S2-非线性离散系统

2.1 解的形态及稳定性 问题1：如何观察和确定迭代解？
0.8
时间序列图
3.2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60
80
100
120
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
3.5
0
20
40
60
80
100
120
2.1 解的形态及稳定性 问题1：如何观察和确定迭代解？
8 7 6 5 4 3 x 10
29
60
80
100
120
y = 4.7332e-031
f ( x) 2 x
2 1 0
2.1 解的形态及稳定性
f ( x) x(1 x)
x=0.1; u=0.5; for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y; end y
运行结果： y = 7.8544e-008
400 500
0.04
0.07
0.03 0.02 0.01 0
0.06 0.05 0.04
1.0
0
100
200
0.03 300 0.02 0.01 0
0.06 600 0.05 0.04
0
100
200
3000.03
400
500
600
0.02 0.01 0
0
100
200
300
400
500
600
0.8
0.9
1
2.1 解的形态及稳定性
问题1：如何观察和确定迭代解？
时间序列图
Poincare截面映射图
2.1 解的形态及稳定性 问题2：临界点的迭代情况？
0.1 0.09 0.08 0.07
0.1
0.5
0.09
0.06 0.05
0.08
0.9
0.1 0.09 0.08 0.07
0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.4 0.1 0 5 0.5 0.8
x0 0.6
3.2
x0 0.6
0.6 0.7
x0 0.1
2.0
10
15
20 0.3
25
x0 0.1
30
0.2
0.1
0
10
20
30
40
50
60
xn1 f ( xn , )
x ： 定常解
逻辑斯蒂映射： xn1 xn (1 - xn ) [0,4] 迭代函数： f ( x) x(1 x) x x(1 x)
x(x 1) 0
x1 0
x 1
2
1

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2.1 解的形态及稳定性
分岔理论
分岔理论：研究非线性方程解的定性行为。
31
2.1 解的形态及稳定性
X n 1 f ( X n ) X n
【摄动方程】
f ( x ) 1：定常解 x 是稳定的
一维系统定常解的稳定性：
f ( x ) 1：定常解 x 是不稳定的
8 x f f f f f f f f ( x ) f ( x) 周期8解(P-8)
周期k解(P-k)
x f f f f ( x) f k ( x)
k
混沌解(Chaos)
x f f f f ( x) f k ( x)
k
xn1 f ( xn ) xn
【摄动方程】
f ( x ) 1：定常解 x 是稳定的
一维系统定常解的稳定性：
f ( x ) 1：定常解 x 是不稳定的
f ( x ) 1：定常解 x 临界稳定
逻辑斯蒂映射： f ( x) x(1 x)
3.55
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2.1 解的形态及稳定性 问题1：如何观察和确定迭代解？ Poincare截面
3.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1
N 100
N 500
1 0.9 0.8 0.7
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2.1 解的形态及稳定性
周期2解(P-2)
xn2 f ( xn1 ) f [ f ( xn )] f 2 ( xn ) xn
xn1 xn (1- xn )
xn2 xn1 (1- xn1 )
x [x(1 x)][ 1 ux(1 x)]
3.2
0.1000 0.2880 0.6562 0.7219 0.6424 0.7351 0.6231 0.7515 0.5975 0.7696 0.5675 0.7854 0.5393 0.7951
0.5214 0.7985 0.5148 0.7993 0.5133 0.7994 0.5131 0.7995 0.5130 0.7995 0.5130 0.7995 0.5130 0.7995
2.1 解的形态及稳定性 问题3：初值对解的性态的影响
3.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6
x0 0.6
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
10
20
30
40
50
60
x0 0.1
2.1 解的形态及稳定性 问题4：分岔图的程序实现
for u=0:0.01:4 x=0.2; for i=1:1000 x1=u*x*(1-x); x=x1; if i>800 plot(u,x); hold on; end end end
x=0.1; u=2.0; for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y; end y
运行结果： y = 0.5000
x=0.1; u=3.2; for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y; end y
运行结果： y = 0.5130
2.1 解的形态及稳定性
一元一次离散映射系统数值迭代的问题： 观察和确定迭代解 临界点处的迭代：临界慢化现象 初值点对迭代解性态的影响 分岔图的绘制
0 1 ：x1 0稳定
f ( x) (1 2 x)
1 3：x1 1
1
3：x1 , x2 都不稳定
稳定
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2Leabharlann Baidu1 解的形态及稳定性
（2）图像描述：
0 1 ：x1 0是稳定的定常解
1
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
循环：扫描参数区间
循环：数值迭代 消除过渡过程并画图
2.1 解的形态及稳定性 问题4：分岔图的程序实现
2.1 解的形态及稳定性
2.1 解的形态及稳定性 【分岔】 随着参数的变化，动力系统的解的性态发生质的变化。
发生分岔的前提：失稳
分岔：把定常解、周期解的稳定性和混沌联系在一起。 运动稳定性：经典的课题 混沌：现代的课题
1.5
0.85
1
Poincare截面映射
3.5
0.9 0.8
3.2
0.8 0.75
1
0.7
0.7
0.5
0.65
0.6
0.6
0.5
0
0.55
0.4
-0.5 -0.5
0.5 0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.5
1
1.5
1
0.9
2.1 解的形态及稳定性 问题2：临界点的迭代情况？
3.0
n=5000;x1=0.6633;x20.6700; n=10000;x1=0.6643;x2=0.6690;
n=20000;x1=0.6650;x2=0.6683;
n=50000;x1=0.6656;x2=0.6677; n=100000;x1=0.6659;x2=0.6674; n=200000;x1=0.6661;x2=0.6672;
思考：解的不同形态随着参数如何变化？
2.1 解的形态及稳定性
f ( x) 0.5 x
0.7
0.6
0.5
x=0.6; for i=1:100 y=0.5*x; x=y; end y
运行结果：
x0=0.6; for i=1:100 x(1)=x0; x(i+1)=0.5*x(i); end x
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40
xn1 f ( xn , )
x0，x1，x2，x3， ，xn，xn1，
时间序列或轨道
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2.1 解的形态及稳定性
解的类型
• 定常解（不动点解） • 周期解
• 混沌解
求解方法 • 解析求解
• 图像描述
• 数值迭代
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2.1 解的形态及稳定性
一元离散映射系统
（1）解析求解：x f ( x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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2.1 解的形态及稳定性
（3）数值迭代：
x0，x1，x2，x3， ，xn，xn1，
xn1 xn (1 - xn ) [0,4]
0.5
2.0
3.2
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2.1 解的形态及稳定性
（3）数值迭代：
《非线性系统理论》
Section 1 非线性系统简介
Section 2 非线性离散系统 Section 3 非线性自治系统 Section 4 非线性非自治系统
Section 2 非线性离散系统
目录
2.1 解的形态及稳定性
2.2 多维映射系统
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2.1 解的形态及稳定性
不动点和周期点
y f ( x)
3 x 4 2 3 x 3 2 ( 1) x 2 ( 2 1) x 0
x(ux 1 u)[u 2 x 2 (u 2 u) x (u 1)] 0
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2.1 解的形态及稳定性
4 x f f f f ( x ) f ( x) 周期4解(P-4)
临界慢化现象：在解的性态发生改变的临界点处，过 渡过程变得很长，收敛速度变得非常慢。
2.1 解的形态及稳定性
一元一次离散映射系统数值迭代的问题： 观察和确定迭代解 临界点处的迭代：临界慢化现象 初值点对迭代解性态的影响 分岔图的绘制
2.1 解的形态及稳定性 问题3：初值对解的性态的影响
x1 f ( x0 ), x2 f ( x1 ), x3 f ( x2 ),
xn f ( xn1 ), n 1,2,3,
不动点：经过一次迭代后保持不变的点。 周期点：经过k次迭代后回到原来地方，迭代次数小
于k的话都不回到原来地方，这样的点叫做k周期点。
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2.1 解的形态及稳定性
3.55
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
20
40
60
80
100
120
1 0.9 0.8
3.8
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
20
40
60
80
100
120
2.1 解的形态及稳定性 问题1：如何观察和确定迭代解？
2.0
N 1000
1 0.9 0.8
0.6 0.5
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.4 0.7 0.3
0.8
0.9
1
0.7 0.6
0.2
0.5
0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.4 0.9 1
0.3 0.2 0.1 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.5
0.1000 0.0450 0.0215 0.0105 0.0052 0.0026 0.0013 0.0006 0.0003 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000
2.0
0.1000 0.1850 0.2952 0.4161 0.4859 0.4996 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
1

1 0.9 0.8
2.0
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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2.1 解的形态及稳定性
3 ： x , x （2）图像描述： 1 2 都不稳定
1 0.9
3.2
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.5
x1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.5
x
-1 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
x
0
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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2.1 解的形态及稳定性
1
（2）图像描述： 1 3：x 1 是稳定的定常解