刚体定轴转动的转动定律力矩

rk
Fk
fk
在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mk ak rk mk rk rk
对所有质元求和
Fk rk fk rk ( mkrk 2 )
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律） M J
与牛顿第二定律比较： M F, J m, a
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量
3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律
对定轴转动刚体
Mz 0
Lz 0
Jω 常量
说明
变形体绕某轴转动时，若 M z 0
则变形体对该轴的动量矩 Lz Jkk C
k
动量矩守恒举例
z
rk
mk
J t ω 常量 J t ω
J t ω
探究问题:为跳水\芭蕾舞\花样滑冰项目写一篇技术报告
Nx y
v0
m
求 它由此下摆 角时的
解 M 1 mglcos
O•
ml x
2
•C
由动能定理
A
0
Md
0
l mgcosd
2
mg
lmg sin 0 1 J2 0
2
2
J 1 ml2 3
2 3gsin
l
(3gsin )1/2
l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律
行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
L mvrsin m Δr rsin 2m ΔS
Δt
Δt
ΔS
•
M Δrr
mv1
•M
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星. 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面
1/ 2
3.2.4 刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理和动量矩守恒定律
1. 刚体定轴转动的动量矩
z
质点对 Z 轴的动量矩… LZ mvr mr2
刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为
LZi Δmviri Δmri2
且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具 有相同的方向
OO • rr•i • vvi mi
d(1 2
J2 )
dEk
对于一有限过程
A
2 dA
1
2 1
d(1 2
J 2
)
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体 上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
J铁 J木
O
dx
L x
J 与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R2 2πR dl 2πR3 m mR2
0
2πR
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm ds
m πR2
2πrdr
2mr R2
dr
J m r2dm R 2m r3dr m R2
m2
1 2
m r
0
t
m1 m2 gt
m1
m2
1 2
m r
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δr1m, r12,,Δm, r2k,,,,ΔrNmk ,,ΔmN v1,v2,,vk ,,vN
Δmk 的动能为
Ek
1 2
Δmkv
k
2
1 2
Δmk
rk
2
2
z
O rk
vk
P
• Δmk
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
解
LA d1mv
LB d1mv LC 0
A
d1
m
v
d2 d3
B
C
2)质点的动量矩定理
r
F
M
v mv 0
dL
d
r mv
r d(mv)
dr mv
dt dt
dt dt
M
dL
dt
Mdt dL (质点动量矩定理的微分形式)
t2
t1
M
dt
L2
L1(质点动量矩定理的积分形式)
3. 转动惯量
定义 J mkrk 2 质量不连续分布 k
r
J r2dm 质量连续分布
V
❖确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L
3
z M
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
说明 冲量矩是质点动量矩变化的原因 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
3)质点动量矩守恒定律
若
M
0 ，则
L
常矢量 ──质点动量矩守恒
讨论
(1) 守恒条件
M
F 0 0F过O点
(2) 有心力的动量矩守恒。
mv2
•
M
r
•
O
应用举例：行星运动的开普勒第二定律
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
1 2
mv 0 2
GMm r0
1 2
mv
2
GMm R
mv0r0sin(π ) mvR
v
v0r0sin
R
4v0sin
1/ 2
sin
1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
v
v01
3GM 2 Rv 0 2
1)质点的动量矩(对O点)
LO
r
P
r
mv
其大小
S
P
LO
r O
LO rpsin mrvsin
惯性参照系
特例：质点作圆周运动 L rp mrv
质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关
例 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考
点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3
F//
F
h r
A
F F Fn
2)力对点的力矩
Mo
MO
r
F
F
大小 MO rF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
MZ
r
F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
F
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元
Fk
fk
mk ak
切线方向 Fk fk mk ak
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZ JZ (所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
Mzdt dLz dJ
动量矩定理 微分形式
t2
t1
Mz
dt
2 1
dJ
J2
J1
Байду номын сангаас
（动量矩定理积分形式）
刚体的总动能
E
Ek
1
2
Δmk
rk
2
2
1 2
Δmk rk 2
2
1 J 2
2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其
角速度平方乘积的一半
2. 刚体定轴转动时力矩的所做的功 力的累积过程——力矩的空间累积效应
•根据功的定义
dA
F
dr
Fcosds
F rd
Md
（力矩做功的微分形式）
例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。
求 子弹细棒共同的角速度 。
解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
mv0 y J
其中
J
J棒
J子
1 ML2 3
my2
mv0 y
1 ML2 my2 3 探究讨论
角动量守恒定律在生产和生 活中的应用
J 0.5
TF
(2) mg T ma Tr J
mgr
J mr 2
两者区别
T
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
mg
例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别 系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
0
0 R2
2
dl m
R O
Rm dr
r O
J 与转轴的位置有关 z
M
L
O
dx
x
z
M
L
O dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
J L/2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
平行轴定理及垂直轴定理
J z' J z ML2
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴 L ⇒ 两轴间垂直距离
3.2 刚体定轴转动的动力学
3.2.1刚体定轴转动的转动定律
1 .力矩
❖力
改变质点的运动状态
❖力矩 改变刚体的转动状态
1)力 F 对z 轴的力矩
M z (F ) Fr sin
Fh
Fτr
(力不在垂直于轴的平面内)
M z (F ) Fr sin Fh Fτr
质点获得加速度
刚体获得角加速度
z
z' z M
L C
4. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
不计， (见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) Fr J Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
d
O
r' dr F
r .
P
对一有限过程
A 2 Md 1
若M=C
A M (2 1)
讨论
(1) 合力矩的功
A 2 Md (2
1
1
i
Mi )d
i
2 1
M i d
i
Ai
(2) 力矩的功就是力的功。
(3) 内力矩作功之和为零。
3. 刚体定轴转动动能定理
dA
Md
(J
d )d
dt
Jd
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析
物体 m1： m1g T1 m1a1
物体 m2： T2 m2 g m2a2
滑轮
m：
T1r
T2r
J
1 2
mr 2
a1 a2 a r
mr
T2
T1
T2
T1
m2
m1
m2 g
m1g
m1 m2 g
m1