高一数学：一次函数和二次函数知识点+例题讲解+课堂练习

第5讲 一次函数和二次函数

教学内容

一、知识梳理

1.函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ； （1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；

（2）一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时，函数是增函数，0

（3）0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数；

4.函数)0(2

≠++=a c bx ax y 叫做二次函数，它的定义域为是R ，图象是一条抛物线；

（1）当=b 0时，该函数为偶函数，其图象关于y 轴对称；

（2）当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2

开口向上，二次函数的单调减区

间为(⎥⎦⎤-∞-a b 2,，单调增区间为)∞+⎢⎣⎡-,2a b

，值域为)∞+⎢⎣⎡-,442a

b a

c ；

（3）当0

开口向下，二次函数的单调增区

间为(⎥⎦⎤-∞-a b 2,，单调减区间为)∞+⎢⎣⎡-,2a b

，值域为 ⎝

⎛⎥⎦⎤-∞-a b ac 44,2； 二、方法归纳

1.二次函数的三种表示形式

（1）一般式：)0(2

≠++=a c bx ax y ．

（2）顶点式：)0()(2

≠+-=a h m x a y ，其中 ),(h m 为抛物线的顶点坐标．

（3）两根式：)0())((21≠--=a x x x x a y ，其中1x 、2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标．

2.利用配方法求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴方程为：

x ＝－

a

b

2． 3.若二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 对应方程)(x f ＝0的两根为1x 、

2x ，那么函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 图象的对称轴方程为：

x ＝

221x x +＝－a

b

2． 4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．

三、典型例题精讲

［例1］二次函数bx ax y +=2

和反比例函数b

y x

=在同一坐标系中的图象大致是（ ）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

解析：由题义0≠a ，方程bx ax +2

＝0的两根为01=x 、a

b x -=2． 观察备选答案ABC 中反比例函数b

y x

=的图象，知b ＞0， 答案A 中0>a ，a b x -=2＞0，矛盾；答案B 中0

b

x -=2＞0，正好，故选B ．

【技巧提示】 根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等．

又例：已知二次函数b a bx ax x f +++=3)(2

为偶函数，其定义域为

[]a a 2,1- ，则函数的值域为 ．

解析：由题意，a ≠0，b ＝0，且)1(2--=a a ，∴ a ＝3

1

， 函数13

1)(2

+=

x x f 的值域为[)+∞,1． ［例2］对于每一个x ，设)(x f 取14+=x y ，2+=x y ，42+-=x y 三个函数中的最小值，用分段函数写出)(x f 的解析式，并求)(x f 的最大值．

解析： 这是教材中的一道练习题．)(x f 取14+=x y ，2+=x y ，

42+-=x y 三个函数中的最小值．于是)(x f 的解析式为

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

>+-≤

<+≤+=32,423231,231,14)(x x x x x x x f ，

)(x f 的最大值为)32(f ＝3

8．

【技巧提示】 理解)(x f 取14+=x y ，2+=x y ，42+-=x y 三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出)(x f 的解析式是关键．

又例：对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2

123

+x ，342

+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_ _（答案：2）

［例3］二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是( ) A. ()+∞,0 B. [)+∞,2 C. (]2,0 D. [2,4] 解析：由()()22+-=+x f x f 知函数)(x f y =的图象关于直线 x ＝2对称， 又()30=f ，()12=f ，图象如下， 由[]m ,0上有最大值3，最小值1， 可知m 的取值范围是[]4,2，故选D ． 【技巧提示】 函数()x f 满足

()()x a f x a f -=+，则)(x f y =的

图象关于直线 x ＝a 对称，

其中()()x a f x a f -=+也可用()()x f x a f =-2代替；数形结合可以使解法更加便捷．

又例：已知二次函数)(x f y =满足)()6(x f x f =- (x ∈R)，且)(x f ＝0有两个实根1x 、2x ，则1x ＋2x 等于( )

A ．0

B ．3

C ．6

D ．不能确定

解析：由)6()(x f x f -= (x ∈R) 知函数)(x f y =的图象关于直线 x ＝3

对称，应有

32

2

1=+x x ， 1x ＋2x ＝6. 答案：C 再例：函数432

--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是

解析：函数4

25)2

3

(43)(2

2

-

-=--=x x x x f ， 又4)3()0(-==f f ，)(x f 的最小值为 4

25-， ∴ 实数m 的取值范围是3,32

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

．