上海大同杯数学竞赛及答案

C

上海初三数学竞赛（大同中学杯）

（2015年12月6日）

解答本题可以使用科学计算器

一填空题（每小题10分，共80分）

1、已知AB 为圆O

的直径，AB=1，延长AB 到点C ，使得

BC=1，CD 是圆O 的切线，D 是切点，则ABD ∆的面积为______________。

解答：依据切割线定理可以得到：2

CD CB CA =⋅⇒因为可以得到BD CD

CD CBD A AD AC

∆⇒

=∆∽

因此有

2BD AD ==

。 因为AB 为圆O 的直径，所以ABD ∆时直角三角形。 依据勾股定理有2

2

2

2

2

1

133

AB BD AD BD BD =+⇒=⇒=

。 而212ABD S BD AD BD ∆=

⋅==

2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3

个小球的编号和为奇数的概率为______________。

解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为3

735C =种，因为没有小球的数字不同，这样

这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况

第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为

344C =

第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两

个，取法有224312C C ⋅=.

这样和为奇数一共有41216+

=种。从而取出的3

个小球的编号和为奇数的概率为16

35

3、实数,x y 满足24x =，24y =，x y

≠，则

x y

y x

+的值为____________。 解答：因为2

24

4x y ⎧+=-----

⎪⎨+=

-----⎪⎩①

②

上述①②两个相减，得到：()())0x y x y x y -+-=。因为x y ≠ 所以有x y +=

上述①②相加得到222)4()2)4x y x y x y xy x y ++=⇒+-+=

所以1xy =。因此2()21x y x y xy

y x xy +-+==

4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为________．

解答：设这三个素数为,,a b c 。则有23()abc a b c =++。因为23是素数，从

23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。从而可以得到其中

有一个素数必为23。假设23a =

这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯ 因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A 作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接 AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则

AC

AB

=________． 解答：做如图所示的辅助线。可以得到

21211

//2

CO PC AO

CO PA AO ⇒==

为此设PC k =，则2.PA k = 应用切割线定理有：

22

3.AB AP

AC k k AB =⋅=⨯⇒=

所以

AC AB ==

。 6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，∠MON 的两边分别是射线 y = x (x ≥ 0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是∠MON 内的两个定点，点P 、Q 分别是∠MON 两边上的 动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________． 解答：本题主要就是应用对称。应为四边形 ABQP ，其中一个边AB 为定值。要求四边形ABQP 从对称可以得到/(5,6)A ,/

(10,2)B -. 四边形另外三边的最小值为/

/

A B 依据两点间距离公式有

。//

A B ==

AB ==

。

7. 不定方程2222x y xy x y +=++的整数(,y)x 解共有________组。

解答：设x y k +=，所以从2222x y xy x y +=++，可以得到222k xy xy k -=+

所以22

2233

k k

k k xy xy --=⇒=。

这样,y x 是方程22

203

k k

t kt --+=的两个根，并且根为整数。 所以22

22()40803

k k

k k k -∆=--⨯≥⇒-≤。因此有08k ≤≤。 同时要保证22(2)

33

k k k k xy --==为整数。这样就有0k =，3，5，6，8 当0k =时，(,y)(0,0)x =

当3k =时，方程为方程2

310t t -+=没有整数解。

当5k =时，方程为方程2

550t t -+=没有整数解。

当6k =时，方程为方程2

680t t -+=，有整数解为2,4。所以(,y)(2,4)x =或(4,2)

当8k =时，方程为方程2

8160t t -+=，有整数解为4,4。所以(,y)(4,4)x =

整数(,y)x 解共有4组

8. 设a 是给定的正实数，n 是给定的大于 1 的整数，实数123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅ 满足

2222

123n

x x x x a +++⋅⋅⋅+=，则 2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-21()n n x x -+⋅⋅⋅+-的最

大值________________。

解答：

因为2

2

2

2

2

12131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-2

1()n n x x -+⋅⋅⋅+-

22212123234211(1)()2()2()2()2n n n n x n n n

n x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅+-++⋅⋅+-⋅⋅⋅-+-