新高一数学函数的单调性与最值教案

高一数学——函数

第三讲函数的单调性与最大（小）值

【教学目标】：

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性；

（4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。

【重点难点】：

1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，

2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

【教学过程】：用具：

一、知识导向或者情景引入

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

（1）随x的增大，y的值有什么变化？

（2）能否看出函数的最大、最小值？

（3）函数图象是否具有某种对称性？

2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x

○1从左至右图象上升还是下降 ______?

○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x) = -2x+1

○1从左至右图象上升还是下降 ______?

○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x2

○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x

1，x

2

，当x

1

2

时，

都有f(x

1)

2

)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x

1，x

2

；当x

1

2

时，总有

f(x

1)

2

) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊

值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

○

2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

4、判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法 （2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：

（3.1）函数)()(x f y x f y =-=与函数的单调性相反

（3.2）函数)(x y 恒为正或恒为负时，函数)()

(1

x f y x f y ==

与的单调性相反。 （3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数 等 提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端

点处没有定义，则必须写成开区间。 （二）典型例题

例1．（教材P 29例1）根据函数图象说明函数的单调性． 解：见教材

例2．（教材P 29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 解：见教材 巩固练习：

证明函数x

x y 1

+=在（1，+∞）上为增函数。

例3．借助计算机作出函数y =－x 2

+2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 解： 用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。 思考：画出反比例函数x

y 1

=

的图象． ○

1 这个函数的定义域是什么？

○

2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． 说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象． 归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助

计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论

（三）函数的最大（小）值

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）3

x

=x

-

f]2,1

)

x

∈

[-

(+

-

(+

)

=x

x

2

f（2）3

2

（3）1

+

(2+

)

=x

x

2

x

f]2,2

)

(2+

2

f（4）1

+

=x

x

x

∈

x

[-

（3.1）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

∈I，使得f(x0) = M

（2）存在x

那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）