塑性加工理论滑移线法

3
m k
O
1
k
m 3
m
图 9-19 无摩擦的接触表面
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面
O
xy k cos 2 0,
1 k m 3
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面
O
4
3 k m 1
k m
O
m
k
k
O
m
m
k
3
k m
1
（a）
1 m k 3 （b）
图 9-20 摩擦切应力达最大值 k 的接触表面
β β
β
O
α
O′
α
α
a) 中心扇形场 b) 无中心扇形场 图 9-23 简单滑移线场
（3）滑移线场由两族互相正交的光滑曲 线构成
属于这一类的滑移线场有以下几种
（a）当圆形界面为自由表面或作用有均 匀载荷时,其滑移线场为两族正交的对数 螺线所构成(如图9-24a所示)；
β α
(a)对数螺旋线场
（b）在粗糙平行刚性模板间压缩 时, 相应于接触面上摩擦切应力达 到最大值的那一段滑移线场为正 交的圆摆线(如图9-24b所示)
1 arccos xy 1 arccos f
2
k2
k
y
=xy
0
y
m
xy k
m k
x
O xy
xy
x
k
k m
m
xy
y
（a）
y
r
y
3
1 O
xy
2 x
x
m
（b）
图 9-21 当 0 f k 时的接触表面
8.5.5常见的滑移线场类型 常见的滑移线场有如下几种。
（1）两族正交直线 这种滑移线场代表均匀的应力状态，对
的结果。
8.5.1基本概念 滑移线场理论是建立在如下假设基础上的， 即：
（a）材料为均匀、各向同性的理想刚塑 性体，即忽略了弹性变形的影响；
（b）变形体处于平面应变状态； （c）不考虑温度、应变速率和时间的影 响。
对于平面应变问题，有
1 m k
2 m
3 m k
由此可见，在平面应变问题条件下，变形 体内任一点的应力状态都可以用平均应力 和最大切应力来表示。
1 方向(第一主方向) 3 方向
kk
3 方向 1 方向 (第一主方向)
判断 1、3 方向
kk
k
k
k
k
判断变形趋势
/4 1
k
k
1 /4
确定滑移线族别
图 9-13 按变形趋势图确定 线、 线
由图可得两族滑移线的微分方程 ◆式中：ψ—α线任一点的切线方向与轴正向之 间的夹角。 ◆规定由轴正向逆时针旋转所形成的角为正， 顺时针旋转所形成的角为负。角与应力分量有
3 k m 1
k m
O
m
k
k
O
m
m
k
3
k m
1
（a）
1 m k 3 （b）
图 9-20 摩擦切应力达最大值 k 的接触表面
（4）当0<τf<k时的接触表面
y
=xy
0
y
m
xy k
m k
x
O xy
xy
x
k
k m
m
xy
y
（a）
y
r
y
3
1 O
xy
2 x
x
m
（b）
图 9-21 当 0 f k 时的接触表面
滑移线场理论仅适用于处理理想刚塑性材 料的平面应变问题，这是应用该理论时的 最大限制。但是目前该理论的应用范围已 逐渐扩大了。例如在一定条件下，也可以 将滑移线场理论推广到平面应力和轴对称 问题以及硬化材料。
滑移线场理论与计算机技术相结合使其应 用范围不断扩大，借助于计算机这个有力 的工具，可以代替传统手工绘制滑移线场 的冗长过程，可快速、准确地获得所需要
xy k cos2
x
x
yx
y
0
xy
x
y
y
0
m 2k cos2 2k sin 2 0
x
x
y
2k sin 2
m
2k cos2
0
x y
y
m
s
2k
s
s
m
2k
m
s
2k
s
s
m
2k
m 2k C (沿线） m 2k C （沿线）
C
D
B
A D
A
图 9-16 两族滑移线交点切线之间夹角 的变化
图 9-17 滑移线相互切截的线段
AB 为直线时， AB 等也为直线
（5）如果β（或α）族滑移线的某一线段是直 线，则被α（或β）滑移线所切截的所有β（或α） 线的相应线段皆为直线
B C
A D
B
交点切线之间夹角 的变化
图 9-17 滑移线相互切截的线段
塑性加工理论 滑移线法
8.5 滑移线场理论
滑移线场理论包括应力场理论和速度场理 论。该方法是通过对具体塑性加工过程的 分析所建立的滑移线场，来求解塑性加工 问题的。
该方法数学推导严谨、理论上比较完 整、计算精度高，采用该方法不仅可 以确定接触面上的应力分布和变形力， 而且可以确定塑性变形区内部的应力 分布和速度分布。
4
=0
自由表面
/4 0 /4
=0 /4
自由表面 0 /4
m
k 最大主应力 1作用线 k
m k
1=2k O
k
m
m
（a）
最大主应力 1 m （=0）作用线 m
kk
3=-2k
O
3
k m
k m
（b）
图 9-18 自由表面
（2）无摩擦的接触表面(τf=0)
3
=0
无摩擦接触面
/4 0 /4
m
k 最大主应力 1作用线 k
由上两式可得
mA mC 2k( A 2 B C )
(d)
沿 线 DC ： mD 2k D mC 2kC
沿 线 AD： mA 2k A mD 2k D
由上两式可得
mA mC 2k(2 D A C )
(e)
由式(d)、(e)可得
B C
A D B C
(9-87)
B C
C
D
B
A D
A
图 9-16 两族滑移线交点切线之间夹角 的变化
如图 9-16 所示，对于图中两族滑移线的四个交点 A、B、C、D ，以下需要证明的是
A D B C 。根据汉盖方程，有 沿 线 AB ： mA 2k A mB 2k B
沿 线 BC ： mB 2k B mC 2kC
1
（a）
1 m k 3 （b）
图 9-20 摩擦切应力达最大值 k 的接触表面
xy k cos2 k ,
0或
2
3
n=m 摩 擦 切 应 力
n=m 摩 擦 切 应 力
无摩擦接触面 0 /4
=k
为k 的接触面 O
=k
为k 的接触面
O
3
m
kk
O
1
k
k
m 3
无摩擦的接触表面
1 k m 3
式(9-85)是汉盖于1923年首先推导出来的， 该方程给出了同一条滑移线上平均应力与 转角之间的关系。称为汉盖应力方程。
从式(9-85)中可以看出，若滑移线场已确 定，则转角也就被确定了，此时如果已知 某一条滑移线上一点的平均应力，则沿该 条滑移线上任意一点的平均应力均可由式 (9-85)求出。
于直线形的自由边界或该边界上仅作用有 均布的法向应力，则滑移线场是由与边界 成π/4角的正交直线所组成(如图9-22所示)。
β
β β
α
α
图 9-22 直线滑移线场
a) 中心扇形场 图 9-23 简
（2）简单滑移线场 简单滑移线场的特点是一族为直线，另一 族为曲线(例如圆弧)所构成的中心扇形场 与无中心扇形场(如图9-23所示)。
为避免混乱，对α线、β线做如下规定：若 线与线形成一右手坐标系，则最大主应力 （按代数值）应位于此坐标系的第一和第 三象限。
β
σ1
α
由此可以得到两种判断α线、β线的方法： （a）若已知最大主应力的方向，则将方 向顺时针旋转45°，必定是α线；逆时针 旋转45°，必定是β线；
（b）根据图9-13所示的变形趋势图可知， α线两旁的最大切应力组成顺时针的方向， 而β线两旁的最大切应力组成逆时针的方 向。
4k 2
xy k cos 2
k cos 2 xy
tan 2
x
y
2 xy
x y 2k sin 2
m
1 2
x
y
x
m
k sin 2
y m k sin 2
xy k cos2
8.5.2 汉盖(H.Hencky)应力方程
x
m
k sin 2
y m k sin 2
C B 2kC B
图 9-15 滑移线网络
6.9 滑移线网络
（3）如果滑移线为直线，则该直 线上各点的应力状态相同
mBA 2k BA
xB
xA
x
m
k sin 2
yB yA y m k sin 2
xyB xyA xy k cos2
（4）同族的两条滑移线与另一族 滑移线相交时，两交点切线之间 的夹角为常数
(d) 由两不等半径圆弧所决定的有心扇形场
图 9-24 由两族互相正交的光滑曲线构成的滑移线场
通常在整个塑性变形区所建立的 滑移线场很少属于同一种类型的， 一般是根据对前人资料的积累或 由实验结果，按材料流动规律、 边界条件、应力状态逐一分区考 虑，然后由几种类型的滑移线场 拼联起来构成一个完整的滑移线 场。
的平均正应力 mA
1 3
2
r
2
2k q q 2
k q。
在 B 点： r b ，代入式(9-89)，可得 B ln b C ，径向应力 r 0 ，由屈服准则
1 3 r 2k ， 可 得 ， 2k ， 则 B 点 的 平 均 应 力
mB
1 3
2
r
2
k。
k q 2kln a C k 2kln b C
AB 为直线时， AB 等也为直线
8.5.4 塑性区的应力边界条件
滑移线场分布于整个塑性变形区，并且一 直延伸到塑性变形区的边界，滑移线延伸 至边界时，转角ψ与边界上的切应力值有 关，即滑移线场必须首先满足给定的应力 边界条件。在塑性加工过程中，应力边界 条件通常有如下四种类型。
（1）自由表面
xy k cos2 0 ,
9.5.6 受内压无限长厚壁圆筒的滑 移线场
B
ba
dr
r
A
d q
O
图 9-25 受内压无限长厚壁圆筒的滑移线场
对于受内压无限长厚壁圆筒，由 于几何及力学上的对称性，为一 轴对称问题，宜采用圆柱坐标（r， θ，z），由于厚壁圆筒沿轴方向 是无限长的，沿轴方向的变形可 以忽略，因此，该变形过程是一 个轴对称平面应变问题。
（3）摩擦切应力达到最大值k的接触表面
3
=0
无摩擦接触面
/4 0 /4
m
k 主应力 用线 k
3
m k
O
1
k
m 3
m
图 9-19 无摩擦的接触表面
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面
O
1 k m 3
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面O源自3 k m 1k m
O
m
k
k
O
m
m
k
3
k m
m 2k C (沿线） m 2k C （沿线）
一定的关系。
dy tan
dx
dy cot
dx
(对于线）
（对于 线）
(m+max)
E(y,yx)
0 B(3,0)
C(m,0) 2
A(1,0)
D(x,xy)
(m-max)
图 9-14 平面应变状态下应力莫尔圆
tan 2 x y 2 xy
tan 2
x
y
2 xy
x
y
2
4
2 xy
（1）同一条滑移线上任意两点间平均应 力的变化与该两点间滑移线转角的变化成 正比
mA 2k A mB 2k B C
mBA 2k BA
（2）在已知的滑移线场内，只要 知道了其中任一点的平均应力值， 则场内各点的平均压力值均可求 出
图 9-15 滑移线网络
A B 2k A B
由于在塑性变形体内的每一点都可以找到 一对相互正交的最大切应力方向，因此， 将无限接近的最大切应力方向连接起来， 就可以得到两族正交的曲线
y
1
o
+(/2)
x
图 9-12 滑移线场及主应力迹线
曲线上任一点的切线方向即为该点的最大 切应力方向，将这两族正交的曲线称为滑 移线，其中一族称为α线，另一族称为β线， 这两族滑移线布满整个塑性区，形成了滑 移线场。
dr tan 1
rd
4
ln r C1
4
ln
r
C1
4
ln
r
C
在 A 点： r a ，代入式(9-89)，可得 A ln a C ，径向应力为工作载荷，即
r q ，由屈服准则 1 3 r 2k ，可得， 2k r 2k q ，则 A 点
β α
(b)圆摆线场
r R
β
（c）由两等半径或不等半径圆弧 所决定的有心扇形场。有心扇形 场特别是等半径的有心扇形场是 求解材料塑性加工问题时的一种 最常见、最重要的滑移线场类型 (如图9-24c、d所示)。
β α
(a)对数螺旋线场
R
β α
α
(b)圆摆线场
r R
β
(c) 由两等半径圆弧所决定的有心扇形场
由于两族滑移线是相互正交的，因此，整 个塑性区内各点的平均应力均可以由式(985)求出，并由式(9-82)可确定出整个塑性 区内各点的应力状态。由此可知，关键问
题在于做出滑移线场。
8.5.3 滑移线的性质 为了做出滑移线场，需要了解滑移线场的 几何性质。滑移线场有许多重要的几何性 质，而这些特性大多都是根据汉盖应力方 程推广而得到的。