第三章,微分方程模型

第三章 微分方程建模

在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。

§3.1 几个简单实例

例3.1 （理想单摆运动的周期）

本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。

（图3-1）

从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 θsin mg ，根据牛顿第二定律可得：

θθ

sin mg ml -= 从而得出两阶微分方程：

sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ⎧+=⎪⎨⎪==⎩ （3.1） 这就是理想单摆运动满足的微分方程。

（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：

⎪⎩⎪⎨⎧===+∙∙∙0

)0(,0)0(0

ϑϑϑϑϑl g （3.2）

（3.2）的特征方程为

02=+l

g λ 对应的特征根为i l

g =λ，（其中i 为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为： t c t c t ωωϑcos sin )(21+=，其中l g =

ω 代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解

θ(t )= θ0cos ωt 注意到当4

T t =时，θ(t ) = 0，即可得出 24πω==

T l g t 故有

l g T π2= 这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。

例3.2 （交通管理中的黄灯问题）

在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？

现在，让我们来分析一下这个问题。在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口。如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车。也就是说，在街道上存在着一条无形的线，（见图3-2），从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大。当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口。大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）。对

于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下

足够的时间使它们能顺利地通过路口。

（图3-2）

根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：

步1. 根据该街道的法定速度0v 求出停车线位置（即停车线到街口的距离）

步2. 根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久

（停车线的确定）

要确定停车线位置应当考虑到两点：（1）驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间1t ，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。（2）驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。

驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）1t 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）。例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）。

停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。设汽车质量为m ,刹车摩擦系数为

f ，)(t x 为刹车后在t 时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为

fmg （g 为重力加速度）

。由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==-==022,0)0(v dt dx x fmg dt x d m o t （3.3） 在方程(3.3)两边同除以m 并积分一次，并注意到当t = 0时

dt dx = 0v ，得到 0v f g t dt

dx +-= (3.4) 刹车时间2t 可这样求得，当2t t =时，0=dt

dx ，故 fg

v t 02= 将（3.4）再积分一次，得

t v fgt t x 0221)(+-= 将fg

v t 02=代入，即可求得停车距离为 fg

v t x 20221)(= 据此可知，停车线到路口的距离应为：

fg

v t v L 201021+= 等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。

（黄灯时间的计算）

现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口。记街道的宽度为D （D 很容易测得），平均车身长度为l ，这些车辆应通过的路程最长可达到l D L ++，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：

v l D L T ++= 例3.3 （饿狼追兔问题）

设有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍，问兔子能否安全回到巢穴？

建立坐标系如图3-3，兔子在初始时刻位于坐标原点O 处，狼在横坐标上的A 处,OA 间的距离为100米。由于狼要盯着兔子跑，所以狼行走的是一条曲线，且在任一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线是曲线上该点处的切线方向。

（图3.3）

设狼的行走轨迹为)(x f y =，则有0,0100100=='==x x y y

又因为狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内，狼行走的距离为兔子行走的距离的两倍。假设在某时刻兔子跑到),0(h 处，而狼在),(y x 处，则根据微积分中的弧长计算公式容易得出，)(x f y =应满足

[]

⎪⎩⎪⎨⎧=+=--⎰x h dt t f x f x y h 02''2)(1)(0 即有 [][]⎰+=-x

dt t f x xf y 02

'')(1)(2 两边求导得