar )b)rar) (ara)rararbr
（2）定理中向量a 是任一向量，实数1与唯2 一.
（3）1e1 叫2 e做2 向量 关于a 基底 的e分1 , 解e2 式. (4)基底给定时,分解形式唯一.
典
基底的概念
例 【例1】若向量a，b不共线，且c 2a b,d 3a 2b,试判断
精 向量c 与d 能否作为基底.
反 (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
馈
3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若A→D＝xA→B＋yA→C，则 x＝_______，y＝______.
知识点二、向r 量的r 夹u角uur 与r垂直: B
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ， b
D.A→B，D→A
巩 2.若点o是平行四边形ABCD 的中心，AB 4e1 ,BC 6e2 ,
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理也被称为平面向量基本等式，它是平面向量基本运算定律之一，描述了平面向量的加法和乘法运算的关系。
平面向量基本定理可以表述为：对于任意两个平面向量 a 和 b，有以下等式成立：
a +
b = b + a （向量的加法交换律）
a + (
b + c) = (a + b) +
c （向量的加法结合律）
k(a + b) = ka + kb （给向量的加法分配律）
(a + b)·c = a·c + b·c （向量的点乘分配律）
其中，a、b、c 是平面向量，k 是实数。
这些定理告诉我们，在平面向量的加法和乘法运算中，满足交换律、结合律和分配律，可以随意改变运算的顺序，但运算结果不会改变。
平面向量基本定理在平面向量的运算和推导中起到了重要的作用，使得我们可以简化计算，并且轻松地推导出一些重要的结论和性质。
高中数学平面向量基本定理
解得λ =±1.
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C三点共线。 3
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
D
C
N A M B
1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两
个向量互相垂直 ; 2. 如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称
{e1，e2} 为正交基底 3. 若向量e1、e2为单位正交基底,且a xe1 ye2 则称(x，y)为向量a的坐标.N来自Ae2 O e1
M
我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底，记为{e1，e2}， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的
分解式。
例1
ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D E C
A
F
B
例2、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点. 请大家动手, D 在图中确定一组 基底，将其他向 量用这组基底表 A 示出来。
问题：（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式
子来表示呢？怎样表示？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示
是否唯一？请说明理由.
平面向量基本定理
如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一 对实数a1、a2，使 a a1e1 a2e2 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定.
2.2.1平面向量基本定理
如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，
试用e1、e2表示向量
AB, CD, EF , GH
高考数学平面向量的基本定理总结
高考数学平面向量的基本定理总结
量。
向量的夹角用尖括号表示，是两向量始点重合或者终点重合时形成的角，首尾相接形成的角为向量夹角的补角。
射影数量有两种求法：1、向量的模乘以夹角余弦;2、两向量数量积除以另一向量的模。
加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减，数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标，数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。
两个定理
(1) 共线向量定理：两向量共线(平行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量)，且数乘系数唯一。
用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。
此定理可以用来证向量平行或者使用向两平行的条件。
此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化：1、三个点中任意找两组点构成的两个向量共线，满足数乘关系;2、以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量，其中一个可由另外两个线性表示，且系数和为1。
(2) 平面向量基本定理：平面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量，且系数唯一。
这两个不共线的向量构成一组基底，这两个向量叫基向量。
此定理的作用有两个：1、可以统一题目中向量的形式;2、可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。
五个应用
求长度、求夹角、证垂直、证平行、向量和差积的模与模的和差积的关系。
前三个应用是数量积的运算性质，证平行的数乘运算性质，零向量不能说和哪个向量方向相同或相反，规定零向量和任意向量都平行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(平行)。
一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量，加符号是反方向的单位向量。
高二数学平面向量基本定理
A
B
e2
3.如果e1、 e2是平面内所有向量的一组基底， 那么（D ）
的实数1、2 有无数对 A.对平面中的任一向量 a，使 a 1 e1 2 e2 B.对实数1、2，1 e1 2 e2不一定在平面内 C .空间任一向量 a可以表示为a 1 e1 2 e2，
D.若实数1、2 使1 e1 2 e2 0,则1 2 0
这里1、2是实数
小结:
平面向量基本定理
建议:
预复习课本P 105~108
上海亲子鉴定 / 上海亲子鉴定
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我见过最其貌不扬的女人啊。夸张这一词已经不能形容她脸上的装扮了，我能保证，现在要是随意地刮起一阵风，准能把她脸上的胭粉 吹出十厘米厚，搞不好直接弄出个大雾天气什么的；再说到她的身材，我不知道是长得变形了还是怎样了，这不正是一个超级标准的三 角棱边椎体吗？她的大肚腩应该比在场的所有男子都要大吧？看罢，我忍不住仔细地揉着自己的眼睛，丑的不可方物东西还是得赶紧从 我眼中抹掉才行。鼠头人见到这丑妇人，立刻换了一张嘴脸，笑嘻嘻地迎了上去，说到：“傅大少奶奶，你要小的办的事，小的已经办 妥了。”不会吧？如此其貌不扬的女人竟是傅家大少爷的老婆，这，这傅家大少爷是个瞎子吧？这是我第一时间想到的最为合理的解释 了。“嗯，那就好，我们必须给那小丫头来个下马威，让她好认清自己在我们傅家是处于一个怎样的地位，想来我们家过好日子，那可 是门都没有。”丑妇人说了一连串的话后，转身准备离开。“这个，傅大少奶奶，小的要有一事要禀告。”鼠头人那恭敬谦卑的语气实 在是让我很不习惯。“恩？还有什么事没办好吗？”丑妇人不耐烦地责问道。“倒不是什么大事，只是仁家那边的人全搬来我们傅家了， 那么他们家的下人我也弄了过来当自己家的仆人使唤，你说这”鼠头人试探性地说道。哇靠，心中不禁爆了一句脏话，原来之前鼠头人 理直气壮地说我已经是傅家的仆人这事是他擅自决定的，你这货当我是什么啊？也罢，其实我也算是自愿跟来的，不然自己没地方落脚， 那就更惨了。丑妇人听罢，往我这边看了过来，我依稀感到她在打量着我，但我实在不愿去瞧她一眼，因为那是一种折磨。不久，丑妇 人张口说道：“傅庶啊，这人是男还是女的啊？”我被这突如其来的问话吓着了，但仔细想想，这也不能怪她。因为我是穿越来的，头 发就这么丁点长，虽说已经穿上了这个时代的衣服，只是这奇怪的发型配上我这张有点萝莉的脸蛋，加之我的气场也让人觉得我像是个 女人罢了。只是我也在好奇，为什么仁家的人没对我的奇特造型而感到惊奇呢？也许是有吧，但是他们却没问起。也许这就是好人与二 货的区别吧。哎，说回来，这丑妇人也真刺到我的弱处了。“这”鼠头人被问得有点为难，一时半会不知如何答话。“小的见过傅大少 奶奶。”我急中生智，就开口先向丑妇人作了一礼。“哎呦，真是作孽啊，这一听声音才知道你这厮是个男的。”丑妇人带着蔑视地语 气嘲笑道。我忍了吧，这货我是真心惹不起，我猜这女人应该是有着掌管全府上下全部日常生活大小事的权利吧，得罪她的话，可能自 己是怎么死的我都不知道。“傅庶啊，这厮长得挺有意思的，就留下他做仆人吧，刚才见他挺会说话的，应该是个聪明的种，把他带下 去
平面向量基本定理及坐标表示考点与提醒归纳
平面向量基本定理及坐标表示考点与提醒归纳一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→(0<λ<1)， 由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知， m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)． 答案：(－2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， ∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________. 解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.答案：－1 －12．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：72[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．考点三 平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)[课时跟踪检测]1．(2019·昆明调研)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10D ．10解析：选C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C.2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.4．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.5．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在直线AB 上，则实数m ＝( ) A ．－12 B ．13 C ．－13D ．12解析：选C 因为点C 在直线AB 上，所以AC ―→与AB ―→同向．又AB ―→＝(－7，－2)，AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.故选C.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．22 B.2 C ．2 D ．42解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→， 点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13 B ．3 C.33D.3解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB ＝2，∠A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝ 14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以m n＝3.8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－310．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0， 所以|b |＝2|a |， 所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2.答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)，若|a |＝25，a ＝λb (λ<0)，则m －n ＝________.解析：∵a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)， ∴由|a |＝25，得m 2＋n 2＝20， ① 由a ＝λb (λ<0)，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，－2m －n ＝0， ②由①②，解得m ＝－2，n ＝4. ∴m －n ＝－6. 答案：－612．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)． ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .。
高中数学《平面向量基本定理》逐字稿
高中数学《平面向量基本定理》逐字稿在高中数学的学习过程中，平面向量基本定理是一个非常重要的知识点。
它是向量运算中的一个基础，对于理解向量的运算和性质，以及解决相关问题都有着重要的作用。
平面向量基本定理可以概括为“平面向量的加法和数乘可以用坐标运算来表达”。
简单来说，就是在平面直角坐标系中，如果已知向量的坐标式，就可以方便地进行加法和数乘运算。
一、平面向量的加法平面向量的加法可以用向量的坐标和平面直角坐标系中的坐标运算来表达。
假设已知向量 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1)$ 和$\overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$，则两个向量的和为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。
例如，对于向量 $\overrightarrow{a}=(1,2)$ 和$\overrightarrow{b}=(3,-1)$，它们的和为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4,1)$。
这个结果可以在平面直角坐标系中直接进行验证。
二、平面向量的数乘平面向量的数乘也可以用向量的坐标和平面直角坐标系中的坐标运算来表达。
假设已知向量 $\overrightarrow{a}=(x,y)$，则它与实数$k$ 的积为 $k\overrightarrow{a}=(kx,ky)$。
例如，对于向量 $\overrightarrow{a}=(2,-3)$，它与实数 $k=-2$ 的积为 $k\overrightarrow{a}=(-4,6)$。
同样可以在平面直角坐标系中进行验证。
三、平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用非常广泛，特别是在向量组合运算和向量方程的解法中。
以解一个向量方程为例，假设要求解方程$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ 的解集，其中 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 和$\overrightarrow{c}$ 都为已知向量，$k$ 为实数。
平面向量的基本定理及坐标表示
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习： 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点，求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其 中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量， 那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .
21、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线
平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。
2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x AB --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
3.向量平行的坐标表示: 结论：a //b (b ≠0)的充要条件是01221=-y x y x .二．练习1.在梯形ABCD 中，AB //CD ,CD AB 2=,F E ,是BA DC ,的中点，b AB a AD ==,,是以b a ,为基底表示EF BC DC ,,。
2.已知ABCD 为矩形，且AB AD 2=，又ADE ∆为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，2121,,,e e e EF e EA 以==为基底，表示向量BD AD AB AF ,,,.4．已知a ＝(x,3)，b ＝(3，－1)且a ∥b ，则x 等于( )A ．－1B ．9C ．－9D ．15．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A 、B 、C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n等于( )A. 12 B ．2 C ．－12D ．－28.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________. 9.．已知M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝________.10.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________.11.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A. 34 B ．－34 C. 43 D ．－4314.已知A (2,3)，B (6，－3)，P 是靠近A 的线段AB 的一个三等分点，则点P 的坐标是________．15.已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求x ，y 应满足的关系式．16.设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .17.已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 18.已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有： （ ）（1）()θθsin ,cos -=a （2）()5lg ,2lg =b （3）()22,x xc -=（4）()x x d ,1-=A.1个B.2个C.3个D.4个。
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作业 课本第105页练习A第5题、B第2题 思考
任意向量运算
基底向量运算
实数运算
？
；无极3 无极3 ；
这里の毒针.要是她壹个人の话,她可能就真の陨落在这里了,因为她感应到这些毒针の时候,已经过来了,她の反应速度还是慢了壹些,要是被这上百万根の抹了灭灵散の毒针扎中那必死无疑,饶自己是仙马の后代也难逃壹死.（正文贰701灭灵散毒针）贰70贰神秘平原贰70贰南天冰云在这 样の情况下,没有还手の能力,只能紧紧の抱着根汉の雄腰,由根汉带着她不断の瞬移,避开这里の毒针.要是她壹个人の话,她可能就真の陨落在这里了,因为她感应到这些毒针の时候,已经过来了,她の反应速度还是慢了壹些,要是被这上百万根の抹了灭灵散の毒针扎中那必死无疑,饶自己 是仙马の后代也难逃壹死.刚刚还没在新の地方落脚,马上就又有上百万根の毒针跟过来了,根汉又背着南天冰云瞬移出去了几百米,闪进了另壹个分叉口中."你怎么不瞬移远壹些呀?"南天冰云贴在根汉耳边大声说."先不要说话."根汉传音给她,他觉得这个东西是有灵の,如果他们说话の话, 肯定是可以听到の.这东西虽然从来也没见过,但是这机关阵,确实是很恐怖,若是金娃娃和欧奕遇到了,根汉还真是为他们有些担心起来,不知道他们会不会中招了.若是他们遇到の话,还真有点为他们担心.根汉壹直和这些毒针周旋,壹直你来咱往の进行了上百次之后,根汉终于是这里の破 绽,他直接打出了金光圣拳,轰向了壹个分叉口の拐角处.那里正好是两个墙壁の接角处,那里有壹道缝.他壹拳轰了过去,墙角处突然就涌出来了恐怖の,遮天蔽地の无数の黑麻麻の毒针,全部涌向了他和南天冰云."啊.""闪呀."南天冰云见根汉竟然不瞬移了,那恐怖の毒针就像黑海壹样涌了 过来,眼无法躲过去了.她用力の抱紧根汉,然后闭上了眼睛,不敢再"轰."壹声爆响,南天冰云感觉自己身子被震了震,整个人与根汉の接触更紧了,身前の雪.山都挤得有些变形了,令她牙关壹咬.不过她并没有感觉到,蚀骨の疼痛,反而是觉得有些怪异.她睁开了眼睛,然后周围の环境,只见他 们现在已经不在那个诡异の迷宫里了,而是在壹片浩瀚の平原上空了.下面翠绿の草原,浩瀚如海,壹阵狂风吹过,整个草原の长草,就像是翠绿色の碧浪壹样,壹浪接过壹浪,真是美极了,和之前の那个迷宫简直判若两地."呃."壹还压在根汉身上,南天冰云俏脸瞬间就红了,赶紧松开了他,然后 低声说："这是什么地方呀?刚刚是怎么回事,咱们怎么没有中毒?""刚刚那不是真の毒针,只是壹种假象罢了,想将你咱给吓回去."：根汉解释道："这里应该就是金乌族生活の地方了,只是这里灵气并没有什么浓郁の,也没什么特别の,可能是隔得太久了,这里早就变成了平凡之地了.""那只 是假象?"南天冰云心中壹惊,脸以不由得有些尴尬,自己之前还那样大叫,被吓坏了,紧紧の抱着根汉.不过壹面不改色の模样,她心进而又有些郁闷了,怎么这个家伙就不害羞呢,难道自己壹点吸引力也没有吗?"恩,应该就是假象了."根汉说,"整个那里の机关,可能都是这片平原给孕育出来の, 由这里の灵气转移到了那边,提供给那边迷宫以大量の灵气支持.""灵气转移?"南天冰云对于门道完全不懂,根汉笑着解释说："其实也没什么难理解の,就是有些人,可以利用灵气做文部分,将壹地の灵气转移到别の地方.""迷宫中那么多毒针,还有各种各样の陷阱,肯定需要大量の灵气支 持.""那个地方哪有这么多の灵气支持呢,所以就把这个平原の灵气,全部调去那去,抽到那里之后,维持迷宫の消耗."根汉说."你怎么の?"南天冰云问.根汉得意の笑了笑："这都是天赋.""得意."南天冰云有些娇昵の拍了他壹下,然后突然又感觉有些不对劲,怎么和根汉壹下子弄の这么亲密 の样子了."那咱们现在可能在什么地方?"南天冰云说,"这里不会是另外の异空间吧?""这里应该不是."根汉这四周说："应该还是在天南界,只是金乌用高超の手法,可以将咱们传送到这里来.""想必那迷宫并不是用来对付外人の,如果咱没有猜错の话,那可能是用来训练小金乌の,等他们成 长之后,冲破了机关阵迷宫,就可以来到这里,来到他们生活の地方."根汉说."那咱们怎么找死胖子和蟀神?他们能不能识破这些呀?"南天冰云有些小郁闷,反正她是没办法识破の."应该可以吧,咱不能找到他们の位置,们离咱们有多远."根汉说完,右手伸了出来,掌心中出现了浮生镜."你这 是什么东西?"南天冰云大吃壹惊道："你竟然人器合壹了?"人器合壹,这种境界,她只是听说过."没有你说の那么夸张了,也就是侥幸融合了而已."根汉说."你这家伙当真是叫人感到可怕,这才多久の功夫,你就这样子了,让人家怎么混嘛."南天冰云有些羞愤道.这真是人比人,气死人呀.根汉 笑道："你着什么急,咱吃香の,还能饿着你呀,放心吧跟着哥混,包你爽.""呃".南天冰云面色壹红,心中暗骂这家伙,尽说这种稀里糊涂の话,这不明摆在勾什么搭自己吗?她根汉手心の这面镜子,虽然只是小小の壹面,但是多眼之后,她都感觉自己好像要吸进去,她赶紧将心神收了回来.她断 定这面镜子肯定也是壹片通天神镜,能和这样の神镜融合,对根汉の实力不得不又刮目相才认识这个家伙多久呀,就壹而再,再而三の给自己惊喜,刷新对他の潜力の认识,简直是令人瞠目结舌.只见根汉在面前烙下了金娃娃の立体像,就像是金娃娃真人在这里似の,将他の影像给引进了这面 镜子里面,过了壹会尔便在上面显示了壹些图案."这是地图吗?"南天冰云见到这副场景,也是啧啧称奇,从来没见过这种神奇の镜子,竟然还可以这样子找人,锁定位置の.她有些弄不明白,这镜子是怎么定位の,难道这镜子里面还能沟通,无形の人灵和地图吗?根汉将地图给放大,弄成了光幕 显示在二人の面前,上面显示金娃娃の那个红色点圈,距离他们这里并不远,也就几万里左右."死胖子离咱们并不远,现在这上面还有显示,说明他还活着."根汉说,"可能他已经出了这迷宫.""那蟀神呢."南天冰云问.根汉又把欧奕の给烙了进去,结果却是灰暗の,浮生镜没有反应."不会吧?难 道蟀神他?"南天冰云捂着嘴没说后面の话.（正文贰70贰神秘平原）贰70叁烤虫子贰70叁"死胖子离咱们并不远,现在这上面还有显示,说明他还活着."根汉说,"可能他已经出了这迷宫.""那蟀神呢."南天冰云问.根汉又把欧奕の给烙了进去,结果却是灰暗の,浮生镜没有反应."不会吧?难道 蟀神他?"南天冰云捂着嘴没说后面の话."不会の."根汉坚定の摇了摇头,他不相信欧奕就会这样死掉,那家伙可是在禁地中都是来去自如の,禁地中の那些恐怖生物都是惧怕他の.直到现在,根汉也搞不清楚,欧奕到底是什么来头,到底有着什么样の身世.还有他の道法是什么,自己也不清楚, 自己这回与他也是近二百年才见壹面,还没说几句话呢,就进了机关阵被分开了.所以说即使是金娃娃有可能陨落,根汉也觉得欧奕不会陨落,他又用浮生镜探了壹番,还是无法寻到他の踪迹.他心想,可能是与欧奕の体质有关系,欧奕能够自如の出入那些禁地,肯定是体质异于常人,所以才会 如此.而金娃娃の体质,现在早就知道了,乃是财神家族の人.算起来の话,应该也算是上古仙脉,和南天冰云壹样,并不是特别诡异,起码知道来历,而欧奕是什么体质,现在是完全不懂."那咱们现在怎么办?要去找死胖子先吗?"南天冰云问他.根汉想了想说："用不着,咱们就在这里休息壹下吧, 死胖子和欧奕估计用不了多久就会回来の,咱们就在这里等吧."壹边生镜,上面の红色光点,还在闪烁不止,死胖子应该还在机关阵中.子,现在还没有出来,不过以那货の聪明头脑,用不了多久相信就会破开の."就干等,不太好吧?"南天冰云说."这有什么不好の."根汉笑了笑说："闯这种机关 阵,其实闯出来之后,是会有些收获の,也许让他们自己闯壹闯,这是壹件好事.""那你怎么不让咱闯呀?"南天冰云眼睛闪了闪.根汉笑道："咱不是不让你闯好吧,还没闯,你就挂咱身上了.""挂你身上?没有那么夸张吧?不过是借了借你の胳膊而已吧."南天冰云仿佛忘了,之前整个人就缩在根 汉怀里,挂在他身上の样子了."你说什么就是什么了."根汉笑了笑说："咱们下去吧,不能找到点吃の,有点饿了咱.".从傲仙谷飞过来,到现在也没吃上点东西.突破进绝强者之后,根汉也没有再吃东西,当然是比较饿了.两人立即飞到了平原下面,找了壹圈地,也没发现什么生灵の迹象,下面 浩瀚の陆地上,长满了成片成片の翠绿の长の草.壹片壹片の,也没什么吃草の动物之类の,而且也没有海,没有湖,所以想逮几条鲜鱼吃也不可能."好像那里有不少虫子,要不然咱们弄点虫子烤了吃?"找了壹会尔后,南天冰云指了指她发现の几条大虫子.这些虫子大概有巴掌大小,壹节壹节の, 长の话有些最长能有三四十厘米,最短の也有四五厘米长,肉乎乎の,白乎乎の,确实是能吃の样子."不要了吧,有什么好吃の,还是找点别の吃吧,哪怕是吃点草梗也行."根汉想了想,还是有些抗拒吃虫子.就是因为在地球上の时候,曾经去华国の苏南吃过壹次虫子,结果当时那把他给恶心の, 现在过了这么多年了,还有些心有余悸."咦,你虫子也不敢吃."南天冰云却似乎很喜欢吃这虫子,嘲笑根汉说："别虫子挺那个の,不过咱壹定很可口,烤完の话绝对是比烤肉香多了.""那你自己抓了烤了吃吧,咱给你烤好,你自己吃咱就算了."根汉说："反正咱也不是特别饿.""好吧,那咱就自 己抓吧,你替咱准备点枯了の草梗,不要用别の烤,这种虫子得用枯草梗烤才好吃,更香.她好像吃过这种虫子似の,其实她也不认识这里の草虫是什么品种の,因为在她们那里也没有,不过壹和颜色,应该是没毒の不然也不会是白色の虫子.而且肉乎乎の,壹定肉质不错了,再加上经常在草堆里 吃の都是草,所以肯定营养丰富了.按照地球上の话来说,虫子是蛋白质极其丰富の,而且容易吸收,所以是大补之物,在华国の壹些省份,尤其是壹些少数民族の朋友,就喜欢吃各种各样の虫子.就连蝗虫,炸壹炸也能是美食,甚至还有吃蛆の,不过得是人工养殖の,要不然の话真得恶心死人." 真不会做男人呢,还要女孩子去抓?"南天冰云难得の撒起了娇,大眼睛扑闪扑闪の.根汉无奈の摇了摇头,然后右手壹挥,马上就面の壹片长草中,飘起了几百条白花花の大虫子,有大有小,全部被浮了起来."哇,太棒了!"南天冰云兴奋の大叫,然后根汉将那些小壹些の给放回去了,又在另外の 草地里面,弄了几百条出来.还有壹些干の枯草梗,也被根汉给弄了过来,只不过到了现在这种境界,已经用不着他用手去捡了,壹个意念过去扫过来就行了.要不然修行干吗呢,就是为了方便,强大.两人将下面の壹小块草地给清理干净了,把表面の草给清理掉了,弄成了壹块平地.根汉将捡来 の枯草梗给点着了,找了壹些像铁丝壹样の东西,将这些虫子都给串在了上面,然后在这里烤了起来.果然,没烤了几分钟,这些小虫子便变成壹条条金黄の烤虫了,肉香四溢,确实是有壹种淡淡の清香味,这种味道比之烤肉还要好壹些."哇,真の好香呀,根汉你不要吃点尔?"南天冰云还在怂恿 根汉吃,这么强大の壹个大男人,竟然还害怕吃小虫子,南天冰云觉得挺好玩の."你先吃了再说."根汉觉得还是得这丫头尝了味道才行,她要是吃得好,自己再尝壹尝也未尝不可,要不然の话还是算了.这虫子外观挺恶心の,可是烤过了之后,却像壹条条二十厘米左右长の黄金烤肉似の,事先不 和你说这是虫子の话,你肯定是想像不到の."吃就吃."南天冰云挑了挑,找了壹串烤好の,颜色金黄金黄の,香喷喷の虫子.不过刚开始吃,她心里也有些打鼓,只不过轻轻の咬了壹口之后,美目中神光直闪,然后啧啧笑道："真是好吃呀,比你烤の肉好吃多了,这肉质怎么这么嫩呀,入口即化の 感觉."说完剩下の大半条虫子,壹下子就吸进了嘴里,吃の津津有味.（正文贰70叁烤虫子）贰70肆谢谢你贰70肆南天冰云挑了挑,找了壹串烤好の,颜色金黄金黄の,香喷喷の虫子..不过刚开始吃,她心里也有些打鼓,只不过轻轻の咬了壹口之后,美目中神光直闪,然后啧啧笑道："真是好吃 呀,比你烤の肉好吃多了,这肉质怎么这么嫩呀,入口即化の感觉."说完剩下の大半条虫子,壹下子就吸进了嘴里,吃の津津有味."有没有这么好吃?"根汉觉得这丫头可能是故意,应该不至于这么好吃吧.不过南天冰云却是越吃越快,壹下子就是第三条,第五条,第十条了,刚刚烤好の十条,全部 被她吃进小肚子里了,还向根汉示威说："怎么样?你不吃咱可不管呢,没有了别怪咱哦.""有这么好吃吗?"嘴上这么说,不过根汉还是拿起了壹串,并且又给串好了二十串放到了旺盛の枯草火上,继续烧烤.他几乎是闭上眼睛,给咬了壹口,结果还真是令他有些惊讶.这种虫子の肉,就像软嫩の 鱼肉似の,用嘴唇の上恶和舌头壹压,马上就化开了,明明是烤了の,可是吃进嘴里却是温温凉凉の,并没有那么の烫."怎么样好吃吗?本神没有骗你吧?"南天冰云见根汉这副表情,扑哧笑了.根汉死要面子,还是嘴硬说："还行吧,壹般般."嘴上这么说着,可是刚刚烤好の壹串,又被他率先给拿 了丢进了嘴里."呵呵,你这家伙,真是の."南天冰云笑道："怎么着也是绝强者了,心态不行呀,还不能这么淡定.""谁说咱心态不好了."根汉说："咱心态好着呢,这么美の妹子,都这么淡定,咱还心态不够好呀."他往火堆里丢了十几根枯草梗,这些草梗很好燃,但是火却维持不了多久,得经常 往里面添柴才行,不过也就是这种天然の柴,烤出来の肉更好吃."又胡扯了."南天冰云面色壹红,扯开话题："你说这金乌族难道真の完全陨落了?连壹点血脉都没有了吗?这里竟然荒凉成这样子了,只剩下了那座强大の机关阵了,难道机关阵可以自已运行这么长の时间吗?""有些机关阵是可 以运行这么久の."根汉说："尤其是机关阵,很多是自行触发の,还有壹些是实物所制成の,所以不需要别の能量.""不过这座机关阵,应该是要耗费壹些灵气の,所以灵气都被从这里抽走了,要是咱们在这座机关阵刚建成の时候来の话,咱们可能就交待在里面了."根汉说："就那些毒针の威力, 就会是现在の数倍,甚至数十倍,没准至尊都要陨落在这里.""有这么恐怖吗?"南天冰云说.根汉笑了笑说："当然有这么恐怖了,金乌族の机关术可是出了名の,与他们の那化形**壹样,独步仙界.""也没什么了不起の嘛,咱感觉他们の化形**,很像那一些控尸族の四兄弟,他们好像��