数学建模送货路线设计问题

送货路线设计问题

摘要：

本文主要讨论的是送货路线的设计问题。总体的解题思路是将问题中的地点、路线分别抽象成数学中的点、线，然后利用图论的相关知识理论来考虑这些问题。最后，设计方法程序，并利用Matlab运行，解决问题。

问题一要求根据1-30号货物设计一条最快的送货路线，由于货物的总质量mzong和总体积vzong（mzong =48.5000;vzong =0.8800）均未超出最大限度50和1，所以，该问题可转化成求最短路问题。解决方法：首先，写出每个点的带权邻接矩阵；然后，运用Floyd求任意两点间的最短距离；最后，用H圈构造运算法,并通过矩阵翻转的二边逐次修正法，得到最短距离和最快完成路线图，如下:

o→18→13→24→31→27→39→34→40→45→49→42→43→36→38→32→

23→16→14→17→21→26→o

lucheng =5.4707e+004米 t=lucheng/1000*v+t*21/60=3.3295小时

问题二设计一条路线，要求在时间允许的条件下，使总路程最小。解决思路是利用问题一中的方法，结合每个货物的时间限制，最终得到路线图，如下：

o→18→13→24→31→27→39→34→40→45→49→42→43→38→36→32→23→16→14→17→21→26→o

lucheng2= 5.4707e+004 t2=lucheng2/1000*v+t*21/60= 3.3295小时

问题三将1-100号货物全部送到指定地点，mzong=148，vzong=2.8，显然不能一次性送到。解题思想是根据仓库到各个点的最小距离将地点分为三部分，分别派送。

分完组后在利用第一问的思想给予优化求出最佳的H圈.得到的送货路线分别为:

第一组路线：

o→26→31→27→39→27→36→45→40→47→40→50→49→42→43→38→35→32→23→17→21→o；

第二组路线：

o→26→31→34→40→37→41→44→48→46→33→28→30→22→20→22→29→25→19→24→31→26→o；

第三组路线：

o→21→17→23→16→14→9→10→7→1→6→1→8→3→4→2→5→15→12→11→13→1811→o。

送货时间为:t3=lucheng/1000*v+t*100/60=10.563小时

关键词：

图论带权邻接矩阵Floyd算法最优Hamilton圈二边逐次修正

一、问题重述

现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。

现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。

假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。送货员的平均速度为24公里/小时。假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。

现在送货员要将100件货物送到50个地点。请完成以下问题。

1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。给出结果。要求标出送货线路。

2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路。

3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。可不考虑中午休息时间。

以上各问尽可能给出模型与算法。

图1 快递公司送货地点示意图

O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米

二、模型假设

1.将仓库视为第51个点，参与计算。

2.送货员在路上无特殊情况，不会因抛锚等现象而耽误时间；

3.同一地点要送多件货物，那么这些物品在同一次中运送；

4.要求到达的时间不包括此次在该点交接的时间；

5.送货员只沿着已知的路线行走；

6.道路是双向的，无单向路线；

7.送货员取货的时间不计。

三、符号说明

1问中涉及到的符号

a各货物号信息（货物号、运送地点、重量、体积和最晚时间）矩阵

b 50个位置点的坐标矩阵

c互通点信息矩阵

d任意两相通两点间距离

e对应两相通两点间距离

e1对e进行去重后得到的矩阵

f带权邻接矩阵

D任意两点间最小距离矩阵

u初始H圈

mzong货物的总质量

vzong货物的总体积

luxian最短路线

lucheng最小路程

t1最短时间

t货物交接时所需时间（3分钟）

v送货员的行驶速度(24千米每小时)

2问中涉及到的符号

luxian2最短路线

lucheng2最小路程

t2最短时间

3问中涉及到的符号

luxian3最短路线

lucheng3最小路程

t3最短时间

D3分组矩阵

四、问题的分析与模型的建立

将快递网图中，每个投递点看作图中的一个节点，各投点之间的公路看作图中对应节点间的边，各条路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给快递网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点0出发，行遍所有顶点至少一次再回到O点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题。

1)问题一是需将30个货物送达21个固定点并返回，O点和另外21个点构成

了一个典型的最短路问题。即先利用Floyd计算两点间的最短距离，再随机构造哈密顿圈，利用优化算法对此H圈优化，使H圈的权最小。

2)问题二本小问是在一问的基础上加入时间的限制，解题思想是以第一问的过

程为基础，从随机产生的H圈中选出符合时间要求的多条路线，再从中学出事的路程权重最小的路线。并检验其是否符合时间的要求。

3)问题三主要是对路线的分组,分组后检验，调整使得每组货物质量小于

50kg，体积小于1m3，然后利用问题一，解出每组的最佳H圈。

五、模型的分析与求解

1.5.1

由附录1给定的数据知，前30号货物由于货物的总质量mzong和总体积vzong 分别为48.5和0.88均未超出最大限度50和1，显然送货员能够一次带上所有货物到达各送货点，且货物要送达总共为21个，如下：

13,14,16,17,18,21,23,24,26,27,31,32,34,36,38,39,40,42,43,45,49

本模型运用图论中Floyd算法与最佳Ｈ圈中的相关结论，建立了关于该类问题的优化模型，将出发点O和21个送货点结合起来构造完备加权图。