轴对称图形一对一辅导讲义
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考点及考试要求
1、轴对称与轴对称图形
2、线段的垂直平分线
教 学 内 容
第一课时轴对称图形知识梳理
1、在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC( )
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
2、△ABC中，AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是( )
①ΔABC≌ΔA’B’C’；
②∠BAC’≌∠B’AC；
③l垂直平分CC’；
④直线BC和B’C’的交点不一定在l上，正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2= 5cm，则ΔPMN的周长是( )
8．角的轴对称性：
①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
第二课时轴对称图形典型例题
一、轴对称图形
例1：判断题：
①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （ ）
②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴； （ ）
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．
14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．
15．如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，AD=5，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是____________．
例2：如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到OA、OB的距离相等。
例3：如图，已知直线 及其两侧两点A、B。
（1）在直线 上求一点P，使PA=PB；
（2）在直线 上求一点Q，使 平分∠AQB。
例4：如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？
例8：已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且DE=DF。
试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.
例9：已知：在ΔABC中，D是BC上一点，DE⊥BA于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.。试判断线段AD与EF有何关系?并说明理由。
例10：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。试说明BD垂直平分AE
6．怎样画轴对称图形：
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
7．线段的轴对称性：
1线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，
另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
例5：如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整。
例6：如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点位置上，试问怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边AB反弹后再击中白球F？
1.什么叫轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2.什么叫轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：
③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （ ）
④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 （ ）
例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.
例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：
例7：如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短？
例8：如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？
二、垂直平分线
例1：已知 ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知 BEC的周长是16。求 ABC的周长.
6．下列图形中有4条对称轴的是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
7．下列说法中，正确的是( )
A．两个全等三角形组成一个轴对称图形
B．直角三角形一定是轴对称图形
C．轴对称图形是由两个图形组成的
D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形
8．如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，下列结论中：
16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一
底角为60°，则它的两底长分别为____________．
17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，
则∠BAC=____________．
18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点
E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．
A.9 B.8 C.7 D.6
3、平面内到不在同一条直线的三个点A、B、C的距离相等的点有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4、如右图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC
于E，△EBC的周长是24cm，则BC=_________．
5、互不平行的两条线段AB、 关于直线 对称，AB和 所在直线交于点P，下面结论：①AB= ；②点P在直线 上；③若点A、 是对称点，则 垂直平分线段 ；④若点B、 是对称点，则PB= ，其中正确的有(只填序号).
区别：
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：
①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
三．解答题
19．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
20．如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．
21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．
22．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，
教学目标
1．通过学习轴对称与轴对称图形的区别和联系，进一步发展学生抽象概括能力。
2．通过轴对称与轴对称图形的学习，让学生关注生活，学会观察、增强交流。
3．经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。
重点、难点
1、由具体情境抽象出轴对称与轴对称图形的概念．
2、比较观察轴对称与轴对称图形之间的区别与联系。
A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm
10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ）
A．3cm或5cmB．3cm或7cmC．3cmD．5cm
二．填空题
11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴．
12．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
例5：已知：如图，在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？
例6：如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。试判断AD和BC的关系，并说明理由。
例7：已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E，交BA延长线于D，过C作CF⊥BD于F，交DE于G，DF= BC，试说明∠FCB= ∠B
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（也称线段的中垂线）
5．轴对称的性质：
⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
① 若△BCD的周长为8，求BC的长；
② 若BC=4，求△BCD的周长．
23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问 △APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
Q
D．有一个内角为30º的直角三角形
3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A．过顶点的直线
B．顶角的平分线
C．底边的垂直平分线
D．腰上的高
4．下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A．角 B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形
5．正五角星的对称轴的条数是( )
A．1条 B．2条 C．5条 D．10条
第三课时轴对称图形课堂检测
1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )
1② ③ ④
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②
2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有一个角为45º的直角三角形
C．有一个内角为30º，一个பைடு நூலகம்角为120º的三角形
1、轴对称与轴对称图形
2、线段的垂直平分线
教 学 内 容
第一课时轴对称图形知识梳理
1、在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC( )
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
2、△ABC中，AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是( )
①ΔABC≌ΔA’B’C’；
②∠BAC’≌∠B’AC；
③l垂直平分CC’；
④直线BC和B’C’的交点不一定在l上，正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2= 5cm，则ΔPMN的周长是( )
8．角的轴对称性：
①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
第二课时轴对称图形典型例题
一、轴对称图形
例1：判断题：
①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （ ）
②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴； （ ）
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．
14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．
15．如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，AD=5，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是____________．
例2：如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到OA、OB的距离相等。
例3：如图，已知直线 及其两侧两点A、B。
（1）在直线 上求一点P，使PA=PB；
（2）在直线 上求一点Q，使 平分∠AQB。
例4：如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？
例8：已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且DE=DF。
试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.
例9：已知：在ΔABC中，D是BC上一点，DE⊥BA于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.。试判断线段AD与EF有何关系?并说明理由。
例10：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。试说明BD垂直平分AE
6．怎样画轴对称图形：
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
7．线段的轴对称性：
1线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，
另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
例5：如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整。
例6：如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点位置上，试问怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边AB反弹后再击中白球F？
1.什么叫轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2.什么叫轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：
③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （ ）
④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 （ ）
例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.
例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：
例7：如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短？
例8：如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？
二、垂直平分线
例1：已知 ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知 BEC的周长是16。求 ABC的周长.
6．下列图形中有4条对称轴的是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
7．下列说法中，正确的是( )
A．两个全等三角形组成一个轴对称图形
B．直角三角形一定是轴对称图形
C．轴对称图形是由两个图形组成的
D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形
8．如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，下列结论中：
16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一
底角为60°，则它的两底长分别为____________．
17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，
则∠BAC=____________．
18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点
E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．
A.9 B.8 C.7 D.6
3、平面内到不在同一条直线的三个点A、B、C的距离相等的点有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4、如右图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC
于E，△EBC的周长是24cm，则BC=_________．
5、互不平行的两条线段AB、 关于直线 对称，AB和 所在直线交于点P，下面结论：①AB= ；②点P在直线 上；③若点A、 是对称点，则 垂直平分线段 ；④若点B、 是对称点，则PB= ，其中正确的有(只填序号).
区别：
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：
①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
三．解答题
19．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
20．如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．
21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．
22．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，
教学目标
1．通过学习轴对称与轴对称图形的区别和联系，进一步发展学生抽象概括能力。
2．通过轴对称与轴对称图形的学习，让学生关注生活，学会观察、增强交流。
3．经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。
重点、难点
1、由具体情境抽象出轴对称与轴对称图形的概念．
2、比较观察轴对称与轴对称图形之间的区别与联系。
A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm
10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ）
A．3cm或5cmB．3cm或7cmC．3cmD．5cm
二．填空题
11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴．
12．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
例5：已知：如图，在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？
例6：如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。试判断AD和BC的关系，并说明理由。
例7：已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E，交BA延长线于D，过C作CF⊥BD于F，交DE于G，DF= BC，试说明∠FCB= ∠B
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（也称线段的中垂线）
5．轴对称的性质：
⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
① 若△BCD的周长为8，求BC的长；
② 若BC=4，求△BCD的周长．
23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问 △APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
Q
D．有一个内角为30º的直角三角形
3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A．过顶点的直线
B．顶角的平分线
C．底边的垂直平分线
D．腰上的高
4．下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A．角 B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形
5．正五角星的对称轴的条数是( )
A．1条 B．2条 C．5条 D．10条
第三课时轴对称图形课堂检测
1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )
1② ③ ④
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②
2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有一个角为45º的直角三角形
C．有一个内角为30º，一个பைடு நூலகம்角为120º的三角形