数学建模第二章作业答案章绍辉

习题2作业讲评
1. 继续考虑
2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式
20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ）
解答
（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号：
D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）；
于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.
比较2
0.750.082678d v v =+与2D v =，得：
()0.082678 1.25d D v v -=-
所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d<D ，即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全；当15.12 m/s v >时，有d>D ，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全. 也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.
另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全. 用以下MATLAB 程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,37 6];
d2=0.3048.*d2;
k1=0.75; k2=0.082678; K2=2;
d1=[v;v;v].*k1;
d=d1+d2;
plot([0,40],[0,K2*40],'k')
hold on
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')
plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)
title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')
legend('两秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
51015
2025
303540
020406080100120
140160180比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则
车速v （m/s ）
距离（m ）
图1
（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t 秒准则”（表2）——后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t 秒钟之后到达同一标志.
绘制图2的MATLAB程序：
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,37 6];
d2=0.3048.*d2;
k1=0.75; k2=0.082678;
d=d2+[v;v;v].*k1;
vi=0:40;
plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',...
vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',...
[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)
legend('t 秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
hold on
plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',...
[35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',...
[60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k')
title('t 秒准则，刹车距离的模型和数据')
xlabel('车速v（m/s）')
ylabel('距离（m）')
hold off
51015
2025
303540
020406080100120140160180车速v （m/s ）
距离（m ）
t 秒准则，刹车距离的模型和数据
图2
4. 继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t 天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为
2()(0)p t p gt ht =-+ (1)
其中h 为价格的平稳率，取h =0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变.
（1） 试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；
（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润； （3）作灵敏度分析，分别考虑h 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；
（4）讨论模型关于价格假设的强健性. 解答一（用MATLAB 数值计算）
（1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更接近实际（图3）. 两个假设都满足(0)p g '=-，在最佳出售时机附近误差微小（图4）. 绘图的程序
p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2; figure(1) n=400;
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k') axis([0,400,0,20])
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t （天）')
ylabel('p （元/公斤） ') figure(2) n=20;
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k')
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t （天）'), ylabel('p （元/公斤） ')
50
100
150
200250
300
350
400
024********
161820
模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较
t （天）
p （元/公斤）
图3
2468
101214161820
10.410.610.81111.211.411.611.812
模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较
t （天）
p （元/公斤）
图4
（2）在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下，多赚的纯利润为
()()23()(0)(0)(0)Q t rp gw c t hw gr t hrt =--+-+
保留h ，代入其他具体数值，得
()32()900.08 1.6Q t ht h t t =+-+
令
()2()31800.16 1.60Q t ht h t '=+-+=
解得生猪出售时机为
130t =
-（舍去负根）
多赚的纯利润为
()321111900.08 1.6Q ht h t t =+-+.
代入h =0.0002，得113.829t =天，110.798Q =元.
或者用MATLAB 函数fminbnd 计算，脚本如下： C=@(t)3.2*t; w=@(t)90+t;
p=@(t,h)12-0.08*t+h*t.^2;
Q=@(t,h)p(t,h).*w(t)-C(t)-90*12; Qh=@(t)-Q(t,0.0002); t1=fminbnd(Qh,0,30) Q1=Q(t1,0.0002)
为帮助理解，可用以下脚本绘制图5： figure(2) tp=0:250;
plot(tp,Q(tp,0.0002),'k') title('纯利润Q') xlabel('t （天）') ylabel('Q （元） ')
050100
150200250
-600
-500
-400
-300
-200
-100
100
纯利润Q
t （天）
Q （元）
图5
（3）用以下MATLAB 脚本计算灵敏度(,)t t
S t h h h ∆=∆和(,)Q Q
S Q h h h ∆=
∆，将结果列表.
结论：h 的微小变化对t 和Q 的影响都很小 Qh=@(t)-Q(t,0.0002*1.01); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-t1)/t1/0.01 (-Qn-Q1)/Q1/0.01
Qh=@(t)-Q(t,0.0002*1.05); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-t1)/t1/0.05 (-Qn-Q1)/Q1/0.05
Qh=@(t)-Q(t,0.0002*1.1); [tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30); (tn-t1)/t1/0.1
(-Qn-Q1)/Q1/0.1
表3 数值计算最佳出售时机t 对h 的灵敏度
表4 数值计算多赚的纯利润Q 对h 的灵敏度
（4）市场价格是经常波动的，如果价格下跌，往往会止跌回稳，模型假设(1)式以二次函数来刻画价格止跌回升的变化趋势，如果考虑的时间段长达数月，(1)式比(2.3.1)式更接近实际（见图3），但是本问题的最佳出售时机不超过20天，(1)式与(2.3.1)式在最佳出售时机附近非常近似（见图4），(1)式导致的模型解答可以由(2.3.1)式导致的解答加上灵敏度分析所代替. 所以采用更为简单的(2.3.1)式作为假设更好.
具体分析如下：
由12()(,)g g t p t h -+∆=，得
12(,)
1g p t h g gt
∆-=-， 代入h =0.0002，t =13.82852279，g =0.08，得
0.034571g
g
∆=-. 由于(,)t g S t g t g
∆∆≈，根据课本2.3节，代入(,) 5.5S t g =-，t =10，算得11.901t t +∆=，与t =13.829只相差两天.
用于以上分析计算的MATLAB 脚本： dg_g=(12-p(ts,0.0002))/ts/0.08-1 10+dg_g*10*(-5.5)
解答二（用MATLAB 的Symbolic Math Toolbox 的MuPAD 软件符号计算）
（1）运行以下MuPAD 语句，绘得图6和图7：
plot(plot::Function2d(12-0.08*t+0.0002*t^2,t=0..400), plot::Function2d(12-0.08*t,t=0..150, LineStyle=Dashed));
plot(plot::Function2d(12-0.08*t+0.0002*t^2,t=0..20), plot::Function2d(12-0.08*t,t=0..20, LineStyle=Dashed),#O);
(1)式表明价格先降后升，在实际当中有一定道理. 而 (2.3.1)式假设价格匀速下降. 两个假设都满足(0)p g '=-，在最佳出售时机附近误差微小.
图6 假设(2.3.1)式与(1)式的比较
图7 假设(2.3.1)式与(1)式的比较
(2) 在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下，保留h，代入其他具体数值，计算多赚的纯利润. 运行以下MuPAD语句：
C:=t->32/10*t:
w:=t->90+t:
p:=(t,h)->12-8/100*t+h*t^2:
Q:=(t,h)-->expand(w(t)*p(t,h)-C(t)-90*12); plot(plot::Function2d(Q(t,0.0002), t=0..290));
算得2
23
(2)8
25
,905ht h h t Q t t t =+-+，绘得图8.
图8 (,0.0002)Q t 的图像
运行以下MuPAD 语句：
S:=solve(diff(Q(t,h),t),t) assuming h>0; t1:=S[1];
subs(t1,h=0.0002); t2:=S[2];
ts:=subs(t2,h=0.0002); Q2:=Q(t2,h);
Qs:=subs(Q2,h=0.0002);
由方程0Q
t
∂=∂，解得两根：
12t t =
=
代入h =0.0002，得12192.8381439, 13.82852279t t ==（天）. 2t 符合题意，1t 应该舍去（对应的Q 是负数）. 2t 对应的多赚的纯利润为10.79837809元.
（3）接着上一小题，运行以下MuPAD 语句：
subs(diff(t2,h)*h/t2, h=0.0002); //t 对h 的灵敏度
利用导数算得t 对h 的灵敏度：
d (,)0.4124276803d t h
S t h h t
=⋅=.
运行以下MuPAD 语句：
subs(diff(Q2,h)*h/Q2,h=0.0002); //Q 对h 的灵敏度，方法一 subs(diff(Q(t,h),h)*h/Q(t,h),t=ts,h=0.0002); //Q 对h 的灵敏度，方法二，更简单
用两种方法利用导数算得Q 对h 的灵敏度：
d (,)0.367739025d Q h
S Q h h Q
=
⋅=. 结论：h 的微小变化对t 2和Q 2的影响都很小. （4）同解答一
5. 继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t 天的生猪体重（公斤）为
()000()m
t m w w w t w w w e α-=
+- (2)
其中0(0)90w w ==（公斤），270m w =（公斤），其它模型假设和参数取值保持不变.
（1）试比较(2)式与(2.3.2)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系（提示：说明当α (α>0)取何值时，在t =0时可以保持(0)1w r '==；说明当t 增大时，猪的体重会如何变化）.
（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润. （3）参数m w 代表猪长成时的最终重量，对m w 做灵敏度分析，分别考虑m w 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
（4）讨论模型关于生猪体重假设的强健性. 解答一（用MATLAB 数值计算）
（1）在(2)式中，为使(0)w r '=，必须00()m m w w w w α-=. 当m w =270，0w =90时，有160α=.
新假设(2)式是阻滞增长模型，假设生猪体重的增长率是体重的线性递减函数，于是体重增加的速率先快后慢，时间充分长后，体重趋于m w . 而(2.3.2)式0()w t w rt =+只假设体重匀速增加. 长时间来看，新假设比原假设更符合实际（图9）. 两个假设都满足(0)w r '=，在最佳出售时机附近误差微小（图10）.
50
100
150
200250
300
350
400
050
100
150
200
250
300
t （天）
价格 p （元/公斤）
模型假设(2.3.2)式与(2)式的比较
图9
2468
101214161820
9095
100
105
110
115
t （天）
价格 p （元/公斤）
图10
(2) 在(2.3.1)式和(2)式组成的假设下，用MATLAB 函数fminbnd 计算，可以求得生猪出售时机为t =14.434天，多赚的纯利润为Q =12.151元.
(3) 编程计算(,)m m m t t S t w w w ∆=∆和(,)m m m
Q Q
S Q w w w ∆=∆，将
结果列表.
表5 数值计算最佳出售时机t 对m w 的灵敏性
表6 数值计算多赚的纯利润Q 对m w 的灵敏性
结论：m w 的微小变化对t 和Q 的影响都较小.
（4）模型假设(2)式导致的模型解答可以由(2.3.2)式导致的解答加上灵敏度分析所代替，所以实践中采用更为简单的(2.3.2)式作为假设即可. 具体分析过程见解答二之（4）.
MATLAB 脚本：
%% (1) 绘图的程序
w=@(t)90*270./(90+180*exp(-t/60));
figure(1)
n=400;
plot([0,n],[90,90+n],'k:',...
0:.1:n,w(0:.1:n),'k')
axis([0,400,0,300])
legend('p(0) - g t (2.3.2)式',... 'p(0) - g t + h^2 (2)式',4) title('模型假设(2.3.2)式与(2)式的比较') xlabel('t（天）')
ylabel('价格 p（元/公斤） ')
figure(2)
n=20;
plot([0,n],[90,90+n],'k:',...
0:.1:n,w(0:.1:n),'k')
legend('p(0) - g t (2.3.2)式',... 'p(0) - g t + h^2 (2)式',2) xlabel('t（天）')
ylabel('价格 p（元/公斤） ')
%% (2) 最佳出售时机和多赚的纯利润
C=@(t)3.2*t;
w=@(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60)); p=@(t)12-0.08*t;
Q=@(t,m)p(t).*w(t,m)-C(t)-90*12;
Qh=@(t)-Q(t,270);
ts=fminbnd(Qh,0,30)
Qs=Q(ts,270)
%% (3) 灵敏度分析
Qh=@(t)-Q(t,270*1.01);
[tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30);
(tn-ts)/ts/0.01
(-Qn-Qs)/Qs/0.01
Qh=@(t)-Q(t,270*1.05);
[tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30);
(tn-ts)/ts/0.05
(-Qn-Qs)/Qs/0.05
Qh=@(t)-Q(t,270*1.1);
[tn,Qn]=fminbnd(Qh,0,30);
(tn-ts)/ts/0.1
(-Qn-Qs)/Qs/0.1
%% (4) 强健性分析
dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-1
10+dr_r*10*6.5
解答二（用MATLAB 的Symbolic Math Toolbox 的MuPAD 软件符号计算）
（1）运行以下MuPAD 语句，算得160α=：
solve(subs(diff(90*270/(90+(270-90)*E^(-a*t)),t), t=0)=1, a);
运行以下MuPAD 语句，绘得图11：
plot(plot::Function2d(90*270/(90+180*E^(-1/60*t)), t=0..400),
plot::Function2d(90+t, t=0..180, LineStyle=Dashed), plot::Line2d([0,270],[400,270],LineStyle=Dotted),#O);
运行以下MuPAD 语句，绘得图12 ：
plot(plot::Function2d(90*270/(90+180*E^(-1/60*t)), t=0..20),
plot::Function2d(90+t,t=0..20,LineStyle=Dashed),#O);
(2)式()06000()m
t m w w w t w w w e -=
+-是阻滞增长模型，假设生猪
体重的增长率是体重的线性递减函数. 于是，体重w 是时间t 的增函数，体重增加的速率先快后慢，时间充分长后，体重趋于m w . 而(2.3.2)式0()w t w rt =+只假设体重匀速增加. 长时间来
看，新假设比原假设更符合实际. 两假设都满足(0)w r '=，在最佳出售时机附近误差微小.
图11 假设(2.3.2)式与(2)式的比较
图12 假设(2.3.2)式与(2)式的比较
w，代入（2）在由(2)式和(2.3.1)式组成的假设下，保留
m
其他具体数值，计算多赚的纯利润. 运行以下MuPAD语句：
C:=t->3.2*t:
w:=(t,wm)->90*wm/(90+(wm-90)*E^(-t/60)): p:=t->12-0.08*t:
Q:=(t,wm)-->w(t,wm)*p(t)-C(t)-90*12;
plot(plot::Function2d(Q(t,270),t=0..30));
算得
()
()60
90120.08
(,) 3.21080
9090e
m
m t
m
w t
Q t w t
w-
-
=--
+-，绘得图13.
图13 (,270)
Q t的图像
运行以下MuPAD语句：
T:=solve(diff(Q(t,270),t),t);
ts:=T[1];
Qs:=Q(ts,270);
可解出Q的驻点的数值解14.43357158
s
t=（天），根据函数图像和问题的实际意义，可知这是所求的最佳出售时机，对应的多赚
的纯利润为12.15129217s Q =元.
（3）接着上一小题，运行以下MuPAD 语句，但是求不出当(,)m Q t w 达到最大值时t 关于m w 的函数解析式：
solve(diff(Q(t,wm),t),t);
运行以下MuPAD 语句：
solve(diff(Q(t,wm),t),wm);
可见当(,)m Q t w 达到最大值时m w 关于t 的反函数解析式却有可能求得出，只是MuPAD 给出的表达式很复杂. 其实可以按如下步骤推出m w 关于t 的反函数解析式：
g1:=diff(Q(t,wm),t)=0; 算得0Q t
∂=∂即： ()()260606030.0812907.2 3.209090902e 90e e m m m m t m t t w t w w w w -----=--⎛⎫++ ⎪⎝⎭
观察上式，发现分母大于零，而且去分母之后，合并m w 的同类项，可以表示为m w 的二次方程：
g2:=g1*((wm-90)/E^(t/60)+90)^2*25*E^(t/60); //去分母 g2:=collect(g2,wm); //合并wm 的同类项，t 当作参数
2606060306060801440016200e 270327038700e e e 648000e 64800012960000e e t m m t t t t t t t w t w ⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+--=
运行以下MuPAD 语句，由图像（图14）可知在实际问题关
心的0<t <30范围内，二次项系数
608027030e
t t -->： plot(plot::Function2d((270-80/E^(t/60)-3*t),t=0..100));
图4 二次项系数的符号
于是，运行以下MuPAD 语句，解方程：
S:=solve(g2,wm);
MuPAD 给出解的四种情况，其中第一种是二次项系数非零，正是本问题所要求的解. 但是二次方程有两个根，要检验哪一个根才是当(,)m Q t w 达到最大值时m w 关于t 的反函数解析式. float(subs(S[1][1],t=ts));
算得当s t t =时，有0.8519704108m w =-，这是增根，舍去； float(subs(S[1][2],t=ts));
算得当s t t =时，有270m w =，这是要找的根；
wms:=S[1][2]; //当Q 达到最大值时wm 关于t 的反函数解析式
float(subs(1/(diff(wms,t))*wm/t,t=ts,wm=270));
//t 对wm 的灵敏度，利用反函数求导数
利用反函数求导数算得t 对m w 的灵敏度：
d 1(,) 3.80183985d d d m m m m m w w t S t w w w t
t t
=⋅=⋅=. Q 对m w 的灵敏度则比较简单，运行以下MuPAD 语句： float(subs(diff(Q(t,wm),wm)*wm/Q(t,wm),
t=ts,wm=270)); //Q 对wm 的灵敏度
利用导数算得Q 对m w 的灵敏度：
d (,)7.786585188d m m m w Q S Q w w Q
=⋅=. 结论：m w 的微小变化对t 和Q 存在一定影响，不算厉害.
（4）模型假设(2)式以阻滞增长模型来刻画生猪体重的变化趋势，如果考虑的时间段长达数月，(2)式比(2.3.2)式更符合实际，但是本问题的最佳出售时机不超过20天，(2)式与(2.3.2)式在最佳出售时机附近非常近似，(2)式导致的模型解答可以由(2.3.2)式导致的解答加上灵敏度分析所代替. 所以采用更为简单的(2.3.2)式作为假设更好. 具体分析如下：
由()90(,)m r r t w t w ++∆=，得
(,)90m w t w r r t
-∆=-， 代入270m w =，14.43357158s t t ==，r =1，得
0.036565352791
r r r ∆∆==. 由于(,)t r S t r t r
∆∆≈，根据2.3节，代入(,) 6.5S t r =，t =10，r =1，算得12.37674793t t +∆=，与14.43357158s t =只相差两天.
以上计算可以用以下MuPAD 语句实现：
dr:=float((w(ts,270)-90)/ts-1);
10+dr*10*6.5;。