第七节 方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度 ㈠本课的基本要求
理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法 ㈡本课的重点、难点
方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．方向导数
偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。

但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。

例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。

因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。

设l 是xoy 平面上以),(000y x P 为始点的一条射线，)cos ,(cos βα=l e 是与l 同方向的单位向量。

射线l 的参数方程为)0(,cos ,cos 00≥+=+=t t y y t x x βα。

设函数
)
,(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)cos ,cos (00βαt y t x P ++为l 上另一点，且)(0P U P ∈。

如果函数增量),()cos ,cos (0000y x f t y t x f -++βα与P 到0P 的距离
t PP =0的比值
t
y x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα，当P 沿着l 趋于0P （即+
→0t ）
时的极限存在，则称此极限为函数),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作
)
,(00y x l
f ∂∂，即
lim
0)
,(00+
→=∂∂t y x l
f t
y x f t y t x f )
,()cos ,cos (0000-++βα。

⑴
注意 在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。

而在偏导数中，x ∆与y ∆的值则可正可负，因此，如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴正向}0,1{=i ，y 轴正向}1,0{=j 的方向导数存在，其值就是y x f f ,；如果函数
),(y x f z =在点P 沿着x 轴负向}0,1{-=-i ，y 轴负向}1,0{-=-j 的方向导数存在，其
值就是y x f f --,。

从方向导数的定义可知，方向导数
)
,(00y x l
f
∂∂就是函数),(y x f z =在点),(000y x P 处沿方向l
的变化率。

若函数),(y x f z =在点),(000y x P 的偏导数存在，}0,1{==i e l ，则
lim
0)
,(00+
→=∂∂t y x l
f t
y x f t y t x f )
,()cos ,cos (0000-++βα),(00y x f x =；
又若}1,0{==j e l ，则
lim
0)
,(00+
→=∂∂t y x l
f t
y x f t y t x f )
,()cos ,cos (0000-++βα),(00y x f y =。

但反之，若i e l =，
)
,(00y x l
f
∂∂存在，则
)
,(00y x x z ∂∂未必存在。

例如，2
2y x z +=在点)
0,0(O 处沿i l =方向的方向导数
1)
0,0(=∂∂l
f ，而偏导数
)
0,0(x
z ∂∂不存在。

方向导数的几何意义：设曲面),(y x f z =如图所示，当t 自变量沿方向l 变化时，曲面上的点),,(z y x 就形成一条曲线，它是曲面),(y x f z =与过直线l 且垂直于xoy 面的平面相交形成的曲线，这条曲线在点M 处有一条半切线MT ，设此半切线与方向l 的夹角为θ，则由方
向导数的概念可得θtan =∂∂=
l z
z D l ，即方向导数值等于点M 处这条半切线MT 在方向L 上的斜率。

由此可知：当0>∂∂l
z
时，函数),(y x f z =在点P 处沿方向l 是单调增加的；当0<∂∂l
z
时，函数),(y x f z =在点P 处沿方向l 是单调减少的。

例1 设平面c by ax z ++=，求沿方向}sin ,{cos 0a a l =的方向导数。

解 函数z 在点),(y x 沿方向0
l 的平均变化率为
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
y
b
x
a
y
b x a
c by ax c y y b x x a z
∆+∆=∆+∆=
++-+∆++∆+=
∆)
(])()([
由于在射线l （如图）上有αραρsin ,cos =∆=∆y x
所以
ααρ
sin cos b a z
+=∆
令0→ρ，得函数z 在点),(y x 沿方向0
l 的方向导数为
ααsin cos b a l
z
+=∂∂ 显然，这个方向导数与点),(y x 的位置无关，而只与方向角α有关，这说明平面上任一点沿同一方向的变化率是不变的，即变化是均匀的，这就是平面的特性。

当然沿不同方向的变化率是不同的。

定理 如果函数),(y x f 在点),(000y x P 可微分，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且有
βαcos ),(cos ),(0000)
,(00y x f y x f l
f y x y x +=∂∂。

⑵其中βαcos ,cos 是方向
l 的方向余弦。

证 由假设，),(y x f 在点),(000y x P 可微分，故有
2200000000)()((),(),(),(),(y x y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+∆+∆=-∆+∆+
但点),(00y y x x ∆+∆+在以),(00y x 为始点的射线l 上时，应有βαcos ,cos t y t x =∆=∆,
t y x =∆+∆22)()(。

所以
t
y x f t y t x f t )
,()cos ,cos (00000lim
-++=
→βαβαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=
这就证明了方向导数存在，且⑵式成立。

例2 求函数23y x z =在点)1,3(P 沿从点)1,3(P 到点)3,2(Q 的方向的方向导数。

解 这里l 的方向向量为)2,1(-=
5
2cos ,5
1cos 5=
-
==
βα，
而
542,
2731
331
31
32
21
3==∂∂==∂∂========y x y x y x y x y x y
z y x x
z
故所求的方向导数为
5
815
254)5
1(271
3=
⋅
+-
⋅=∂∂==y x l
z
例3 求函数22y x r +=
沿方向)cos ,(cos 0βα=l 的方向导数。

（解略）
偏导数也可视为方向导数。

方向导数的概念可以推广到三元及三元以上的多元函数。

二．梯度
与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度。

设二元函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
D y x P ∈),(000，都可定出一个向量j y x f i y x f y x ),(),(0000+，这向量称为函数
),(y x f z =在点),(000y x P 的梯度，记作),(00y x gradf ，即
),(00y x gradf j y x f i y x f y x ),(),(0000+=
如果函数),(y x f z =在点),(000y x P 可微分，)cos ,(cos βα=l e 是与方向l 同向的单位向量，则
l y x y x e y x gradf y x f y x f l
f ⋅=+=∂∂),(cos ),(cos ),(000000)
,(00βα
θcos ),(00y x gradf =
其中),),((00l e y x gradf ∧
=θ。

这一关系表示了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系。

特别，当向量l e 与
),(00y x gradf 的夹角0=θ，即沿梯度方向时，方向导数
)
,(00y x l
z ∂∂取得最大值，这个最大
值就是梯度的模。

这就是说：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它模就等于方向导数的最大值。

我们知道，一般说来二元函数),(y x f z =在几何上表示一个曲面，这曲面被平面c z =(c
是常数)所截得的曲线L 的方程为⎩
⎨
⎧==c z y x f z )
,(这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲
线L*（如图），它在xoy 平面直角坐标系中的方程为c y x f =),(。

对于曲线L*上的一切点，已给函数的函数值都是c ，所以我们称平面曲线L*为函数),(y x f z =的等值线。

若y x f f ,不同时为零，则等值线c y x f =),(上任一点),(000y x P 处的一个单位法向量为
)),(),,(()
0,(),(1
000002002
y x f y x f y x f y x f n y x y
x
+=
这表明梯度),(00y x gradf 的方向与等值x 线上这点的一个法线方向相同，而沿这个方向的方向导数
n f ∂∂就等于),(00y x gradf ，于是n n
f
y x gradf ∂∂=
),(00 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系。

这就是说：函
数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线是，梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数。

上面讨论的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形。

设函数),,(z y x f 在空间区域G 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点G z y x P ∈),,(0000，都可定出一个向量
k z y x f j z y x f i z y x f z y ),,(),,(),,(000000000++
这向量称为函数),,(z y x f 在点),,(0000z y x P 的梯度，将它记作),,(000z y x gradf ，即
=),,(000z y x gradf k z y x f j z y x f i z y x f z y ),,(),,(),,(000000000++
经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数的梯度也是这样一向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

如果我们引进曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f 的等量面的概念，则可得函数)
,,(z y x f
在点),,(0000z y x P 的梯度的方向与过点0P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。

例4 设34y x z =，求该函数在点)1,1(P 的梯度。

例5 设xyz u =，求梯度。

下面我们简单地介绍数量场与向量场的概念。

如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域G 内确定了一个数量场（例如温度场、密度场等）。

一个数量场可用一个数量函数)(M f 来确定。

如果与点M 相对应的是一个向量)(M F ，则称在这空间区域G 内确定了一个向量场（例如力场、速度场等）。

一个向量场可用一个向量值函数)(M F 来确定，而
k M R j M Q i M P M F )()()()(++=，其中)(),(),(M R M Q M P j 是点M 的数量函数。

利用场 的概念，我们可以说向量函数)(M gradf 确定了一个向量场──梯度场，它是由数量场)(M f 产生的。

通常称函数)(M f 为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场。

必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场。

例6 试求数量场
r
m 所产生的梯度场，其中常数2
22,0z y x r m ++=>为原点O 与点),,(z y x M 间的距离。

解
32
r mx x r r m r m x -=∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，同理3r
my r m y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，3r mz r m z -=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂ 从而)(2k r z
j r y i r
x r m r m grad
++-= 如果用r e 表示与OM 同方向的单位向量，则k r
z
j r y i r x e r ++= 因此r e r
m
r m grad
2-= 上式右端在力学上可解释为，位于原点O 而质量为m 的质点对位于点M 而质量为1的质点
的引力。

这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它的距离平方成反比，这引力的方向由点M 指向原点。

因此数量场r m 的势场即梯度场称为引力场，而函数r
m
称为引力势。

小结：
作业：P.51.2,4,8,10。