2015高考数学一轮题组训练：11-1随机事件的概率

第十一篇概率
第1讲随机事件的概率
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，下面4种说法：①f(n)与某个常数相等；②f(n)与某个常数的差逐渐减小；③f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小；④f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定，其中正确的是________．
解析随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
答案④
2．(2014·南京一中月考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
解析3个红球记为A1，A2，A3,2个黄球记为B1，B2则基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2共10种．所取2个球颜色不同的事件为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．
∴所求概率为6
10＝
3
5.
答案3 5
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．
解析由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.
答案0.3
4．(2014·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，
事件B为出现2点，已知P(A)＝1
2，P(B)＝
1
6，则出现奇数点或2点的概率为
________．
解析因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
2＋
1
6＝
2 3.
答案2 3
5．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
解析∵P(A)＝1
52，P(B)＝
13
52，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
52＋
13
52＝
14
52＝
7
26.
答案7 26
6．(2014·沈阳模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________．
解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1
个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－1
10＝
9
10.
答案9 10
7．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．
解析由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45.
答案0.45
8．(2014·无锡模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
解析记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋
C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案0.96
二、解答题
9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红
球的概率是1
3，黑球或黄球的概率是
5
12，绿球或黄球的概率也是
5
12，求从中任
取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
解从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A、B、C、D，则事件A、B、C、D彼此互斥，所以有
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝5 12，
P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝5
12，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1
－1
3＝
2
3，解得P(B)＝
1
4，P(C)＝
1
6，P(D)＝
1
4.
故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，1
4.
10．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
B 配方的频数分布表
(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系
式为y ＝⎩⎨⎧
－2，t <94，2，94≤t <102，
4，t ≥102，
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概
率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
解 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8
100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10
100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一
件的利润为
1
100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·大连模拟)某城市2013年的空气质量状况如下表：
＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为________．
解析由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P＝1
10＋
1
6＋
1
3＝
3
5.
答案3 5
2．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，
每次只取一个，取得两个红球的概率为7
15，取得两个绿球的概率为
1
15，则取
得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P
＝7
15＋
1
15＝
8
15.
(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事
件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－1
15＝
14
15.
答案8
15
14
15
3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．
解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为14
32
＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5. 答案 32 0.437 5 二、解答题
4．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，
现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 30～40 40～50 50～60 (2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为：
121212分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.。