基与维数的几种求法.(精选)

线性空间基和维数的求法
方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足:
(1)n ααα,2,1Λ线性无关。

(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21,Λ线性表示。

那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为
dim v n =，并称n ααα,,2,1Λ为线性空间V
的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上
n 维向量，求V
的维数和一组基。

解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。

例
2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫
⎪-⎝⎭
的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪
-⎝⎭⎩⎭
｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫
⎪-⎝⎭
有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为V 的一组基，V 的维数为2。

方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多
项式所形成的线性空间，证明：()()()21
1,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的
基。

证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=L
由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数
10n k -=
依此类推便有110n n k k k -====L ，
故()()11,1,,1n x x ---L 线性无关
又[]n R x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---L 为[]n R x 的基。

方法三 利用定理：数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

例
4 设0110A -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()
0110V f A A ⎧-⎫
⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭
｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}'V a bi R =+∈｜a,b 同构，并非求它们的维数。

证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到
V
的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈
易证σ是'V 到V 上的单射，满射即一一映射。

再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有
()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦
()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=
故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构 另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V =
'V V Q ;
dim 2V ∴=
方法四 利用以下结论确定空间的基：
设12,,,n αααL 与12,,,n βββL 是n 维线性空间V 中两组向量，已知
12,,,n βββL 可由12,,,n αααL 线性表出：
11112121n n a a a βααα=+++L 21212222n n a a a βααα=+++L 1122n n n nn n a a a βααα=+++L
令11
12121
2221
2n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
L L L
如果12,,,n αααL 为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，
12,,,n βββL 也是V
的一组基。

例5 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基。

证明 因为
23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅ 23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅
()2
23111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()
3
23111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅
且
1111
0123000120001
A =
≠
所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基。

方法五 如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。

例6 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基。

证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++= 则1212330
00k k k k k k +=⎧
⎪
-+=⎨⎪=⎩
解得3210k k k ===
于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由
22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基。

方法六 利用下面两个定理：
定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。

定理二：任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：0
0r I B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，其中r I 表示r 阶单位矩阵。

依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V I 的一个基，
从而确定了维数。

例7 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12
V V I 的一个基与维数。

解 若12r V V ∈I
，则存在1212,,,x x y y F --∈，使
11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)
即有112211220x x y y ααββ+++= (2)
若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立 那么12V V I 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是
直和
若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V I 有可能
是非零子空间
若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r 。

以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A 。

11211001211101041103001301170000A A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
=−−−−→
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
行初等变换 212143βααβ=-++
()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V I 的一个基 ()12dim 1V V =I
同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =
12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =
1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩
方法七 在线性空间V 中任取一向量α，将其表成线性空间
V
一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组
是线性无关的。

这一线性无关向量组就是我们要找的基。

例8 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数。

设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨
=-⎩，，12
(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，
，
解 任取12
V V α∈I
，则11122V x x αααα∈=+，，且
21122V y y ααββ∈=+，，
1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的
形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V I
中将α线性表出）
11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y
12121212
1222122020300
x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨
+-=⎪⎪--=⎩
７ 解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--
1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-
故12V V I 是一维的，基是(5,2,3,4)-
易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的。

方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基 维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++I
例9 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基。

解 因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行
行初等变换：3
01
200
011031
10320110
0111
2360003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
---- ⎪ ⎪
=→
= ⎪ ⎪
- ⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭
秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3
且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基。

又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V I
的维数为()2231+-=。

从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V I
的一组基。

方法九 由替换定理确定交空间的维数。

替换定理：设向量组12,,,r αααL 线性无关，并且12,,,r αααL 可由向量组12,,,s βββL 线性表出，那么
()1r s ≤
()2必要时可适当对12,,,s
βββL
中的向量重新编号，使得用
12,,,r αααL 替换12,,,r βββL 后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+L L 与
向量组12,,,s βββL 等价。

特别，当r s =时，向量组12,,,s αααL 与向量组12,,,s βββL 等价。

例
10
已
知
向
量
组
()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组
1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r L 与向量组123,,βββ等价，
试求12,,,m r r r L
生成的空间的交空间的基和维数。

解 201304
1107
01031003
1003
101202
1202
12022
63306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关 由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r L 与123
,,ααα等价
于是()12,,,m L r r r L 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基
为12,,αα
因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂L
故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r L 的交空间的基为12,,αα维数为2
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