两个重要极限练习题(供参考)

1-7 两个重要极限练习题
教学过程：
引入：考察极限x
x x sin lim 0
→
薂
问题1：观察当x 0时函数的变化趋势：
蒁
x (弧
度)
芈
0.50
薃
0.10
芄
0.05
芀
0.04
莇0.03 羄0.02
螂
...
聿x
x sin
蒇
0.9585
莅
0.9983
蒄
0.9996
肂
0.9997
薇
0.9998
螆
0.9999
袂
...
袁
当x 取正值趋近于0时，
x x sin →1，即+→0lim x x
x
sin =1；
薇
当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是
膇
)
()
sin(lim sin lim
00
x x x x x x --=+
-
→-→．
蚄
综上所述，得
一．1sin lim
0=→x
x
x ．
1sin lim
0=→x
x
x 的特点：
(1)它是“
00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0
；
(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．
推广 如果a
x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，
则 a
x →lim ()[]()x x ϕϕsin =()()[]()
x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．
例1 例2 求
x
tan ．
所以x x x arcsin lim
0→=1sin lim 0=→t t
t ．
例9
例10 求30sin tan lim x
x
x x -→．
解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x
x x
x x x x x x x -⋅
=-→→
=21
cos 1lim cos 1lim sin lim
2000=-⋅⋅→→→x
x x x x x x x ．
考察极限e x
x x =+∞→)1
1(lim
x
x x
)11(lim +
∞
→=e 的特点：
（１）lim(1+无穷小)
无穷大案
；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广 （１）若a
x →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则
()[])()()
(11lim ))(11(lim x x x a
x x x ϕϕϕϕϕ+
=+
∞→→=e ；
（２）若a
x →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则
解 令x x --23=1+u ，则x =2－u
1
．
当x →∞时u →0，
于是 x
x x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 21
01
20u u u u u u u +⋅+=+-→-→
=])1(lim [])1(lim [20
110
u u u u
u +⋅+→-→=e -1．
例15
例16 求x x x cot 0
)tan 1(lim +→．
解 设t =tan x ，则
t
1
＝cot x ．
§2-1 导数的概念
教学过程：
引入：
上表看出，平均速度
t s ∆∆随着∆t 变化而变化，当∆t 越小时，t
s ∆∆越接近于一个定值—9.8m/s ．考察下列各式：
∆s =
21
g ⋅(1+∆t )2－21g ⋅12=2
1g [2⋅∆t +(∆t )2]，
t s ∆∆=21g ⋅t t t ∆∆+∆2)(2=2
1
g (2+∆t )，
思考： 当∆t 越来越接近于0时，
t
s
∆∆越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t →0的极限，得
实例2 曲线的切线
设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点
B ，它的坐标是(x 0+∆x , f (x 0+∆x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的
R t ∆ACB ，可知割线AB 的斜率
tan β=
()()x
x f x x f x y AC CB ∆∆∆∆00-+==．
在数量上，它表示当自变量从x 变到x +∆x 时函数f (x )
关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)．
是要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率．
1.
自变量x 作微小变化∆x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =
x
y ∆∆，作为
点x 处变化率的近似；
2. 对y 求∆x →0的极限x
y x ∆∆∆0lim
→，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值．
x
二、导数的定义
1. 函数在一点处可导的概念
定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量∆x ，
函数y =f (x )相应的改变量为∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)，若这两个改变量的比
x x x x -→
根据导数的定义，求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤如下：
第一步 求函数的改变量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；
第二步 求比值
x
x f x x f x y ∆∆∆∆)()(00-+=；
第三步 求极限f '(x 0)=x
y x ∆∆∆0lim
→．
例1 求y =f (x )=x 2在点x =2处的导数．
222
导．这时，对开区间(a ,b )内每一个确定的值x 0都有对应着一个确定的导数f '(x 0)，这样就在开区间(a ,b )内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f (x )的导函数，记作等f '(x )或y '等．
根据导数定义，就可得出导函数
f '(x )=y '=()()x
x f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆-+=→→00lim lim (2-3)
导函数也简称为导数．
注意 （１）f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值
（２）f (x )在点处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值．
可以证明，一般的幂函数y =x α, (α∈R, x >0)的导数为
(x α)'=α x α-1．
例如 (x )'=(2
1
x )'=x
x 21
2121=-；(x 1)'=(x -1)'=-x -2=-21x ．
例4 求y =sin x , (x ∈R )的导数．
解
x y ∆∆=x
x x x ∆∆sin )sin(-+，在§1-7中已经求得
lim
→x ∆x
y ∆∆=cos x ，
方程为y =f (x )的曲线，在点A (x 0,f (x 0))处存在非垂直切线AT 的充分必要条件是f (x )
在x 0存在导数f '(x 0)，且AT 的斜率k =f '(x 0)．
导数的几何意义——函数y =f (x )在x 0处的导数f '(x 0)，是函数图象在点(x 0,f (x 0))处切线
的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为
y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0) (2-4)
过切点A (x 0,f (x 0))且垂直于切线的直线，称为曲线y =f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的法线，
则当切线非水平(即f '(x 0)≠0)时的法线方程为
y -f (x 0)=-
)
(1
0x f '(x -x 0) (2-5)
故所求的切线方程为
y +ln2=2(x -
2
1
)，即y =2x -1-ln2．
四、可导和连续的关系
如果函数y =f (x )在点x 0处可导，则存在极限
lim
→x ∆x y ∆∆=f '(x 0)，则x
y ∆∆=f '(x 0)+α (
0lim →x ∆α=0)，或∆y = f '(x 0) ∆x +α⋅∆x (0lim →x ∆α=0)，
所以 0
lim →x ∆∆y =0
lim →x ∆[f '(x 0) ∆x +α⋅∆x ]=0．
这表明函数y =f (x )在点x 0处连续．
学生思考：
设函数f (x )=⎨
⎧≥0
,2x x ，讨论函数f (x )在x =0处的连续性和可导性．
§4－2 换元积分法
教学过程
复习引入 1．
2． 不定积分的概念； 3．
4． 不定积分的基本公式和性质。

新课：一、第一类换元积分法
例如：
所以 ⎰
'dx x x f )()]([ϕϕ=F [ϕ(x )]+C ．
基本思想：作变量代换u =ϕ(x ), (d ϕ(x )= ϕ'(x )dx )，变原积分为⎰du u f )(，利用已知f (u )
的原函数是F (u )得到积分，称为第一类换元积分法．
例1 求dx b ax ⎰+10)(, (a ,b 为常数)．
解 因为dx =a
1
d (ax +b )，所以
)()(1)(1010
b ax d b ax a
dx b ax ++=
+⎰⎰
11101111u a du u a ＝　⎰+C
11
解 因为xdx =
22)=－2
2-x 2)，所以
原式=－
2
1⎰
--)(1222
2
x a d x
a －
2
1⎰
du u
1= －u +C
－22x a -+C ．
令a 2-x 2=u
学生思考： 求dx x
x
⎰
2
cos 1sin ＋．
第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d ϕ(x )，另一部分
为ϕ(x )的函数f [ϕ(x )]，且f (u )的原函数易于求得．因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法．
常用微分式：
例6 求dx x x
cos 2
⎰
．
解 原式=C x
x d x +-=-⎰1
sin )1(1cos ．
例7 求dx x
a ⎰
-2
2
1, (a >0)．
解 原式=
C a x
a
x d dx a
a
x a x +=-=-⎰
⎰arcsin )()(11
)
(11
22．
例8 求dx x
a ⎰
+2
21
．
解 原式=C a x
a a x d a dx a a x a
x +=+=+⎰⎰)arctan(1)((111)(111
2
22
．
原式=2
)cos sin 1ln(21|sin 1sin 1|ln 21x
x C x x +=+-++C =ln|sec x +tan x |+C ．
类似可得：⎰xdx csc =ln|csc x -cot x |+C ．
学生思考：1 求⎰xdx 2sin ．2 求dx x ⎰3sin 3 求dx x x ⎰2cos 3cos
4 求dx x
x x
⎰
+ln ln 1 教师讲评
小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。

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命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。

你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。