数学建模第二章作业答案章绍辉

习题2作业讲评

1. 继续考虑

2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式

20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ）

解答

（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号：

D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）；

于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.

比较2

0.750.082678d v v =+与2D v =，得：

()0.082678 1.25d D v v -=-

所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d时，有d>D ，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全. 也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.

另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全. 用以下MATLAB 程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.

v=(20:5:80).*0.44704;

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,37 6];

d2=0.3048.*d2;

k1=0.75; k2=0.082678; K2=2;

d1=[v;v;v].*k1;

d=d1+d2;

plot([0,40],[0,K2*40],'k')

hold on

plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')

plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)

title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')

legend('两秒准则','刹车距离理论值',...

'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)

xlabel('车速v（m/s）')

ylabel('距离（m）')

hold off

51015

2025

303540

020406080100120

140160180比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则

车速v （m/s ）

距离（m ）

图1

（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t 秒准则”（表2）——后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t 秒钟之后到达同一标志.

绘制图2的MATLAB程序：

v=(20:5:80).*0.44704;

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,37 6];

d2=0.3048.*d2;

k1=0.75; k2=0.082678;

d=d2+[v;v;v].*k1;

vi=0:40;

plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',...

vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',...

[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)

legend('t 秒准则','刹车距离理论值',...

'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)

hold on

plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',...

[35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',...

[60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k')

title('t 秒准则，刹车距离的模型和数据')

xlabel('车速v（m/s）')

ylabel('距离（m）')

hold off

51015

2025

303540

020406080100120140160180车速v （m/s ）

距离（m ）

t 秒准则，刹车距离的模型和数据

图2

4. 继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t 天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为

2()(0)p t p gt ht =-+ (1)

其中h 为价格的平稳率，取h =0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变.

（1） 试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；

（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润； （3）作灵敏度分析，分别考虑h 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；

（4）讨论模型关于价格假设的强健性. 解答一（用MATLAB 数值计算）

（1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更接近实际（图3）. 两个假设都满足(0)p g '=-，在最佳出售时机附近误差微小（图4）. 绘图的程序

p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2; figure(1) n=400;

plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k') axis([0,400,0,20])

title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')

legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t （天）')

ylabel('p （元/公斤） ') figure(2) n=20;

plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k')

title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')

legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t （天）'), ylabel('p （元/公斤） ')