两个重要极限练习题(供参考)
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1-7 两个重要极限练习题
教学过程：
引入：考察极限x
x x sin lim 0
→
薂
问题1：观察当x 0时函数的变化趋势：
蒁
x (弧
度)
芈
0.50
薃
0.10
芄
0.05
芀
0.04
莇0.03 羄0.02
螂
...
聿x
x sin
蒇
0.9585
莅
0.9983
蒄
0.9996
肂
0.9997
薇
0.9998
螆
0.9999
袂
...
袁
当x 取正值趋近于0时，
x x sin →1，即+→0lim x x
x
sin =1；
薇
当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是
膇
)
()
sin(lim sin lim
00
x x x x x x --=+
-
→-→．
蚄
综上所述，得
一．1sin lim
0=→x
x
x ．
1sin lim
0=→x
x
x 的特点：
(1)它是“
00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0
；
(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．
推广 如果a
x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，
则 a
x →lim ()[]()x x ϕϕsin =()()[]()
x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．
例1 例2 求
x
tan ．
所以x x x arcsin lim
0→=1sin lim 0=→t t
t ．
例9
例10 求30sin tan lim x
x
x x -→．
解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x
x x
x x x x x x x -⋅
=-→→
=21
cos 1lim cos 1lim sin lim
2000=-⋅⋅→→→x
x x x x x x x ．
考察极限e x
x x =+∞→)1
1(lim
x
x x
)11(lim +
∞
→=e 的特点：
（１）lim(1+无穷小)
无穷大案
；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广 （１）若a
x →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则
()[])()()
(11lim ))(11(lim x x x a
x x x ϕϕϕϕϕ+
=+
∞→→=e ；
（２）若a
x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则
解 令x x --23=1+u ，则x =2－u
1
．
当x →∞时u →0，
于是 x
x x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 21
01
20u u u u u u u +⋅+=+-→-→
=])1(lim [])1(lim [20
110
u u u u
u +⋅+→-→=e -1．
例15
例16 求x x x cot 0
)tan 1(lim +→．
解 设t =tan x ，则
t
1
＝cot x ．
§2-1 导数的概念
教学过程：
引入：
上表看出，平均速度
t s ∆∆随着∆t 变化而变化，当∆t 越小时，t
s ∆∆越接近于一个定值—9.8m/s ．考察下列各式：
∆s =
21
g ⋅(1+∆t )2－21g ⋅12=2
1g [2⋅∆t +(∆t )2]，
t s ∆∆=21g ⋅t t t ∆∆+∆2)(2=2
1
g (2+∆t )，
思考： 当∆t 越来越接近于0时，
t
s
∆∆越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t →0的极限，得
实例2 曲线的切线
设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点
B ，它的坐标是(x 0+∆x , f (x 0+∆x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的
R t ∆ACB ，可知割线AB 的斜率
tan β=
()()x
x f x x f x y AC CB ∆∆∆∆00-+==．
在数量上，它表示当自变量从x 变到x +∆x 时函数f (x )
关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)．
是要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率．
1.
自变量x 作微小变化∆x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =
x
y ∆∆，作为
点x 处变化率的近似；
2. 对y 求∆x →0的极限x
y x ∆∆∆0lim
→，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值．
x