(完整word版)例谈二阶导数在高考题中的应用_4

例谈二阶导数在高考题中的应用
福州高级中学 高岚龙
随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。

尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。

作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。

本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。

一．二阶导数与凸性
定义1. 设()f x 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点1x 与2x ，
恒有 1212()()()22
x x f x f x f ++<，那么称()f x 在 I 上的图形是凹的； 如果恒有 1212()()(
)22x x f x f x f ++>，那么称()f x 在 I 上的图形是凸的； 定理1 设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么：
（1）若在(,)a b 内()f x '单调增加，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；
（2）若在(,)a b 内()f x '单调减少，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的；
定理 2设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，那么：
（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；
（2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．
凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。

例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ）
分析：我们知道，把汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，则其一阶导数是速度，而二阶导数则是加速度。

加速行驶时，加速度大于零，则二阶导数大于零，此时，函数是凹的。

减速行驶时，加速度小于零，则二阶导数小于零，此时，函数是凸的。

故选A.
例2.（2008年福建理科，12） 已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图象可能是
分析：由导函数的
图像知， ()f x '单
调减少，则()
f x 的图形是凸的；
()g x '单调增加，s O
A ． s O s O s
O B ． C ． D ．
则()f x 的图形是凹的。

排除了A 与C 。

()f x 与()g x 在0x 点导数相同，则在0x 点的切线斜率也应当相等。

排除了B ，故选D .
凹凸性是函数图像的主要形状之一。

结合(),(),()f x f x f x '''的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。

例3（2006年四川理科高考题）已知函数)0(ln 2)(2>++
=x x a x
x x f ，)(x f 的导函数是()f x '。

对任意两个不相等的正数12x x 、， 证明：（I ）当0a ≤时，1212()()()22
f x f x x x f ++>. 分析：本题实际上是要证明所考查的函数当0a ≤时是一个凹函数.一个函数是凹函数的充分条件之一是该函数的二阶导数大于0.
证明：x a x x x f +-=2'
22)(，23' '42)(x
a x x f -+=.当0a ≤时，对0>x ，有' '()0f x >，由定理2可知()f x 在(0,)+∞是凹函数，再由定义知对任意两个不相等的正数12x x 、，1212()()()22f x f x x x f ++>.
二．二阶导数与极值
在高中，判断函数是否在0x 取得极值，经常是利用函数导数在0x 两侧的符号来判断。

实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断0x 是否为函数的极值点。

有如下的判定定理：
定理3 设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么
（1） 当0()0f x ''<时，函数)(x f 在0x 处取得极大值；
（2） 当0()0f x ''>时，函数)(x f 在0x 处取得极小值．
例4（2008年湖北文史类高考题，17）已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值；
解：22()32(3)()f x x mx m x m x m '=+-=-+，由()0f x '=得x m =-，或13
x m =. ()62f x x m ''=+，则1()40,()403f m m f m m ''''=>-=-<。

由定理3知()f x 在x m =-取得极大值，在13
x m =取得极小值。

则3()19f m m -=+=，则2m =。

利用二阶导数的符号判断函数的极值点，可以避免列表的麻烦，在证明题中特别适用。