您的位置：360文档中心› 2020-2021学年青海省西宁三校联考高考数学模拟试卷(理)及答案解析

2020-2021学年青海省西宁三校联考高考数学模拟试卷(理)及答案解析

合集下载

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(一)(含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(一)(含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，4，，则A. 1，3，B. 2，4，C. 3，D.2.已知是的共轭复数，则A. B. C. D. 13.已知向量，，则A. B. C. D.4.下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为A. ，B. ，且C. ，D. ，5.设函数为常数，则“”是“为偶函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一．书中记载了借助“外圆内方”的钱币如图做统计概率得到圆周率的近似值的方法．现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的近似值为A. B. C. D.7.函数在的图象大致为A. B.C. D.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则的值为A. B. C. 0 D.9.函数的部分图象如图所示，若，且，则A. 1B.C.D.10.某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是A. 2B. 4C.D.11.关于x的方程，若时方程有解，则a的取值范围A. B. C. D.12.已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是A. 3B. 4C.D.13.已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点，是一个定点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D.14.设，是定义在R上的两个周期函数，周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，，其中若在区间上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）15.某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是______名．16.如图，圆柱中，两半径OA，等于1，且，异面直线AB与所成角的正切值为则该圆柱的体积为______17.文科已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心，以为半径的圆交双曲线C的右支于P，Q两点为坐标原点，的一个内角为，则双曲线C 的离心率的平方为______．18.是P为双曲线上的点，，分别为C的左、右焦点，且，与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形有内切圆，则C的离心率为______．三、解答题（本大题共11小题，共123.0分）19.在中，如果sin A：sin B：：3：4，那么______．20.已知数列满足：，．设，证明：数列是等比数列；设数列的前n项和为，求．21.哈工大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩满分150分，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度不要求计算出具体值，给出结论即可；现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．22.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．Ⅰ若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；Ⅱ若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为元求随机变量X的分布列和数学期望．23.如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点．Ⅰ证明：平面；Ⅱ文科求点C到平面的距离．理科求二面角的正弦值．24.文科已知椭圆C：的左、右焦点为，，点P在椭圆C上，且面积的最大值为，周长为6．Ⅰ求椭圆C的方程，并求椭圆C的离心率；Ⅱ已知直线l：与椭圆C交于不同的两点A，B，若在x轴上存在点，使得M与AB中点的连线与直线l垂直，求实数m的取值范围．25.理科已知椭圆M：的两个焦点为，，椭圆上一动点P到，距离之和为4，当P到x轴上的射影恰为时，，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，经过点的直线l与椭圆M交于C，D两点．Ⅰ求椭圆M的方程；Ⅱ记与的面积分别为，，求的最大值．26.设函数．讨论的单调性若有最大值，求的最小值．27.已知函数．讨论的单调性；Ⅱ若方程存在两个不同的实数根，，证明：．28.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，xOy轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；设A，B为曲线C上不同两点均不与O重合，且满足，求的最大面积．29.已知函数．求不等式的解集；若，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：2，3，4，，4，，．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．先利用复数的运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出，从而确定a，b的值，求出．【解答】解：，，，，，故选：D．3.答案：D解析：【分析】本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量平行、垂直的判定方法．根据题意，由向量的坐标计算公式依次分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、向量，，有，则不成立，A错误；对于B、向量，，，则不成立，B 错误；对于C、向量，，，有，则不成立，C错误；对于D、向量，，，，则成立，D正确；故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．【解答】解：对于A，令，则，为偶函数，而在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，故排除A；对于B，令，且，同理可证为偶函数，当时，，为增函数，故B满足题意；对于C，令，，为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选B．5.答案：D解析：解：若，则函数，，，函数图象不关于y轴对称，函数表示偶函数；若是偶函数，则恒成立，即恒成立，则对任意实数x恒成立．则．“”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．故选：D．由不能得到为偶函数，反之，由为偶函数不能得到可知“”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．本题考查函数奇偶性的性质及其应用，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．6.答案：A解析：解：圆的半径为2cm，面积为；正方形边长为1cm，面积为．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是，则．故选：A．计算圆的面积和正方形的面积，求出对应面积比得P，则可求．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7.答案：D解析：解：，函数为奇函数，排除选项A 和B，而当时，，可得，故选：D．先利用函数的奇偶性的定义得知，所以函数为奇函数，可排除选项A和B，对比选项C和D，发现当时，，可得所求图象．本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：A解析：【分析】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．根据A与B的坐标，利用任意角的三角函数定义求出，，，的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：点A，B的坐标为和，，，，，则．故选A．9.答案：D解析：解：由图象可得，，解得，，代入点可得，，又，，，，即图中点的坐标为，又，且，，，故选：D．由图象可得，由周期公式可得，代入点可得值，进而可得，再由题意可得，代入计算可得．本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．10.答案：B解析：解：作出截面图如图，则，由截面圆的周长为，得，则．球的半径是．故选：B．由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径．本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的最值，考查分离变量法的应用，突出考查正弦函数的单调性与配方法，属于中档题．；当时，利用正弦函数的单调性可求得，从而可得a的取值范围．【解答】解：，；，，，，，即．的取值范围为．故选B．12.答案：A解析：解：作出对勾函数的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为，圆心坐标，半径，则由图象知当A，B，C三点共线时，最小，此时最小值为，即的最小值是3，故选：A．作出对勾函数的图象，利用圆的性质，判断当A，B，C三点共线时，最小，然后进行求解即可．本题主要考查两点距离最值的计算，结合对勾函数的图象，结合圆的性质是解决本题的关键．难度中等．13.答案：A解析：解：如图，由抛物线方程，可得抛物线的焦点，又，与F重合．过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则的最小值等于．故选：A．由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则的最小值等于．本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．14.答案：C解析：解：作出函数与的图象如图，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于x的方程有8个不同的实数根，则，与，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，两点，连线的斜率，．即k的取值范围为故选：C．由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：7解析：解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值，截距最大时的直线为过时使得目标函数取得最大值为：．故答案为：7．由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令，则题意求解在可行域内使得z取得最大．此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想．16.答案：解析：解：过B作底面O，交底面圆O于点C，连结OC，圆柱中，两半径OA，等于1，且，异面直线AB与所成角的正切值为，，，，是异面直线AB与所成角，，，该圆柱的体积：．故答案为：．过B作底面O，交底面圆O于点C，连结OC，则，，，由是异面直线AB与所成角，得到，从而，由此能求出该圆柱的体积．本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解析：解：如图所示，且的一个内角为，则为等边三角形，，设圆与x轴交于G，连接PF，PG，则，由，可得，可得，由，可得，，则，可得，故，又P为双曲线上一点，，由，，且，可得，解得．故答案为：．由双曲线的对称性及的一个内角为，可得为等边三角形，进而求点P的坐标，再由P在双曲线上，代入双曲线方程，结合隐含条件即可求得答案．本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：2解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．求出圆的圆心、半径和直线的方程，根据切线的性质列方程求出a，b，c的关系，得出离心率．【解答】解：，，可设P点坐标为则，，点坐标为，直线的方程为，即，由可知若四边形有内切圆，则内切圆的圆心为，半径为，到直线的距离，化简得：，即，又，或舍去故答案为：2．19.答案：解析：解：在中，sin A：sin B：：3：4，利用正弦定理化简得：a：b：：3：4，设，，，．故答案为：．已知等式利用正弦定理化简得到三边之比，表示出三边长，利用余弦定理表示出cos C，将三边长代入即可求出cos C的值．此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．20.答案：解：数列满足：，．由，那么，；即公比，，数列是首项为2，公比为2的等比数列；由可得，那么数列的通项公式为：数列的前n项和为．解析：由，那么，利用定义证明即可；根据求解数列的通项，即可求解．本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．21.答案：解：甲的成绩的中位数是，乙的成绩的中位数是．乙同学的成绩的频率分布直方图如下图：从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e，现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：共6种，因此事件A发生的概率．解析：本题考查概率的求法，考查茎叶图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，根据茎叶图中数据计算频率即可补全频率分布直方图．从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e，现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，利用列举法能求出事件A发生的概率．22.答案：解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．Ⅰ若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．Ⅱ由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：X 0 30 60 90 120P其数学期望．解析：Ⅰ返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．Ⅱ若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．求离散型随机变量期望的步骤：确定离散型随机变量的取值．写出分布列，并检查分布列的正确与否．求出期望．23.答案：解：Ⅰ证明：连结，ME，，E分别是，BC的中点，，且，为的中点，，由题设知，，，四边形MNDE为平行四边形，，平面，平面．Ⅱ文科解：过C作的垂线，垂足为H，由已知可得，，平面，，平面，的长为C到平面的距离，由已知得，，，，点C到平面的距离为．Ⅱ理科解：以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，，，，设二面角的法向量y，，则，取，得1，，设平面的法向量b，，则，取，得0，，，二面角的正弦值为．解析：Ⅰ连结，ME，推导出四边形MNDE为平行四边形，，由此能证明平面．Ⅱ文科过C作的垂线，垂足为H，推导出平面，从而，平面，CH的长为C到平面的距离，由此能求出点C到平面的距离．Ⅱ理科以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.答案：解：Ⅰ由面积的最大值为，周长为可得，解得：，所以椭圆的方程为：；离心率；Ⅱ设，，联立直线l与椭圆的方程：，整理可得，，，所以AB的中点坐标为：，所以线段AB的中垂线的方程为：，令，可得，所以由题意可得，因为，所以，因为，所以，所以，所以实数m的取值范围．解析：Ⅰ由面积的最大值为，周长为6及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程，及离心率的值；Ⅱ设AB的坐标，将直线l的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB的中点坐标，进而求出线段AB的中垂线的方程，令，求出x轴的点M的横坐标的表达式，由均值不等式可得m的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题．，菁优25.答案：解：Ⅰ由椭圆的定义可得：，即，由题意可得，所以，由题意可得，，，解得：或3，由，可得，所以椭圆的M的方程为：；Ⅱ由Ⅰ可得，，左焦点，由题意可得直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为：，设，，直线与椭圆联立，整理可得：，，，，当时，当，所以，当且仅当时取等号，即取等号；所以的最大值为．解析：Ⅰ由P到，距离之和为4，可得2a的值，再由P到x轴上的射影恰为时，，所以，即，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程；Ⅱ设过的直线，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出面积之差的表达式，由均值不等式求出面积之差的最大值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．26.答案：解：函数的定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，解得，得，在上单调递增，在上单调递减．综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．由知，当时，在上单调递增，在上单调递减．，，，令，，则，在上单调递减，在上单调递增，，的最小值为．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．函数的定义域为，，对m分类讨论即可得出．由利用单调性即可得出．27.答案：解：Ⅰ，．当时，由，解得，即当时，，单调递增，由，解得，即当时，，单调递减；当时，，即在区间内单调递增；当时，，故，即在区间内单调递增．综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为．Ⅱ方程存在两个不同的实数根，和Ⅰ知，且在递增，在递减，不妨设，要证，即证，当时，显然成立，当时，此时，设，，则，在上递增，且，，即，又，，，，又在递减，，即即．解析：Ⅰ求出函数的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数的单调性与单调区间；Ⅱ问题转化为证，当时，显然成立，当时，此时，设，，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查不等式的证明以及转化思想，是一道综合题．28.答案：解：由，消去参数，得曲线C的普通方程为，即，设曲线C上任意点的极坐标为，则，故曲线C的极坐标方程为．设，则，故，点A，B在曲线C上，则，，故，．故时，取到最大面积，为．解析：把曲线C中的参数消去，可得曲线的直角坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式可得曲线C的极坐标方程；由点A，B在曲线C上，分别求得A，B的极径，代入三角形面积公式，然后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．29.答案：解：不等式等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为；证明：由知函数的最大值是，即恒成立，因为，当且仅当时等号成立，，即得证．解析：运用零点分段讨论法求解；易知函数的最大值为1，再利用绝对值不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法及性质的运用，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础题．。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(6月)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(6月)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（6月）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|06}A x N x =∈<<，{2B =，4，6}，则(A B =I ) A ．{0，1，3，5}B ．{0，2，4，6}C ．{1，3，5}D ．{2，4}2．（5分）已知(,)a bi a b R +∈是11ii-+的共轭复数，则(a b += ) A ．1-B ．12-C ．12D ．13．（5分）已知向量(2,1)a =-r，(1,3)b =-r ，则( )A ．//a b r rB ．a b ⊥r rC ．//()a a b -r r rD ．()a a b ⊥-r r r4．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈5．（5分）设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数），则“1b =”是“()f x 为偶函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一．书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1)做统计概率得到圆周率π的近似值的方法．现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的近似值为( )A ．14(1)p -B ．11p- C ．114p- D ．41p- 7．（5分）函数2sin ()1x xf x x -=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为3(5，4)5和4(5-，3)5，则cos()αβ+的值为( )A ．2425-B ．725-C ．0D ．24259．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，则12()(f x x += )A ．1B ．12C ．2 D ．3 10．（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A ．2B ．4C ．26D ．4611．（5分）关于x 的方程2cos sin 0x x a -+=，若02x π<„时方程有解，则a 的取值范围()A ．[1-，1]B ．(1-，1]C ．[1-，0]D ．5(,)4-∞-12．（5分）已知点A 为曲线4(0)y x x x=+>上的动点，B 为圆22(2)1x y -+=上的动点，则||AB 的最小值是( ) A ．3B ．4C．D．13．已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，Q 是圆22(3)(1)1x y -+-=上的一个动点，(1,0)N 是一个定点，则||||PQ PN +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5 D114．（5分）设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，()f x ，(2),01()1,122k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩„„，其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是( ) A． B．1(3C．1[3D．1[3二、填空题本题共5小题，每小题5分，共20分．15．（5分）在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C = ．16．（5分）某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件2525.x y x y x -⎧⎪-⎨⎪<⎩…„则该校招聘的教师人数最多是 名．17．（5分）如图，圆柱1OO 中，两半径OA ，1O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1OO所成角的正切值为4，则该圆柱1OO 的体积为18．（5分）（文科）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心，以||OF 为半径的圆交双曲线C 的右支于P ，Q 两点(O 为坐标原点），OPQ ∆的一个内角为60︒，则双曲线C 的离心率的平方为 ．19．是P 为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>上的点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且212PF F F ⊥，1PF 与y 轴交于Q 点，O 为坐标原点，若四边形2OF PQ 有内切圆，则C 的离心率为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．20．（12分）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．21．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率．22．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． （Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元)．求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（Ⅰ）证明：//MN 平面1C DE ；（Ⅱ）（文科）求点C 到平面1C DE 的距离． （理科）求二面角1A MA N --的正弦值．24．（12分）（文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且△12PF F 36． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知直线:1(0)l y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围．25．（理科）已知椭圆2222:1x y M a b+=的两个焦点为1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)a b c >>>，椭圆上一动点P 到1F ，2F 距离之和为4，当P 到x 轴上的射影恰为1F 时，||OP =顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，经过点1F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S ，2S ，求12||S S -的最大值． 26．（12分）设函数2()2(,)f x lnx mx n m n R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有最大值2ln -，求m n +的最小值． 27．已知函数()()f x lnx mx m R =-∈． ()I 讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()0f x =存在两个不同的实数根1x ，2x ，证明：12()2m x x +>．二、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]28．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()222x cos y sin ααα=⎧⎨=+⎩为参数，以坐标原点为极点，xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设A ，B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 29．已知函数()|||22|f x x x =--． （1）求不等式()3f x -…的解集； （2）若a R ∈，且0a ≠，证明：1|41||1|4()a f x a-++…．2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（6月）参考答案与试题解析一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|06}A x N x =∈<<，{2B =，4，6}，则(A B =I ) A ．{0，1，3，5}B ．{0，2，4，6}C ．{1，3，5}D ．{2，4}【解答】解：{1A =Q ，2，3，4，5}，{2B =，4，6}， {2A B ∴=I ，4}．故选：D ．2．（5分）已知(,)a bi a b R +∈是11ii-+的共轭复数，则(a b += ) A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解答】解：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-，()a bi i i ∴+=--=， 0a ∴=，1b =， 1a b ∴+=，故选：D ．3．（5分）已知向量(2,1)a =-r，(1,3)b =-r ，则( ) A ．//a b r rB ．a b ⊥r rC ．//()a a b -r r rD ．()a a b ⊥-r r r【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、向量(2,1)a =-r，(1,3)b =-r ，有(2)31(1)-⨯≠⨯-，则//a b r r 不成立，A 错误； 对于B 、向量(2,1)a =-r，(1,3)b =-r ，(2)(1)130a b =-⨯-+⨯≠r r g，则a b ⊥r r 不成立，B 错误； 对于C 、向量(2,1)a =-r，(1,3)b =-r ，(1,2)a b -=--r r ，有(2)(2)1(1)-⨯-≠⨯-，则//()a a b -r r r 不成立，C 错误；对于D 、向量(2,1)a =-r，(1,3)b =-r ，(1,2)a b -=--r r ，()(2)(1)1(2)0a a b -=-⨯-+⨯-=r r r g ，则()a a b ⊥-rr r 成立，D 正确；故选：D ．4．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈【解答】解：对于A ，令()cos2y f x x ==，则()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==，为偶函数，而()cos2f x x =在[0，]2π上单调递减，在[2π，]π上单调递增，故()cos2f x x =在(1，]2π上单调递减，在[2π，2)上单调递增，故排除A ；对于B ，令2()log ||y f x x ==，x R ∈且0x ≠，同理可证()f x 为偶函数，当(1,2)x ∈时，22()log ||log y f x x x ===，为增函数，故B 满足题意；对于C ，令(),2x xe e yf x x R --==∈，()()f x f x -=-，为奇函数，故可排除C ；而D ，为非奇非偶函数，可排除D ； 故选：B ．5．（5分）设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数），则“1b =”是“()f x 为偶函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若1b =，则函数()cos sin )4f x x x x π=+=+，(0)14f π=，(0)f ≠Q∴函数图象不关于y 轴对称，函数表示偶函数；若()cos sin f x x b x =+是偶函数，则()()0f x f x --=恒成立，即cos sin cos sin 0x b x x b x ---=恒成立，则2sin 0b x =对任意实数x 恒成立． 则0b =．∴ “1b =”是“()f x 为偶函数”的既不充分也不必要条件．故选：D ．6．（5分）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一．书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1)做统计概率得到圆周率π的近似值的方法．现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的近似值为( )A ．14(1)p -B ．11p- C ．114p- D ．41p- 【解答】解：圆的半径为2cm ，面积为224S ππ=⋅=圆； 正方形边长为1cm ，面积为211S ==正方形． 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是114S S P S π-==-圆正方形圆， 则14(1)p π=-．故选：A ．7．（5分）函数2sin ()1x xf x x -=+在[π-，]π的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：22sin()()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----==-=--++Q ，∴函数()f x 为奇函数，排除选项A 和B ，而当(0,]2x π∈时，sin x x <，可得()0f x <，故选：D ．8．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为3(5，4)5和4(5-，3)5，则cos()αβ+的值为( )A ．2425-B ．725-C ．0D ．2425【解答】解：Q 点A ，B 的坐标为3(5，4)5和4(5-，3)5，4sin 5α∴=，3cos 5α=，3sin 5β=，4cos 5β=-，则344324cos()cos cos sin sin ()555525αβαβαβ+=-=⨯--⨯=-．故选：A ．9．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，则12()(f x x += )A ．1B ．12C 2D 3 【解答】解：由图象可得1A =，2()236πππω=--，解得2ω=， ()sin(2)f x x ϕ∴=+，代入点(3π，0)可得2sin()03πϕ+=∴23k πϕπ+=，23k πϕπ∴=-，k Z ∈ 又||2πϕ<，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π∴=+，sin(2)1123ππ∴⨯+=，即图中点的坐标为(12π，1)， 又12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，122126x x ππ∴+=⨯=，123()sin(2)632f x x ππ∴+=⨯+=， 故选：D ．10．（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A ．2B ．4C ．26D ．46【解答】解：作出截面图如图，则23OA =由截面圆的周长为4π，得24AB ππ=g ，则2AB =．∴2222(23)24OA AB ++=．故选：B ．11．（5分）关于x 的方程2cos sin 0x x a -+=，若02x π<„时方程有解，则a 的取值范围()A ．[1-，1]B ．(1-，1]C ．[1-，0]D ．5(,)4-∞-【解答】解：2cos sin 0x x a -+=Q ， 2sin cos a x x ∴=-2sin (1sin )x x =-- 215(sin )24x =+-；02x π<Q „，0sin 1x ∴<„，∴113sin 222x <+„， ∴2119(sin )424x <+„， 2151(sin )124x ∴-<+-„，即11a -<„．a ∴的取值范围为(1-，1]．故选：B ．12．（5分）已知点A 为曲线4(0)y x x x=+>上的动点，B 为圆22(2)1x y -+=上的动点，则||AB 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．32D ．42【解答】解：作出对勾函数4(0)y x x x=+>的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为(2,4)A ，圆心坐标(2,0)C ，半径1R =，则由图象知当A ，B ，C 三点共线时，||AB 最小，此时最小值为413-=， 即||AB 的最小值是3， 故选：A ．13．已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，Q 是圆22(3)(1)1x y -+-=上的一个动点，(1,0)N 是一个定点，则||||PQ PN +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D 21【解答】解：如图，由抛物线方程24y x =，可得抛物线的焦点(1,0)F ， 又(1,0)N ，N ∴与F 重合．过圆22(3)(1)1x y -+-=的圆心M 作抛物线的准线的垂线MH ，交圆于Q 交抛物线于P ， 则||||PQ PN +的最小值等于||13MH -=． 故选：A ．14．（5分）设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩„„，其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2(0,) B ．12(,)3C ．12[,)3D ．12[,]3【解答】解：作出函数()f x 与()g x 的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122g x x =-<„，34x <„，56x <„，78)x <„仅有2个实数根；要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1)f x x =--(0x ∈，2]与()(2)g x k x =+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)4k k =>， Q 两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k =，∴13k <„． 即k 的取值范围为1[3．故选：C ．二、填空题本题共5小题，每小题5分，共20分．15．（5分）在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C = 14- ．【解答】解：在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =， 利用正弦定理化简得：::2:3:4a b c =， 设2a k =，3b k =，4c k =，222222249161cos 2124a b c k k k C ab k +-+-∴===．故答案为：14-．16．（5分）某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件2525.x y x y x -⎧⎪-⎨⎪<⎩…„则该校招聘的教师人数最多是 7 名．【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，且x 和y 须满足约束条件2525.x y x y x -⎧⎪-⎨⎪<⎩…„，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z x y y x z =+⇔=-+ 则题意转化为，在可行域内任意去x ，y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值1-，截距最大时的直线为过4(4,3)250x x y =⎧⇒⎨--=⎩时使得目标函数取得最大值为：7z =． 故答案为：7．17．（5分）如图，圆柱1OO 中，两半径OA ，1O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1OO 所成角的正切值为2，则该圆柱1OO 的体积为 4π【解答】解：过B 作BC ⊥底面O ，交底面圆O 于点C ，连结OC ， Q 圆柱1OO 中，两半径OA ，1O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1OO 2， OA OC ∴⊥，22112AC =+=，1//OO BC =，ABC ∴∠是异面直线AB 与1OO 所成角，22tan 4AC ABC BC BC ∴∠===，14OO BC ∴==， ∴该圆柱1OO 的体积：214V r OO ππ==g ． 故答案为：4π．18．（5分）（文科）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心，以||OF 为半径的圆交双曲线C 的右支于P ，Q 两点(O 为坐标原点），OPQ ∆的一个内角为60︒，则双曲线C 的离心率的平方为827+ ． 【解答】解：如图所示OP OQ =，且OPQ ∆的一个内角为60︒， 则OPQ ∆为等边三角形，OP PQ ∴=，设圆与x 轴交于G ，连接PF ，PG ，则90OPG ∠=︒， 由30POG ∠=︒，可得60OGP ∠=︒， 可得PG PF FG c ===，由2OG c =，可得3OP c =，3PQ c =，则3PH =， 可得32OH c =，故3(2P c 3)，又P 为双曲线上一点，∴222293144c c a b -=，由222b c a =-，ce a=，且1e >，可得4291640e e -+=， 解得2827e + 827+．19．是P 为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>上的点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且212PF F F ⊥，1PF 与y 轴交于Q 点，O 为坐标原点，若四边形2OF PQ 有内切圆，则C 的离心率为 2 ． 【解答】解：1(,0)F c -，2(,0)F c ，2(,)b P c a，直线1PF 的方程为2222b b y x ac a=+，即2220b x acy b c -+=， 四边形2OF PQ 的内切圆的圆心为(2c M ，)2c ，半径为2c，M ∴到直线1PF 的距离222243||224b cac c d a c b -==+， 化简得：249120b abc b --=， 令1b =可得23ac =，又221c a -=，3a ∴=，3c =． 2ce a∴==． 故答案为：2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．20．（12分）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．【解答】解：（1）数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-．由n n b a n =+，那么111n n b a n ++=++，∴1112112n n n n n n b a n a n n b a n a n+++++-++===++； 即公比2q =，1112b a =+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得2n n b =，2n n a n ∴+=那么数列{}n a 的通项公式为：2n n a n =-数列{}n a 的前n 项和为232122232n n S n =-+-+-+⋯⋯+-2121(222)(123)2222n n n nn +=++⋯⋯-+++⋯⋯+=---．21．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率．【解答】解：()I 甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．⋯⋯（4分） ()II 从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中． ⋯⋯（8分）()III 甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a ，b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c ，d ，e现从甲乙两位同学的不低于14（0分）的成绩中任意选出2个成绩有：(,)a b ，(a ，)(c a ，)(d a ，)(e b ，)(c b ，)(d b ，)(e c ，)(d c ，)(e d ，)e 共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：(a ，)(c a ，)(d a ，)(e b ，)(c b ，)(d b ，)e 共6种因此事件A 发生的概率P （A ）63105==．⋯⋯（12分） 22．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． （Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元)．求随机变量X 的分布列和数学期望．【解答】解：设指针落在A ，B ，C 区域分别记为事件A ，B ，C ． 则111(),(),()632P A P B P C ===．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域．∴111()()632P P A P B =+=+= 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次． 随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120． 111(0)224P X ==⨯=；111(30)2233P X ==⨯⨯=；11115(60)2263318P X ==⨯⨯+⨯=；111(90)2369P X ==⨯⨯=；111(120)6636P X ==⨯=． 所以，随机变量X 的分布列为：X 0 30 60 90 120 P141351819136其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．23．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（Ⅰ）证明：//MN 平面1C DE ；（Ⅱ）（文科）求点C 到平面1C DE 的距离． （理科）求二面角1A MA N --的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结1B C ，ME ，M Q ，E 分别是1BB ，BC 的中点，1//ME B C ∴，且112ME B C =，N Q 为1A D 的中点，112ND A D ∴=， 由题设知11//A B DC =，11//B C A D =∴，//ME ND =∴，∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN ED ，MN ⊂/Q 平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ．（Ⅱ）（文科）解：过C 作1C E 的垂线，垂足为H ，由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，DE ∴⊥平面1C CE ， DE CH ∴⊥，CH ∴⊥平面1C DE ， CH ∴的长为C 到平面1C DE 的距离，由已知得1CE =，14C C =，∴1C E =CH ∴， ∴点C 到平面1C DE（Ⅱ）（理科）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(2A ，0，0)，(1M2)，1(2A ，0，4)，(1N ，0，2)， (1MA =u u u r，2)-，1(1MA =u u u u r，2)，(0MN =u u u u r，0)，设二面角1AMA 的法向量(n x =r，y ，)z ，则12020n MA x z n MA x z ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g，取x =n =r 1，0)， 设平面1MA N 的法向量(m a =r，b ，)c ，则1200m MA a c m MN ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u u r r g u u u u r r g ，取2a =，得(2m =r ，0，1)-，cos ,||||m n m n m n <>===r rg r rr r g ，∴二面角1A MA N --=．24．（12分）（文科）已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且△12PF F 36． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知直线:1(0)l y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由△12PF F 3周长为6．可得2221232226c b a c c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩g g ，解得：24a =，23b =所以椭圆的方程为：22143x y +=； 离心率12c e a ==；（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线l 与椭圆的方程：221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得22(34)880k x kx ++-=，122834kx x k +=-+，121226()234y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点坐标为：24(34k k -+，23)34k+， 所以线段AB 的中垂线的方程为：2234()3434k x k y k k =---++，令0y =，可得234kx k -=+， 所以由题意可得234km k =-+，因为0k >，所以134m k k=-+，因为0k >，所以3423443k k+⨯=…，所以30m >-…， 所以实数m 的取值范围3[-，0)．25．（理科）已知椭圆2222:1x y M a b+=的两个焦点为1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)a b c >>>，椭圆上一动点P 到1F ，2F 距离之和为4，当P 到x 轴上的射影恰为1F 时，13||OP =顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，经过点1F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S ，2S ，求12||S S -的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得：24a =，即2a =，由题意可得21||b PF a=，所以22211||||||OP PF OF =+，由题意可得422134b c a=+，2a =，22224c a b b =-=-，解得：21b =或3，由a b c >>，可得23b =，所以椭圆的M 的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得(2,0)A -，(2,0)B ，左焦点1(1,0)F -，由题意可得直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为：1x my =-，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线与椭圆联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(43)690m y my +--=，122643my y m +=+，122943y y m -=+，121212211|6|||||||||||4||22243m S S AB y y y y m -=-=⨯+=+g g g， 当0m =时12||0S S -=， 当0m ≠，所以1212||3443||23||||||S S m m m m -==+g „，当且仅当43||||m m =时取等号，即23m =±取等号； 所以12||S S -的最大值为3．26．（12分）设函数2()2(,)f x lnx mx n m n R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有最大值2ln -，求m n +的最小值．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2114()4mx f x mx x x-'=-=，当0m „时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增； 当0m >时，解()0f x '>得02x m<，()f x ∴在m 上单调递增，在()m+∞上单调递减． （2）由（1）知，当0m >时，()f x 在m 上单调递增，在()m+∞上单调递减．∴111()222422max f x f m n ln lnm n ln m ==--=----=-g ， ∴1122n lnm =--，∴1122m n m lnm +=--，令11()22h m m lnm =--，则121()122m h m m m -'=-=， ()h m ∴在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，∴11()()222min h m h ln ==，m n ∴+的最小值为122ln ．27．已知函数()()f x lnx mx m R =-∈． ()I 讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()0f x =存在两个不同的实数根1x ，2x ，证明：12()2m x x +>． 【解答】解：（Ⅰ）11()mxf x m x x-'=-=，0x >． 当0m >时， 由10mx ->，解得1x m<，即当10x m <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，由10mx -<，解得1x m >，即当1x m>时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当0m =时，1()0f x x'=>，即()f x 在区间(0,)+∞内单调递增； 当0m <时，10mx ->，故()0f x '>，即()f x 在区间(0,)+∞内单调递增． 综上，当0m >时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m，单调递减区间为1(m ，)+∞；当0m „时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．（Ⅱ）方程()0f x =存在两个不同的实数根1x ，2x 和（Ⅰ）知0m >， 且()f x 在1(0,)m递增，在1(m ，)+∞递减，∴不妨设1210x x m <<<，要证12()2m x x +>，即证122x x m+>， ①当22x m…时，显然成立，②当22x m <时，此时12120x x m m<<<<， 设2()()()F x f x f x m=--，2(0,)x m ∈，则212()211()()()022()m x m F x f x f x m m m x x x x m m-'='-'-=-+-=>--，()F x ∴在2(0,)m 上递增，且1()0F m=， 11()()0F x F m ∴<=，即112()()f x f x m<-，又12()()f x f x =，212()()f x f x m∴<-， 11x m <Q ，∴121x m m->， 又()f x 在1(m，)+∞递减， 212x x m∴>-， 即122x x m+>即12()2m x x +>． 二、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]28．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()222x cos y sin ααα=⎧⎨=+⎩为参数，以坐标原点为极点，xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设A ，B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．【解答】解：（1）由()222x cos y sin ααα=⎧⎨=+⎩为参数，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=， 设曲线C 上任意点的极坐标为(,)ρθ，则24sin ρρθ=， 故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）设1(A ρ，)θ，则2(,)4B πρθ+，故3(0,)4πθ∈，Q 点A ，B 在曲线C 上，则14sin ρθ=，24sin()4πρθ=+，故1||||sin sin()24AOB S OA OB AOB πθθ∆=∠=+24(sin sin cos )2sin 22cos22)24πθθθθθθ=+=-+=-+，3(0,)4πθ∈．故38πθ=时，OAB ∆取到最大面积，为2． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 29．已知函数()|||22|f x x x =--． （1）求不等式()3f x -…的解集； （2）若a R ∈，且0a ≠，证明：1|41||1|4()a f x a-++…． 【解答】解：（1）不等式()3f x -…等价于0223x x x <⎧⎨-+--⎩…或01223x x x <⎧⎨+--⎩„…或1223x x x ⎧⎨-+-⎩……， 解得10x -<„或01x <„或15x 剟， 所以不等式的解集为{|15}x x -剟；（2）证明：由（1）知函数()f x 的最大值是f （1）1=，即()1f x „恒成立， 因为1111|41||1||411||4||4|4||a a a a a a a a -++-++=+=+厖，当且仅当12a =±时等号成立，1|41||1|4()a f x a∴-++…，即得证．。

2021年青海省西宁市大通县高考数学三模试卷(理科)(附答案详解)

2021年青海省西宁市大通县高考数学三模试卷(理科)(附答案详解)

2021年青海省西宁市大通县高考数学三模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2020·安徽省合肥市·单元测试)已知集合A={x|−4<−x≤3}，B={x|(x−2)(x+5)<0}，则A∩B=()A. (−5,4)B. (−3,2)C. (2,4)D. [−3,2)2.(2021·全国·模拟题)已知复数z=2−i3−i(i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，|a⃗−2b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =()A. 32B. 74C. −32D. −744.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的实轴长为1，则其渐近线方程为()A. y=±xB. y=±√2xC. y=±12x D. y=±2x5.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)如图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水(水滴的大小忽略不计)，则水滴正好落人孔中的概率是()A. 2πB. 1πC. 12πD. 14π6.(2018·贵州省·月考试卷)已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)与g(x)=A2cosωx的部分图象如图所示，则()A. A=1，ω=3πB. A=2，ω=π3C. A=1，ω=π3D. A=2，ω=3π7.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x，则f(x)的值域为()A. [−1,1]B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (−1,1)D. (−1,0)∪(0,1)8.(2021·江西省·模拟题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 11+√22π+1B. (6+√2)π+1C. 11+√22π+12D. (6+√2)π+129.(2018·贵州省·月考试卷)若x，y满足约束条件{x−y+1≥03x+2y−6≤0y+2≥0x∈Z，则z=12x+3y的最大值为()A. 15B. 30C. 632D. 3410.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)若tanα，tanβ是方程x2−2x−4=0的两根，则|tan(α−β)|=()A. 2√53B. 43C. 4√53D. 2√511.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)设a=log30.4，b=log23，则()A. ab>0且a+b>0B. ab<0且a+b>0C. ab>0且a+b<0D. ab<0且a+b<012.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)设A1，A2，B1分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H.若H到x轴的距离为169|OD|，则C的离心率为()A. √24B. √33C. √22D. √36二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)(√x−y2)5的展开式xy3的系数为______ ．14.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)曲线y=−x3在点(1,−1)处的切线方程为______．15.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，c=9，sinAsinC=sin2B，则cosB=______．16.(2021·广西壮族自治区桂林市·单元测试)已知A，B，C，P四点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的体积为8√6π，则异面直线PB与AC所成角的正切值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)设S n为数列{a n}的前n项和，S n=2n2+5n．(1)求证：数列{3a n}为等比数列；(2)设b n=2S n−3n，求数列{na nb n }的前n项和Tn．18.(2021·河南省郑州市·单元测试)如图，在各棱长均为4的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为棱BB1上一点，且BE=3EB1．(1)求证：平面ACE⊥平面BDD1B1；(2)求二面角C−AE−B的余弦值．19.(2020·河北省·单元测试)某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分，绘制如下频率分布直方图(分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有340人．(1)求表中a的值及不满意的人数；(2)在等级为不满意的师生中，老师占1，现从该等级师生中按分层抽样抽取12人3了解不满意的原因，并从中抽取3人担任整改督导员，记X为老师整改督导员的人数，求X的分布列及数学期望．20.(2021·全国·模拟题)已知p>0，抛物线C1：x2=2py与抛物线C2：y2=2px异于原点O的交点为M，且抛物线C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．(1)若直线y =x +1与抛物线C 1交于点P ，Q ，且|PQ|=2√6，求抛物线C 1的方程； (2)证明：△BOC 的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值．21. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=(a −1)x −1x +1−alnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)在x =2处取得极值，求a 的值并确定f(x)在x =2处是取得极大值还是极小值；(2)若f(x)>−1x +1对x ∈(0,+∞)恒成立，求a 的取值范围．22. (2020·河南省开封市·单元测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =2cosϕy =sinϕ(φ为参数) (1)将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ−2sinθ)=4，若C 1上的点P 对应的参数为θ=π2，点Q 上在C 2，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．23.(2021·河南省新乡市·单元测试)已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=|x−1|−|x+3|．(1)求不等式g(x)≤3的解集；(2)若关于x的不等式f(m)+m≤g(x)的解集非空，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【知识点】一元二次不等式的解法、交集及其运算【解析】解：A ={x|−3≤x <4}，B ={x|−5<x <2}； ∴A ∩B ={x|−3≤x <2}=[−3,2)． 故选：D ．先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．2.【答案】A【知识点】复数的代数表示及其几何意义 【解析】解：复数z =2−i3−i =(2−i)(3+i)(3−i)(3+i)=6−(−1)+2i−3i10=710−110i ，则z −=710+110i 在复平面内对应的点(710,110)位于第一象限． 故选：A ．化简复数z ，然后求出z 的共轭复数，再得到z −在复平面内对应的点所在的象限． 本题考查了复数的运算法则、复数几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【知识点】向量的数量积【解析】解：∵|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −2b ⃗ |=√10，∴10=(a ⃗ −2b ⃗ )2=a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=17−4a ⃗ ⋅b ⃗ ， 则a⃗ ⋅b ⃗ =74 故选：B ．由|a ⃗ −2b ⃗ |=√10，结合向量数量积的性质即可求解．本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4.【答案】D【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：双曲线x2a2−y2=1(a>0)的实轴长为1，可得a=12，则双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故选：D．利用双曲线的实轴长求出a，然后求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】D【知识点】与面积有关的几何概型、几何概型【解析】解：利用面积型几何概型公式可得，圆形铜片的面积S=4π，中间方孔的面积为S=1，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为p=14π．故选：D．利用题意将原问题转化为面积比值的问题，据此整理计算即可求得最终结果．本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．6.【答案】B【知识点】函数图象的作法、正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：由图象可知，12A=1，T4=1.5，∴A=2，T=6，又6=T=2πω，∴ω=13π，故选：B．结合图象可知，12A=1，T4=1.5，然后再由周期公式即可求解ω本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．7.【答案】C【知识点】函数的奇偶性【解析】解：当x<0时，f(x)=2x∈(0,1)，∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，则当x>0时，f(x)∈(0,1)，综上f(x)∈(−1,1)，即函数的值域为(−1,1)，故选：C．根据奇函数的对称性的性质进行求解即可．本题主要考查函数值域的求解，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8.【答案】A【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．该几何体的表面积S=12×2×1+√22π+32π+4π=11+√22π+1．故选：A．由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．本题考查了三视图，空间想象与运算能力，属于简单题．9.【答案】C【知识点】简单线性规划、最优解问题【解析】解：画出不等式组{x−y+1≥03x+2y−6≤0 y+2≥0，表示的可行域，又x∈Z，由x=3时，y=−32，则当直线z=12x+3y经过点(3,−32)时，z取得最大值632．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.【答案】A【知识点】两角和与差的三角函数公式【解析】解：∵tanα，tanβ是方程x2−2x−4=0的两根，∴tanα+tanβ=2，tanα⋅tanβ=−4，解得tanα=1+√5，tanβ=1−√5；或tanα=1−√5，tanβ=1+√5；∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=±2√53=±2√53， ∴|tan(α−β)|=2√53， 故选：A ．利用韦达定理求得tanα+tanβ和tanα⋅tanβ的值，可得tanα和tanβ的值，再利用两角差的正切公式求得tan(α−β)的值，可得结论．本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题．11.【答案】B【知识点】不等式性质、对数与对数运算、对数函数及其性质 【解析】解：∵13<0.4<1； ∴−1<log 30.4<0； 又log 23>1；即−1<a <0，b >1； ∴ab <0，a +b >0． 故选：B ．容易得出−1<log 30.4<0，log 23>1，即得出−1<a <0，b >1，从而得出ab <0，a +b >0．考查对数函数的单调性以及不等式性质，属于基础题．12.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：直线A 1D 的方程为y =b2a (x +a)，直线A 2H 的方程为y =−2a b(x −a)，联立{y =b2a (x +a)y =−2a b(x −a)，得y =4a 2b4a 2+b 2． ∵169|OD|=169×b 2=8b9，∴4a 2b 4a 2+b 2=8b 9，∴a 2=2b 2， 则e =√1−b 2a 2=√22．故选：C ．由题意画出图形，分别写出A 1D ，A 2H 的方程，联立求得H 的坐标，再由H 到x 轴的距离为169|OD|列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.【答案】−54【知识点】二项式定理【解析】解：∵(√x −y2)5的表示5个因式(√x −y2)的乘积，故有3个因式取−y2，其余的2个因式都取√x ，可得展开式含xy 3的项，故展开式xy 3的系数为C 53⋅(−12)3=−54， 故答案为：−54．由题意利用乘方的几何意义，排列组合的知识，求得结果． 本题主要考查乘方的几何意义，排列组合的知识，属于中档题．14.【答案】y =−3x +2【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、导数的几何意义 【解析】解：y′=−3x 2 y′|x=1=−3而切点的坐标为(1,−1)∴曲线y =−x 3在(1,−1)的处的切线方程为y =−3x +2． 故答案为：y =−3x +2．根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】6172【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】解：∵a =4，c =9，sinAsinC =sin 2B ， ∴由正弦定理可得：b 2=ac =4×9=36， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =42+92−362×4×9=6172．故答案为：6172．由已知及正弦定理可得b2=ac=36，进而根据余弦定理可求cos B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】3【知识点】球的表面积和体积、异面直线所成角、余弦定理【解析】【分析】本题考查球体的相关计算，同时也考查了异面直线所成的角的定义，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．作出图形，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、ME、NE、AE，利用中位线得出异面直线PB与AC所成角为∠MNE或其补角，计算出△MNE各边边长，利用余弦定理求出∠MNE的余弦值，并得出其正弦值，从而得出该角的正切值，从而得出答案．【解答】πR3=8√6π，解得R=√6．解：设球O的半径为R，则43如下图所示，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、ME、NE、AE，易知PC=2R=2√6，且PA⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴AC=√AB2+BC2=2√5，∴PA=√PC2−AC2=2，PB=√PA2+AB2=2√2，∵M、N分别为PA、AB的中点，所以，MN//PB，PB=√2，且MN=12AC=√5，同理，可得NE//AC，且NE=12AE=√AB2+BE2=√22+22=2√2，∴ME=√AM2+AE2=3，∵MN//PB，NE//AC，则异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，在△MNE 中，MN =√2，ME =3，NE =√5， 由余弦定理得 cos∠MNE =MN 2+NE 2−ME 22MN⋅NE=−√1010， ∴sin∠MNE =√1−cos 2∠MNE =3√1010， ∴tan∠MNE =sin∠MNEcos∠MNE =−3．因此，异面直线PB 与AC 所成角的正切值为3． 故答案为：3．17.【答案】证明：(1)∵S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2n 2+5n ，∴a 1=S 1=2×12+5×1=7，a n =S n −S n−1=(2n 2+5n)−[2(n −1)2+5(n −1)]=4n +3， 当n =1时，4n +3=7=a 1， ∴a n =4n +3， ∴3a n =34n+3， ∴3a n 3a n−1=34n+334n−1=34=81，∴数列{3a n }为等比数列．解：(2)b n =2S n −3n =4n 2+10n −3n =4n 2+7n ， ∴n a n b n=n(4n+3)(4n 2+7n)=1(4n+3)(4n+7)=14(14n+3−14n+7)，∴数列{na nb n }的前n 项和：T n =14(17−111+111−115+⋯+14n +3−14n +7)=14(17−14n+7)．【知识点】数列求和方法【解析】(1)利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，求出a n =4n +3，从而3a n =34n+3，由此能证明数列{3a n }为等比数列． (2)求出b n =4n 2+7n ，从而nan b n=n (4n+3)(4n 2+7n)=1(4n+3)(4n+7)=14(14n+3−14n+7)，由此利用裂项求和法能求出数列{na nb n }的前n 项和．本题考查等比数列证明，考查数列的前n 项和的求法，考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】(1)证明：∵底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ．在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，∴BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC ．∵BB 1∩BD =B ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1， 又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BDD 1B 1．(2)解：设AC 与BD 交于点O ，A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，以O 为原点，OA 、OB 、OO 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示，则A(2√3,0,0)，C(−2√3,0,0)，E(0,2，3)，D 1(0,−2.4)，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√3,0,0)，ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,1)， 设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面ACE 的法向量， 则{AE ⋅n ⃗ =−2√3x 1+2y 1+3z 1=0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−4√3x 1=0， 取z 1=2，则n⃗ =(0,−3,2)． 取AB 的中点F ，连接DF ，则DF ⊥AB ，易证DF ⊥平面ABE ，从而平面ABE 的一个法向量为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)． ∴cos〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=−3√3926， ∴由图可知，二面角C −AE −B 为锐角，二面角C −AE −B 的余弦值为3√3926．【知识点】立体几何综合题（探索性问题、轨迹问题等）、面面垂直的判定【解析】(1)证明AC ⊥BD.BB 1⊥AC.得到AC ⊥平面BDD 1B 1，然后证明平面ACE ⊥平面BDD 1B 1．(2)以O 为原点，OA 、OB 、OO 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面ACE 的法向量，取AB 的中点F ，连接DF ，则DF ⊥AB ，求出平面ABE 的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解二面角C −AE −B 的余弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查计算能力．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知：a =110−(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036， 设不满意人数为x ，则(0.002+0.004)：(0.016+0.018)=x ：340， 解得x =60．(2)按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，则X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 83C 123=1455，P(X =1)=C 41C 82C 123=2855，P(X =2)=C 42C 81C 123=1255，P(X =3)=C 43C 123=155， 则X 的分布列为：故E(X)=1×2855+2×1255+3×155=1．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】本题考查随机变量的分布列，期望的求法，考查分析问题解决问题的能力． (1)利用频率分布直方图求出频率，然后求解不满意人数为x ．(2)按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，求出X 的可能取值为0，1，2，3，求解概率得到X 的分布列然后求解期望．20.【答案】解：(1)由{y =x +1x 2=2py，得x 2−2px −2p =0， 设P ，Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=2p ，x 1x 2=−2p ，所以|PQ|=√1+12⋅√(2p)2−4(−2p)=2√6， 因为p >0，所以p =1， 所以抛物线C 1的方程为x 2=2y ．(2)证明：由{y 2=2pxx 2=2py ，得x =y =2p 或x =y =0，则M(2p,2p)，设直线AM 的方程为：y −2p =k 1(x −2p)， 与x 2=2py 联立得x 2−2pk 1x −4p 2(1−k 1)=0，由△1=4p 2k 12+16p 2(1−k 1)=0，得(k 1−2)2=0，所以k 1=2，设直线BM 的方程为y −2p =k 2(x −2p)，与y 2=2px 联立，得k 22y 2−2py −4p 2(1−k 2)=0，由△2=4p 2+16p 2k 2(1−k 2)=0，得(1−2k 2)2=0， 所以k 2=12，所以直线AM 的方程为y −2p =2(x −2p)， 直线BM 的方程为y −2p =12(x −2p)，所以A(p,0)，B(−2p,0)，C(0,p)，所以S△BOC=p2，S△ABM=3p2，所以△BOC的面积与四边形AOCM的面积比为p 23p2−p2=12(为定值)．【知识点】直线与抛物线的位置关系【解析】(1)设P，Q的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，联立直线y=x+1与抛物线的方程，结合韦达定理得x1+x2，x1x2，由弦长公式可得|PQ|=√1+12⋅√(2p)2−4(−2p)= 2√6，化简即可得出答案．(2)联立抛物线C1，C2的方程，解得M点坐标，设直线AM的方程为：y−2p=k1(x−2p)，联立抛物线C1的方程，由△1=0，得k1=2，同理设直线BM的方程为y−2p=k2(x−2p)，联立抛物线C2的方程，由△2=0，得k2，写出直线AM，BM的方程，进而可得A，B，C点坐标，再计算△BOC的面积与四边形AOCM的面积比为p23p2−p2，即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=(a−1)x−1x+1−alnx，x>0∴f′(x)=a−1+1x2−ax=(a−1)x2−ax+1x2=[(a−1)x−1](x−1)x，令f′(x)=0，解得x=1或x=1a−1，∵函数f(x)在x=2处取得极值，∴1a−1=2，解得a=32，当x∈(0,1)，或(2,+∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈(1,2)时，f′(x)<0，函数单调递减，∴f(x)在x=2处是取得极小值，(2)∵f(x)>−1x+1对x∈(0,+∞)恒成立，∴(a−1)x−1x +1−alnx>−1x+1，∴a(x−lnx)>x，在x∈(0,+∞)恒成立，∵x−lnx>0恒成立，∴a>xx−lnx，在x∈(0,+∞)恒成立，∴a>0，∴1a <x−lnxx=1−lnxx，设g(x)=1−lnx x，∴g′(x)=lnx−1x 2，令g′(x)=0，解得x =e ，当x >e 时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 当0<x <e 时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴g(x)min =g(e)=1−1e =e −1e∴1a <e−1e ，∴a >ee−1，故a 的取值范围为(ee−1,+∞)【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的极值 【解析】(1)先求导，根据导数和函数的单调性关系和极值的关系即可求出， (2)f(x)>−1x +1对x ∈(0,+∞)恒成立，转化为1a<1−lnx x，设g(x)=1−lnx x，求导，求出函数的最小值，即可求出a 的范围本题考查了导数和函数的极值和最值的关系，以及函数恒成立的问题，考查了转化能力和运算能力，属于难题22.【答案】解：(1)∵曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，∴曲线C 1消去参数θ，得到C 1的普通方程为x 2+(y −1)2=1， 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， ∵曲线C 2的参数方程为{x =2cosϕy =sinϕ(φ为参数)，∴曲线C 2消去参数φ，能求出C 2的普通方程为x 24+y 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．(2)由已知得P(0,2)，设Q(2cosθ,sinθ)，则M(cosθ,1+12sinθ)， 直线l ：x −2y −4=0，点M 到直线l 的距离为d =√5=|√2sin(θ+π4)−6|√5，所以6√5−√105≤d ≤√10+6√56， 故M 到直线l 的距离的最小值为6√5−√105．【知识点】参数方程、曲线的参数方程、简单曲线的极坐标方程【解析】(1)曲线C1的参数方程消去参数θ，能求出C1的普通方程及其表示的曲线；曲线C2的参数方程消去参数φ，能求出C2的普通方程及其表求的曲线．(2)P(0,2)，设Q(2cosθ,sinθ)，则M(cosθ,1+12sinθ)，直线l：x−2y−4=0，点M到直线l的距离为d=√5=|√2sin(θ+π4)−6|√5，由此能求出M到直线l的距离的最小值．本题考查曲线的普通方程的求法及其表示图形的判断，考查点到直线距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．23.【答案】解：（1）g（x）={4,x<−3−2x−2,−3≤x≤1−4,x>1，当x＜-3时，g（x）≤3，无解；当-3≤x≤1时，由-2x-2≤3，得-52≤x≤1；当x＞1时，-4≤3恒成立．所以g（x）≤3的解集为{x|x≥-52}；（2）由f（m）+m≤g（x）有解，得m2+3m≤|x-1|-|x+3|有解，而|x-1|-|x+3|≤|x-1-（x+3）|=4，所以，m2+3m≤4，解得：-4≤m≤1，所以m的取值范围是[-4，1]．【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】本题考查了绝对值不等式的解法．属中档题．（1）分三段去绝对值解不等式后，再相并；（2）不等式有解的口诀：大于最小，小于最大．。

2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)

2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)

2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，0}D. {0}3.已知向量=（，||=，且⊥（-），则（+）•（-3）=（）A. 15B. 19C. -15D. -194.已知平面α⊥平面β，交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，则下列命题错误的是（）A. 若a∥b，则a∥l或b∥lB. 若a⊥b，则a⊥l且b⊥lC. 若直线a，b都不平行直线l，则直线a必不平行直线bD. 若直线a，b都不垂直直线l，则直线a必不垂直直线b5.给出下列四个命题：①命题p：；②的值为0；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ＜3）=0.9772．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A. -20B. 20C.D. 607.设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A. B.C. D.8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A.B. 8πC. 6πD.9.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. f（x）=4sin（x+π）B. f（x）=4sin（x+）C. f（x）=4sin（x+）D. f（x）=4sin（x+）10.已知命题p：若a＞2且b＞2，则a+b＜ab；命题q：∃x＞0，使（x-1）•2x=1，则下列命题中为真命题的是（）A. p∧qB. （￢p）∧qC. p∧（￢q）D. （￢p）∧（￢q）11.点P在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D. 512.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形．在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=______．14.已知递减等差数列{a n}中，a3=-1，a4为a1，-a6等比中项，若S n为数列{a n}的前n项和，则S7的值为______．15.如图，在△ABC中，=，P是线段BD上一点，若=m+，则实数m的值为______．16.若函数f（x）=1+|x|+，则f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，2B=A+C，且c=2a．（1）求角A，B，C的大小；（2）设数列{a n}满足，前n项和为S n，若S n=20，求n的值．18.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄x2832384248525862收缩压y（单位114118122127129135140147 mmHg）其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19.在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，腰长为2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B-ADEC，且F为棱BC中点，BA=．（1）求证：EF⊥平面BAC；（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q-BE-A 的余弦值，若不存在，请说明理由．20.椭圆C：的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x0，y0）（y0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP分别交直线l：x=6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21.已知函数f（x）=x2+（1-x）e x（e为自然对数的底数），g（x）=x-（1+a）ln x-，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[-1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ；（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交点分别为A，B，点P（1，0），求的值．23.已知函数f（x）=|2x-4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B={x|x2-3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：=i（1+i）=-1+i，对应复平面上的点为（-1，1），在第二象限，故选：B．先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：D解析：解：∵集合A={x|≤0}={x|-1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0}．故选：D．集合A={x|≤0}={x|-1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，A∩B．本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：D解析：解：向量=（，||=，且⊥（-），可得，，（+）•（-3）==-=-4-15=-19．故选：D．利用向量的垂直以及向量的模，数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的求法，向量的模，考查转化思想以及计算能力．4.答案：B解析：解：由平面α⊥平面β，交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，知：若a∥b，则a∥l且b∥l，故A正确；若a⊥b，则a与l不一定垂直且b与l不一定垂直，故B错误；若直线a，b都不平行直线l，则由平行公理得直线a必不平行直线b，故C正确；若直线a，b都不垂直直线l，则由线面垂直的性质得直线a必不垂直直线b，故D正确．故选：B．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.答案：B解析：解：①命题p的￢p：∃x＞2，x2-1≤0；故①错误，②=（2x-cos x）|=2π-cosπ-（-2π-cos（-π））=2π+1-（-2π+1）=4π；故②错误；③若f（x）=x2-ax+1为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2+ax+1=x2-ax+1，即ax=-ax，则a=-a，即a=0，则f（x）=x2+1，则f（1）=2，f′（x）=2x，则f′（1）=2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-2=2（x-1），即y=2x，故③正确．④已知随机变量ξ～N（1，1），若P（-1＜ξ＜3）=0.9544，则P（ξ≥3）=P（ξ≤-1）=（1-P（-1＜ξ＜3））=（1-0.9544）=0.0228，则P（ξ＜3）=1-P（ξ≥3）=1-0.228=0.9772，故④正确，故正确的命题是③④，共两个，故选：B．①根据全称命题的否定是特称命题进行判断②根据积分的定义和公式进行计算③根据偶函数的定义先求出a=0，然后结合导数的几何意义进行求解判断④根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．6.答案：A解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下：i=0，s=1，i=1，i＜4，是，s==-1；i=2，2＜4，是，s==3；i=3，3＜4，是，s==；i=4，4＜4，否，退出循环，输出s的值为．∴二项式（-）6的展开式的通项是T r+1=•（）6-r•（-）r=（-1）r••（）6-2r•x3-r；令3-r=0，得r=3；∴常数项是T4=（-1）3••（）0=-20．故选：A．模拟程序框图的运行过程，求出输出S的值，再求二项式的展开式中常数项的系数值．本题考查了程序框图的应用以及二项式定理的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，并利用二项式的通项公式进行计算，属于基础题．7.答案：D解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，-1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点（-1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了空间几何体三视图以及表面积的计算问题，是基础题．由三视图得出该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，结合图中数据求出三棱柱的外接球的半径，然后求解表面积．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边长为2，高为1，棱柱的高为2．设底面外接圆半径为r，则r=1，三棱柱外接球的半径是，故外接球的半径为：．所以三棱柱外接球的表面积为：4=8π．故选：B．9.答案：B解析：解：根据题意，对函数f（x）=A sin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωA cos（ωx+φ），由导函数的图象可得A=2，再由=•=-（-），求得ω=．则Aω=2，即A=4，∴导函数f′（x）=2cos（x+φ），把（，0）代入得：2cos（+φ）=0，且|φ|＜π，解得φ=，故函数f（x）的解析式为f（x）=4sin（x+）．故选：B．对函数f（x）=A sin（ωx+φ）求导，可得f′（x），由导函数f′（x）的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，从而求得函数的解析式．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，从而求得函数的解析式，属于中档题．10.答案：A解析：解：若a＞2且b＞2，则＜且＜，得+＜1，即＜1，从而a+b＜ab，∴命题p为真．∵直线y=x-1与函数y=的图象在（0，+∞）内有唯一交点，则方程x-1=有正数解，即方程（x-1）•2x=1有正数解，∴命题q为真，∴p∧q为真命题．故选：A．利用基本不等式的性质判断p为真命题，由直线y=x-1与函数y=的图象在（0，+∞）内有唯一交点，可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查基本不等式的应用，考查函数零点的判定方法，是中档题．11.答案：D解析：解：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=d，a=d，故离心率e==5．故选：D．设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=d，a=d，由离心率公式计算即可得到．本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．12.答案：B解析：解：正三角形的边长为1，则圆的半径为1，三角形对应的扇形面积为=，正三角形的面积S==，则一个弓形面积S=-，则整个区域的面积为3（-）+=-，则在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是=，故选：B．设正三角形的边长为1，求出正三角形的面积以及弓形面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应图形的面积是解决本题的关键．13.答案：解析：解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X=3）=C36（）3×（1-）3=．故答案为：．根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x=3，代入公式得到要求的概率．本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14.答案：-14解析：解：设递减等差数列{a n}的公差d＜0，a3=-1，a4为a1，-a6等比中项，∴a1+2d=-1，=-a6×a1，即=-（a1+5d）×a1，联立解得：a1=1，d=-1．则S7=7-=-14．故答案为：-14．设递减等差数列{a n}的公差d＜0，a3=-1，a4为a1，-a6等比中项，可得a1+2d=-1，=-a6×a1，即=-（a1+5d）×a1，联立解出即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：∵；∴；又；∴；∵B，P，D三点共线；∴；∴．故答案为：．根据即可得出，代入即可得到，这样再根据B，P，D三点共线即可得出，解出m即可．考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三点共线的充要条件．16.答案：6解析：解：f（x）=1+|x|+，∴f（-x）+f（x）=2+2|x|，∵lg=-lg2，lg=-lg5，∴f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）=2×2+2（lg2+lg5）=6，故答案为：6根据指数与对数的运算的性质计算即可．本题考查了指数与对数的运算，考查了抽象概括能力和运算求解能力17.答案：解：（1）由已知2B=A+C，又A+B+C=π，所以，又由c=2a，所以，所以c2=a2+b2，所以△ABC为直角三角形，，（2）所以，由．解得2k+2=6，所以k=2，所以n=4或n=5．解析：（1）利用余弦定理以及已知条件求出三角形内角的大小即可．（2）化简数列的通项公式，通过数列求和，转化求解即可．本题考查数列与三角函数相结合，余弦定理的应用，数列求和，考查计算能力．18.答案：解：（1）由表中数据，可得散点图：（如下）（2）∴回归直线方程为．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91×70+88.05=151.75（mmHg）∵∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群．解析：（1）根据表中数据即可得散点图．（2）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．19.答案：（1）证明：取AB中点H，连结DH、HF，在等腰Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，∴AD=BD=1，又∵翻折后，∴翻折后AD⊥BD，且△ADB为等腰直角三角形，则DH⊥AB，∵翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∵DE∥AC，∴AC⊥平面ADB，则AC⊥DH，又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，又∵HF∥AC，DE∥AC，且HF=AC=DE，∴DEFH是平行四边形，则EF∥DH，∴EF⊥平面ABC；（2）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．则A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），则，设平面BQE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（t，1，t），要使AF∥平面BEQ，则须，∴，即线段AD上存在一点，使得AF∥平面BEQ，设平面BAE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（1，1，1），∴cos＜＞=，∵二面角Q-BE-A为锐二面角，∴其余弦值为，即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），使得AF∥平面BEQ，此时二面角Q-BE-A的余弦值为．解析：（1）取AB中点H，连结DH、HF，在等腰Rt△ABC中，由已知可得AD=BD=1，则DH⊥AB，由线面垂直的判定可得DE⊥平面ADB，进一步得到AC⊥平面ADB，则AC⊥DH，可得DH⊥平面ABC，然后证明DEFH是平行四边形，得EF∥DH，从而得到EF⊥平面ABC；（2）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．求出A，B，E，C，F的坐标，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），求出平面BQE的法向量，由=0求得，即线段AD 上存在一点，使得AF∥平面BEQ，再求出平面BAE的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得二面角Q-BE-A的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．20.答案：解：（1）由已知c=1，∴a2=b2+1①∵椭圆过点，∴②联立①②得a2=4，b2=3，∴椭圆方程为；（2）设P（x0，y0），已知A（-2，0），B（2，0），∵y0≠0，∴x0≠±2∴AP，BP都有斜率∴，∴，③∵，∴，④将④代入③得，设AP方程y=k（x-2），∴BP方程，∴，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x轴上，设该定点为T（t，0），则，∴，∴（6-t）2=24，∴，∴存在定点或以线段MN为直径的圆恒过该定点．解析：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；（2）设P（x0，y0），已知A（-2，0），B（2，0），根据斜率公式，可得，求出直线AP，BP的方程，再根据向量的垂直即可求出．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．21.答案：解：（1）∵f′（x）=x（1-e x），∴f′（1）=1-e，即切线的斜率是1-e，又f（1）=，则切点坐标是（1，），故f（x）在x=1处的切线方程是y-=（1-e）（x-1），即2（e-1）x+2y-2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）的极小值为g（1）=1-a，a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的极小值是g（1）=1-a，综上，函数g（x）的极小值是1-a；（3）若对任意的x1∈[-1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[-1，0]时，f′（x）=x（1-e x）≤0，当且仅当x=0时不等式取“=”，∴f（x）在[-1，0]上单调递减，∴f（x）在[-1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]递减，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e-（a+1）-，故1＞e-（a+1）-，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．解析：（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）问题等价于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为l：x+y-1=0．------2分∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为C：x2+y2-4x=0．--------4分（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程，得：，--------6分∴|t1-t2|==，------8分∴==．------10分．解析：（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得，由此能求出的值．本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、两线段的倒数和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x-4|+|x+1|≤9，故，或，或；…（2分）解得：2＜x≤4，或-1≤x≤2，或-2≤x＜-1；…（4分）不等式的解集为[-2，4]；…（5分）（Ⅱ）易知B=（0，3）；…（6分）所以B⊆A，又|2x-4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…（7分）⇒|2x-4|＜x+a-1在x∈（0，3）恒成立；…（8分）⇒-x-a+1＜2x-4＜x+a-1在x∈（0，3）恒成立；…（9分）故…（10分）解析：（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

青海省西宁市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析

青海省西宁市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析

青海省西宁市2021届新高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.2．已知i 为虚数单位，则()2312i i i+=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解.【详解】()()232232374i i i i i +-++===+.本题考查复数代数运算，属于基础题题.3．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C【解析】【分析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案.【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2f a f <， 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 4．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ） 5237【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【详解】解：事件A发生，需满足x y≤，即事件A应位于五边形BCDEF内，作图如下：()11117 22218P A-⨯⨯==故选：D【点睛】考查几何概型，是基础题.5．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．64种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C=种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A=种情况，此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法；本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74 B ．32 C ．2 D ．54 【答案】C【解析】由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212g x sin x sin x πωπωω=-=-（）（）（），函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得3x π=时，()g x 取得最大值，即23122k πωππωπ⨯-=+（），k Z ∈，0ω>，当0k =时，解得2ω=，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得3x π=时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.7．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ）A ．0B ．1C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =， 2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=.故选：D.本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题.8． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】， 由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =， 但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈ ∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件 故选B【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.9．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.10．一个陶瓷圆盘的半径为10cm，中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：224513.137101000SSππ=≈⇒≈⋅正圆.故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题11．函数()2cos2 cos221xxf x x=+-的图象大致是（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项.【详解】∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---， ∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ； 又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >， 故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.12．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ） A 5 B ．2 C 5D ．102【答案】D【解析】【分析】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C .因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥.又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =.在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以5102c e a ===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二)(含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二)(含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知集合0，1，，，则A. ，B. 1，C.D.2.已知a，，，则A. B. C. D.3.已知平面，直线m，n，若，则“”是“”的A. 充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件4.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为且，已知，，且通过该规则可得，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为A. 7B. 16C. 19D. 215.已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是A. B. C. D.6.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A，B，为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为A B Ca2001040b1512020c155030A. B. C. D.7.理科若的展开式中的系数为，则实数a的值为A. B. C. D. 28.阿基米德公元前287年公元前212年是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为A. B. C. D.9.如图是计算的值的程序框图，则图中处应填写的语句分别是A. ，？B. ，？C. ，？D. ，？10.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为A. 4B. 3C. 2D. 111.设正方体的棱长为1，E为的中点，M为直线上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为A. B. C. D.12.文科已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若为直角三角形，则A. B. 4 C. D. 313.理科已知倾斜角为的直线与双曲线C：相交于A，B两点，是弦AB的中点，则双曲线的离心率为A. B. C. D.14.已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为A. B. C. 0 D.15.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足其中为的前n项和，则A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.设，，则a，b的大小关系为______．17.向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为______．18.如图，点F是抛物线C：的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则周长的取值范围是______．19.已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是______．20.过点引曲线C：的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则______．三、解答题（本大题共10小题，共118.0分）21.已知在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为．求角C的大小；若，求的值．22.某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：Ⅰ根据已知数据，判断是否有的把握认为一等级产品与生产线有关？Ⅱ求抽取的200件产品的平均利润；Ⅲ估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润．附：独立性检验临界值表参考公式：，其中．23.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，C.求证：平面；设，若直线AB与平面所成的角为，求三棱锥的体积．24.三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，，且，O为CD中点，如图．求证：平面平面BCD；若二面角的大小为，求AD与平面ABC所成角的正弦值．25.已知椭圆E：的右焦点为，其长轴长是短轴长的倍．求椭圆E的方程；问是否存在斜率为1的直线l与椭圆E交于4，B两点，，的重心分别为G，H，且以线段GH为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．26.已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆Q方程，且圆心Q满足．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点的直线：交椭圆于A、B两点，过P与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为线段CD中点，若的面积为，求k的值．27.设函数，．求的单调区间和极值；证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．28.理科已知函数．Ⅰ求的单调区间与最值；Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．29.在极坐标系中，曲线C的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标，直线l的参数方程为为参数，l与C交于M，N两点．Ⅰ写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ设点，若、、成等比数列，求a的值．30.设函数．求不等式的解集；若函数的最大值为m，正实数p，q满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：；．故选：D．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：由，得，即，．．故选：C．直接利用复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．本题考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：D解析：解：由，，不一定有，反之，由，，一定有．若，则“”是“”的必要不充分条件．故选：D．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，结合充分必要条件的判定得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查充分必要条件的判断，是基础题．4.答案：B解析：解：；；．故选：B．代入数列的递推式，计算可得所求值．本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：设等比数列的公比为q，且，，，成等差数列，，则，化简得，，解得，则，，故选：A．设等比数列的公比为q，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意，估计生活垃圾投放错误的概率为：．故选：D．利用古典概型能估计生活垃圾投放错误的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：的展开式的通项公式，分别令，3，可得：的展开式中的系数为：．化为，解得．故选：B．的展开式的通项公式，分别令，3，可得：的展开式中的系数，进而求得结论．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R则圆柱的表面积，解得，即．圆柱的体积为：，该圆柱的内切球体积为：．故选：C．由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R，进而求出圆柱的体积，即可求出结论．本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征以及球的体积计算，其中根据已知条件计算出圆柱的底面半径是解答本题的关键．9.答案：A解析：解：的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到31共16项，故选：A．首先分析，要计算的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．10.答案：A解析：解：，，，则：，，所以，；则：，则，所以，即：，故答案为：4．先求出所用到的向量的坐标，根据条件得出动点P的坐标即x，y所满足的不等式，对所求的值进行变形，使式子中出现所求出的不等式的形式，然后进行不等式的运算即可．所要掌握的一点就是，将所求式子中的x，y的形式，变形到条件中x，y所具有的形式．11.答案：B解析：【分析】此题考查了线面平行，面面垂直，距离的最值等，属于中档题．首先判断出平面ACE，并且平面平面，从而确定所求最小值为EF和的距离，即可求解．【解答】解：如图，F为底面中心，连接EF，则，不在平面ACE内，EF在平面ACE内，平面ACE，，N之间的最短距离即为直线与平面ACE之间的距离，平面ABCD，AC在平面ABCD内，，又，、BD为平面内两条相交直线，平面，AC在平面ACE内，平面平面，与的距离即为所求，在中，求得D到的距离为，与的距离为，故选：B．12.答案：C解析：解：由题可知，双曲线的渐近线方程为，点，为直角三角形，且OM与ON不垂直，直线MN与直线OM或ON垂直，不妨设直线MN与直线ON垂直，则，直线MN的方程为，将其分别与直线联立，可解得，，．故选：C．由题可知，双曲线的渐近线方程为，点，因为为直角三角形，且OM与ON不垂直，所以不妨设直线MN与直线ON垂直，则，所以直线MN的方程为，将其分别与直线联立，可解得，，再利用两点间距离公式即可求出．本题考查双曲线的性质，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于基础题．13.答案：D解析：解：设A、B的坐标分别为，，则，两式相减，整理得，，直线AB的倾斜角为，且弦AB的中点为，，得，离心率．故选：D．设A、B的坐标分别为，，将其均代入双曲线的方程中，并作差化简后得，因为直线AB的倾斜角为，且弦AB的中点为，所以，得，而离心率，从而得解．本题考查双曲线的性质，理解点差法的使用条件是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．14.答案：B解析：【分析】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．由函数的图象关于对称，平移可得的图象关于对称，由题意可得，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求．【解答】解：函数在上单调，且函数的图象关于对称，可得的图象关于对称，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，又是等差数列，所以，则的前100项的和为，故选B．15.答案：C解析：解：由题意函数是奇函数，，，故函数是周期函数，且周期．对于数列：当时，，解得；当时，，，两式相减，可得，，两边同时减1，可得：，，数列是以为首项，2为公比的等比数列．，，，，．故选：C．利用函数是奇函数结合已知条件推出得出是周期函数；对于数列，根据数列的通项公式与是前n项和的关系推出数列是一个等比数列．根据数列的通项公式可得数列的通项公式，从而得到，的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果．本题主要考查函数周期性的判断方法及应用，奇函数的性质，数列的通项公式与数列和的关系的应用能力，等比数列的判断及性质应用，本题属综合性较强的中档题．16.答案：解析：解：，，，、b的大小关系为；故答案为．先分别将a，b平方，再进行大小比较即可．此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．17.答案：解析：解：作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题可惜几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．18.答案：解析：解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，与抛物线的焦点重合，且半径，，，，三角形ABF的周长，，三角形ABF的周长的取值范围是．故答案为：．圆的圆心为，半径，与抛物线的焦点重合，可得，，，即可得出三角形ABF的周长，利用，即可得出．本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解析：解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，切线过点代入得，可得，即方程有两个解，则有可得或．即a的取值范围是．故答案为：．设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．20.答案：解析：解：根据题意，过点引曲线C：的两条切线，设切点坐标为，又由，则其导数，则有，又由切线经过端，则有，解可得：或，则切点的横坐标为0和，则两条切线的斜率为和，又由，则，解可得；故答案为：．根据题意，设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导数的几何意义可得曲线C在切点处的切线的斜率，进而可得，解可得t的值，即可得两条切线的斜率，再由，可得，代入数据计算可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程，涉及函数导数的几何意义，属于基础题．21.答案：解：由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，故：，可得：；，，解得：，又，，可得，由正弦定理，，得：．解析：由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，可得，得到角C；由的结果，先求出ab，根据c，即可求出，再由正弦定理可得，即可求出结果．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．一等品非一等品总计A生产线2080100B生产线3565100总计55145200则．而．没有的把握认为一等级的产品与生产线有关；Ⅱ，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：元，故抽取的200件产品的平均利润为元；Ⅲ，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本频率估计总体概率，则该工厂生产产品为一等级的概率估计值为，当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利元．解析：Ⅰ根据频率分布直方图中的数据建立列联表，再求出的值，结合临界值表得结论；Ⅱ由已知数据结合频率分布直方图中的数据列式求得A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数；Ⅲ求出A，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品与一等级的B线产品，由样本频率估计总体概率，得到该工厂生产产品为一等级的概率，乘以2000得答案．本题考查独立性检验，考查频率分布直方图，训练了学生读取图表的能力，是中档题．23.答案：证明：四边形是菱形，，，且，平面，，，O是的中点，，，平面C.解：由可得平面，则BO是AB在平面上的射影，是直线AB与平面所成角，即，在中，，又，且，是正三角形，，由棱柱性质得，及平面，平面，得到平面，三棱锥的体积：．解析：推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面C.由平面，得是直线AB与平面所成角，即，推导出平面，从而三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．24.答案：证明：是等腰直角三角形，，O为CD的中点，，，，平面ABO，平面BCD，平面平面BCD，平面ABO，，为二面角的平面角，即，，，为等边三角形，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，，2，，，0，，，设平面ABC的法向量y，，则，即，取令可得，．设AD与平面ABC所成角为，则．故AD与平面ABC所成角的正弦值为．解析：证明平面AOB，即可证明平面平面BCD；证明为二面角的平面角，得，进而得为等边三角形，以B为原点建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量，利用向量的线面角公式求解即可．本题考查面面垂直证明，线面垂直的判定及二面角的定义，考查空间向量的线面角求法，考查空间想象及计算求解能力，是中档题25.答案：解：由题意可得，解得，，椭圆E的方程为，假设存在这样的直线l，设其方程为，由，消y可得其，解得，设，，，，，，，，由题意可得，以线段GH为直径的圆过原点，，则，，则，即，解得，故存在这样的直线l，其方程为．解析：由题意可得，解得，，解得即可求出椭圆方程，假设存在这样的直线l，设其方程为，由，利用韦达定理和向量的数量积，以及三角形的重心的性质即可求出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算等基本知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力．26.答案：解：Ⅰ由题意可知：，，，，，，椭圆的方程为；Ⅱ设，，由消去y，得，，，，，为线段CD中点，，又，，，又点Q到的距离，．此时，圆心Q到的距离，成立；综上：即为所求．解析：Ⅰ由题意焦距及焦点在x轴的焦点坐标，和Q坐标即可求出，a，c再，即可写出椭圆方程；Ⅱ设的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长AB，再由题意直线CD，联立圆，设而不求求出CD的中点M坐标，再用点到直线的距离公式求出M到直线AB的距离，由面积求出参数k的值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题27.答案：解：由由解得X所以，的单调递增区间为，单调递减区间为；在处的极小值为，无极大值．证明：由知，在区间上的最小值为．因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且所以是在区间上唯一零点．当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点．综上所述，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．解析：本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．利用或求得函数的单调区间并能求出极值；利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．28.答案：解：已知，则，分当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．分所以，无最小值．分由可知，，即，分则，即分若在恒成立，则分因为，所以当且仅当时，等号成立．分故，即a的取值范围为分解析：Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，最值即可；Ⅱ根据，得到，若在恒成立，则，替换求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．29.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程可化为：，可得曲线C的直角坐标方程为：．消去参数t可得直线l 的普通方程为：．Ⅱ把直线l 的参数方程代入抛物线并整理得：，，设方程的两根分别为，，则由，，知，，，，，，，成等比数列，，，，解得或舍，．解析：Ⅰ由互化公式可得曲线C的直角坐标方程，消去参数t可得直线l的普通方程；Ⅱ立参数t的几何意义以及等比数列知识可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．30.答案：解不等式或或，解得，故原不等式的解集为；，，，，，，，，的最小值为，当且仅当时取等．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及基本不等式求最值，属中档题．分3段去绝对值符号解不等式，再把每段的结果取并集即得解集；先根据分段函数的单调性求出最大值可得，再通过变形后使用基本不等式可得最小值．第21页，共21页。

青海省西宁市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析

青海省西宁市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析

青海省西宁市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 2．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案. 【详解】 解：1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+， z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．13【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用,AB AC 表示出,AH BH 与AM ，求出,λμ的值即可. 【详解】解：根据题意，设BH xBC =，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-11(1)22x AB xAC =-+， 又AM AB AC λμ=+，11(1),22x x λμ∴=-=，111(1)222x x λμ∴+=-+=，故选：A. 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D. 【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

2020年青海省西宁四中等三校联考高考数学模拟试卷2(4月份) (含答案解析)

2020年青海省西宁四中等三校联考高考数学模拟试卷2(4月份) (含答案解析)

2020年青海省西宁四中等三校联考高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，在复平面内，复数1+i2−i 所对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象银C. 第三象限D. 第四象限 2. 集合A ={x |−2<x <3}，B ={x ∈Z |x 2−5x <0}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {2,3，4}3. 已知向量a ⃗ ⊥b ⃗ ，|b ⃗ |=1，则|a⃗ |a ⃗ |+b ⃗ |=( ) A. √2 B. √3C. √5D. √74. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列命题正确的是( )A. 若α⊥β，则l//mB. 若l ⊥m ，则α//βC. 若l//β，则m ⊥αD. 若α//β，则l ⊥m 5. 设命题p ：∀x >−1，x 2>1，则￢p 为( )A. ∀x >−1，x 2≤1B. ∀x ≤−1，x 2>1C. ∃x ≤−1，x 2≤1D. ∃x >−1，x 2≤16. 已知二项式(√x −√x 3)5的展开式中常数项为( )A. −10B. 6C. 10D. 207. 设x 、y 满足约束条件{x −y +1≥0,x +y −1≥0,x ≤3,则目标函数z =y+3x+1的取值范围是( )A. [14,4] B. (−∞,14]∪[4,+∞) C. [−4,−14]D. (−∞,−4]∪[−14,+∞)8. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该直三棱柱的外接球的表面积为( )A. 5πB. 9πC. 9√2πD. 18π9. 已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，|φ|<π)的部分图象如图所示，则它的解析式为( )A. y =sin(2x +π4) B. y =√2sin(2x −π4) C. y =√2sin(2x +π8) D. y =√2sin(2x +π4) 10. 若a >b >0，下列命题为真命题的是( )A. a 2<b 2B. a 2<abC. ba <1D. 1a >1b11. F 1、F 2的双曲线y 225−x 211=1的两焦点，P 在双曲线上，∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 11B. 112C. 112D. √11212. 如图，在正方形ABCD 中分别以A ，B 为圆心、正方形的边长为半径画弧BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，弧AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A. √32−π6 B. π3−√32C. √34−π12D. π6−√34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知随机变量X ～B(4,p)，若P(X =4)=116.则p =________.14. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 3=5，S 6=42，则S 9=______．15. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为______．16.lg32−lg4lg2+(27)23=________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，2+a 4=b 3．(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{a n +b n }的前n 项和S n ．18. 已知|a →|=√3,|b →|=1,|a →−b →|=1，求|a →−2b →|.19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，AB ⊥AD ，DC =6，AD =8，BC =10，∠PAD =45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE//平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出二面角F −PC −D 的余弦值；若不存在，请说明理由．20. 如图所示，已知A ，B 为椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点，|AB|=4，且离心率为√22．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若点P(x 0,y 0)(y 0≠0)为直线x =4上任意一点，PA ，PB 交椭圆于C ，D 两点，则直线CD 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．21. 已知函数f(x)=e x ⋅(a +1x +lnx)，其中a ∈R ．(Ⅰ)若曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线y =−xe 垂直，求a 的值； (Ⅱ)当a ∈(0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ． (1)求直线的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线与曲线C交于A,B两点，P(−1,2)，求|PA|⋅|PB|．23.已知函数f(x)=|3x−a|−2|x−1|．(Ⅰ)当a=−3时，解不等式f(x)>1；(Ⅱ)若不等式f(x)≥6+|x−1|有解，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：i为虚数单位，在复平面内，复数1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i5=15+35i，则复数1+i2−i 所对应的点坐标为(15,35)，故复数1+i2−i所对应的点在第一象限，、故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，基础题．【解答】解：B={x∈Z|x2−5x<0}={x∈Z|0<x<5}={1,2，3，4}，因为A={x|−2<x<3}，所以A∩B={1,2}．故选A．3.答案：A解析：【分析】利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．【解答】解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．4.答案：D解析：解：对于A 、B ，∵如图，由图可知A ，B 不正确；∵直线l ⊥平面α，l//β，∴α⊥β，对于C ，∵m ⊂平面β，∴m 与α不一定垂直，C 不正确．对于D ，∵l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.若α//β，则l ⊥平面β，有l ⊥m ，D 正确； 故选：D ．直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的点线面的位置关系，是中档题．5.答案：D解析：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 则￢p ：∃x >−1，x 2≤1， 故选：D ．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．6.答案：A解析：解：二项式(√x √x 3)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−1)r ⋅x 52−5r6， 令52−5r 6=0，求得r =3，可得展开式中常数项为−C 53=−10，故选：A ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.答案：A解析： 【分析】本题考查简单的线性规划及直线的斜率，由约束条件作出可行域，再由目标函数z =y+3x+1的几何意义，即可行域内的点与定点P(−1,−3)连线的斜率求解． 【解答】解：由约束条件{x −y +1≥0,x +y −1≥0,x ≤3,作出可行域如图，联立{x −y +1=0x +y −1=0，得A(0,1)，联立{x =3x +y −1=0，得B(3,−2)，由z =y+3x+1，点P(−1,−3)，而k PA =4,k PB =14． ∴目标函数z =y+3x+1的取值范围是[14,4]． 故选Ａ．8.答案：D解析： 【分析】本题考查三视图以及几何体的外接球问题，属于中档题．先由三视图得到直观图，再确定外接球的球心，得到球的半径，最后根据球的表面积公式计算，即可得到答案． 【解答】 解：如图1，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，A1A=3，AC=√3，BC=√6，所以其外接球的球心即为正方形AA1B1B的中心，半径R=32√2，所以外接球的表面积为，故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，也是难点，属于中档题．由函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，|φ|<π)的部分图象可求得A，T=2π，继而可求得φ．【解答】解：∵A>0，∴A=√2，又ω>0，其周期T=9π8−π8=π=2πω，∴ω=2，由2×3π8+φ=π2+2kπ得，φ=2kπ−π4，而|φ|<π，∴φ=−π4，∴所求函数的解析式为y=√2sin(2x−π4).故选B．10.答案：C解析：【解答】解：∵a>b>0，∴a2>b2，故A错误；a2>ab，故B错误；ba<1，故C正确；ab>0，aab >bab，即1a<1b，故D错误；故选：C．解析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题．11.答案：A解析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，且m>n根据双曲线的定义可知m−n=2a=10，∵∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2=4×(25+11)=144，∴2mn=m2+n2−(m−n)2=144−100=44∴mn=22，∴△F1PF2的面积为12mn=11；故选：A．设|PF1|=m，|PF2|=n，且m>n根据双曲线的定义可知m−n=2a=10，利用勾股定理可得m2+ n2=144，求出2mn=m2+n2−(m−n)2=144−100=44，即可求出△PF1F2的面积．本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．12.答案：A解析：【分析】本题考查几何概型概率的求法，求解阴影部分的面积是关键，是中档题．先求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式求解．【解答】解：如图所示，设正方形的边长为1，因为AB=AE=BE=1，所以∠ABE=π3，所以弓形AFE的面积为16⋅π⋅12−√34⋅12=π6−√34．所以阴影部分ADEF的面积为112⋅π⋅12−(π6−√34)=√34−π12，所以所有阴影部分的面积为2(√34−π12)=√32−π6．由几何概型的概率公式得此点取自阴影部分的概率是√32−π61=√32−π6．故选A ．13.答案：12解析： 【分析】本题考查二项分布求概率，属于基础题． 根据题意可得，解方程可求得p 的值．【解答】 解：由题意，得，解得p =12．故答案为12．14.答案：117解析： 【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5，S 6=42， ∴a 1+2d =5，6a 1+6×52d =42，联立解得a 1=−3，d =4． 则S 9=−3×9+9×82×4=117．故答案为117．15.答案：16解析： 【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<m <1，结合已知及向量的基本定理可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，可求m ，t 的值即可．【解答】解：设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<m <1， 由题意及图知，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{1−m =t 25m =13，解得m =56，t =16．故答案为：16．16.答案：12解析： 【分析】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题． 根据指数与对数的运算性质求解． 【解答】 解：lg32−lg4lg2+(27)23=lg8lg2+(33)23=3lg2lg2+32=3+9=12．故答案为12．17.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．依题意，得{1+d =q2+(1+3d)=q 2.解得{d =2q =3或{d =−1q =0.(舍去)， 所以a n =2n −1，b n =3n−1， (Ⅱ)因为a n +b n =2n −1+3n−1，所以S n =[1+3+5+⋯+(2n −1)]+(1+3+32+⋯+3n−1)， =n[1+(2n−1)]2+1−3n 1−3，=n 2+3n −12．解析：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算 (Ⅰ)利用已知条件列出方程组，求出数列的公差与公比，然后求解{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用分组求和求解即可． 能力．18.答案：解：因为|a →|=√3,|b →|=1,|a →−b →|=1，所以(a →−b →)2=|a →|2−2a →·b →+|b →|2=3−2a →·b →+1=1，解得2a →·b →=3，所以(a →−2b →)2=|a →|2−4a →·b →+4|b →|2=3−2×3+4=1，所以|a →−2b →|=1．解析：本题主要考查向量的模的计算.关键是利用2a →·b →=3．19.答案：(1)证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N ．在平面ABCD 内，∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ， ∴CN//DA ，又AB//CD ，∴四边形CDAN 为平行四边形， ∴CN =AD =8，DC =AN =6，在Rt △BNC 中，BN =√BC 2−CN 2=√102−82=6，∴AB =12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点， ∴EM//AB 且EM =6，又DC//AB ，∴EM//CD 且EM =CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE//CM ．∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， ∴DE//平面BPC.(2)解：由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A(8,0，0)，B(8,12，0)，C(0,6，0)，P(0,0，8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 的坐标为(8,t ，0)(0<t <12)， 则CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12，0)， 由CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得t =23． 又平面DPC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设平面FPC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z).又PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6，−8)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,163,0)． 由{n ⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{6y −8z =0−8x +163y =0 即{z =34y x =23y 不妨令y =12，则n⃗ =(8,12，9)． 则cos 〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=81×√82+122+92=817． 又由图可知，该二面角为锐二面角， 故二面角F—PC—D 的余弦值为817.解析：本题考查了线面平行的判定，向量法求二面角、动点问题，属于中档题．(1)取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，通过证明四边形CDEM 为平行四边形，则DE//CM ，线面平行即可得证；(2)以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 的坐标为(8,t ，0)(0<t <12)，由CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得t =23.再由空间向量求二面角的余弦值即可．20.答案：解：(1)由题意解得{a 2=4b 2=2所以椭圆的方程为x 24+y 22=1；(2)设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，设直线AC 的方程为y =k(x +2)，令x =4得y =6k ，即P(4,6k)． 将y =k(x +2)代入椭圆x 24+y 22=1得：(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−4=0，由韦达定理得−2⋅x 1=8k 2−41+2k 2，即x 1=2−4k 21+2k 2，于是y 1=k(x 1+2)=k(2−4k 21+2k 2+2)=4k1+2k 2.则C(2−4k 21+2k 2,4k1+2k 2)． 由B(2,0)、P(4,6k)得直线BP 的方程为y =3k(x −2)，代入椭圆x 24+y 22=1得：(1+18k 2)x 2−72k 2x +72k 2−4=0． 由韦达定理得2⋅x 2=72k 2−41+18k2，即x 2=36k 2−21+18k 2， 则y 2=3k(x 2−2)=3k(36k 2−21+18k2−2)=−12k 1+18k2，则D(36k 2−21+18k 2,−12k 1+18k 2)． 当直线CD 的斜率存在时，直线CD 的斜率为k CD =4k 1+2k 2+12k1+18k 22−4k 21+2k 2−36k 2−21+18k 2=4k1−6k 2．此时直线CD 的方程为y −4k 1+2k 2=4k 1−6k 2(x −2−4k 21+2k 2)，令y =0得x =−4k1+2k 2⋅1−6k 24k+2−4k 21+2k 2=1+2k 21+2k2=1．此时直线过定点(1,0)； 当直线CD 的斜率不存在时，有2−4k 21+2k 2=36k 2−21+18k 2，解得k =±√66． 此时x C =x D =1，直线过定点(1,0)． 故直线过定点(1,0)解析：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的关系和韦达定理的灵活运用，考查了直线过定点的问题，考查了推理能力和计算能力，属于难题． (1)利用已知条件得到a ，b ，即可求椭圆C 的方程；(2)设直线AC 的方程为y =k(x +2)可得P(4,6k)，再设出PB 的直线方程，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理求出C ，D 的坐标．分类讨论CD 斜率存在与不存在，写出直线CD 的方程，根据方程求出定点，即可得直线CD 过点(1,0)．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)的导函数为f′(x)=e x ⋅(a +1x +lnx)+e x ⋅(1x −1x 2)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)． 依题意，有 f′(1)=e ·(a +1)=e, 解得a =0．(Ⅱ)由f ′(x)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)及e x >0知，f′(x)与a +2x −1x 2+lnx 同号．令g (x)=a +2x −1x 2+lnx ， 则 g ′(x)=x 2−2x+2x 3=(x−1)2+1x 3．所以对任意x ∈(0,+∞)，有g′(x)>0，故g(x)在(0,+∞)单调递增． 因为a ∈(0,ln2)，所以g(1)=a +1>0，g(12)=a +ln 12<0， 故存在x 0∈(12,1)，使得g(x 0)=0． f(x)与f′(x)在区间(12,1)上的情况如下：所以f(x)在区间(20上单调递减，在区间(x 0,1)上单调递增． 所以f(x)存在极小值f(x 0).解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，切线方程以及函数的极值问题，是一道中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，计算f ′(1)，求出a 的值即可；(Ⅱ)求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．22.答案：解：(1)由参数方程消去t ，得直线l 的普通方程为x +y −1=0，由ρcos 2θ=sinθ，得ρ2cos 2θ=ρsinθ， 则y =x 2，故曲线C 的直角坐标方程为y =x 2； (2)将{x =−1−√22ty =2+√22t 代入y =x 2，得t 2+√2t −2=0， Δ=2+8=10>0， 则t 1t 2=−2，故|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=2．解析：本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，属于一般题．(1)消去参数t 得到直线l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程化为曲线C 的直角坐标方程； (2)把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程化简，利用根与系数的关系求解．23.答案：解：(Ⅰ)a =−3时，f(x)=|3x +3|−2|x −1|={−x −5,x <−15x +1,−1≤x ≤1x +5,x >1，∴f(x)>1⇔{x <−1−x −5>1或{−1≤x ≤15x +1>1或{x >1x +5>1⇔x <−6或x >0；(Ⅱ)不等式f(x)≥6+|x −1|有解 ⇔|3x −a|−3|x −1|≥6有解 ⇔|x −a3|−|x −1|≥2有解，由于|x −a3|−|x −1|≤|1−a3|=|a3−1|， ∴|a3−1|≥2，解得：a ≥9或a ≤−3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． (Ⅰ)求出函数f(x)的分段函数的形式，通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； (Ⅱ)根据绝对值的性质得到关于a 的不等式，解出即可．。

2020-2021学年高考数学理科模拟检测试题及答案解析三

2020-2021学年高考数学理科模拟检测试题及答案解析三

最新高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．= ．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B= ．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a= ．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．已知，则cos（30°+2α）= ．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为．12．已知n∈N*，若，则n= ．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则= ．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．417．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．118．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．= ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B= {x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；集合．【分析】化简集合A、B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，={x|﹣1≤x＜1，x∈R}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a= ．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3=a﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是 2 ．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m=10，∴这组数据的方差S2=[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．7．已知，则cos（30°+2α）= ．【考点】二阶矩阵；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75°﹣α）=，再由诱导公式得cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]，由此利用二倍角公式能求出结果．【解答】解：∵，∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°﹣α）=，cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]=﹣cos[2（75°﹣α）]=﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]=﹣[2×﹣1]=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤2015，S=，k=2满足条件k≤2015，S=+，k=3…满足条件k≤2015，S=++…+，k=2015满足条件k≤2015，S=++…++，k=2016不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值．由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为﹣．【考点】圆的切线方程．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先判断a≠0，可得要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0，再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，求得a的值．【解答】解：当a=0时，直线ax﹣y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P（1，2），故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0．故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0．再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第3次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过3次传球后，球仍在甲手中的概率．【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．第3次球恰好传回给甲的有两种情况，∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】应用题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到，=≥3，问题得以解决．【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）设P（0，b）（0≤b≤1）则=（1，1﹣b），=（2，﹣b），∴+=（3，1﹣2b），∴=≥3，当且仅当b=时取等号，∴的最小值为3，故答案为：3．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．12．已知n∈N*，若，则n= 4 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由题意可得•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，由此求得n的值．【解答】解：∵n∈N*，若，则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，∴n=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则= 100 ．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，即可得出S2009．【解答】解：=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10=10×=201000，则=100．故答案为：100．【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k=1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；∴；∴k=1+|x|＞1；∴实数k的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若φ=时，y=sin（x+φ）=cosx 为偶函数；若y=sin（x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；∴“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大．16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，可根据条件设，并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程为，这样令x=0便可求出y，即求出A，B点的坐标，根据A，B点的坐标便可得出|AB|．【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；∴设，r=；∴圆M的方程为：；令x=0，；∴；∴y=y0±2；∴|AB|=y0+2﹣（y0﹣2）=4．故选：A．【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系，圆的半径和圆心，以及圆的标准方程，直线和圆的交点的求法，坐标轴上的两点的距离．18．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项【考点】数列的函数特性．【专题】探究型．【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况．【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选C．【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何．【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt △CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα，此时容器内能容纳的溶液量为：S梯形ABCF•20=•20=（30﹣20tanα+30）•20•10=2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；（2）如图b所示，当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，∵S△ABF=BC•BF=150cm2，容器内溶液量为150×20=300cm3，倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能实现要求．【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；解三角形．【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab≤3，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）=．当f（x）取最小值时，，，k∈Z，所以，所求x的取值集合是．（2）由f（C）=2，得，因为0＜C＜π，所以，所以，．在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得3=a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3，所以△ABC的面积，因此△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；（2）求得a=3，即有g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得，h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值．【解答】（1）解法一：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1．当k=1时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即k•a﹣x﹣a x=a﹣x﹣k•a x，（k﹣1）（a x+a﹣x）=0，因为a x+a﹣x＞0，所以，k=1．（2）由，得，解得a=3或（舍）．所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当时，则当时，，解得；当时，则当t=m时，，m=±2（舍去）．综上，．【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程．（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m．（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由点A、B在椭圆C上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用行列式性质及椭圆的对称性，能求出四边形ABA1B1的面积为定值．【解答】解：（1）设P（x，y），∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为，∴由题意，，…化简得3x2+4y2=12，…∴动点P的轨迹C的方程为．…（2）设N（x，y），则=，﹣2≤x≤2．…①当0＜4m≤2，即时，当x=4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，解得，，此时，故舍去．…②当4m＞2，即时，当x=2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，解得m=1，或m=3（舍）．…综上，m=1．（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，，，∵点A、B在椭圆C上，∴，，∴=，化简得．…①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=．…②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为∴△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…直线OA的方程为y1x﹣x1y=0，点B到直线OA的距离，△ABA1的面积，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2）由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…△ABA1的面积=|x1y2﹣x2y1|，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．【考点】数列的求和；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4．（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可．（3）通过，推出x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．【解答】本题，第1小题，第2小题，第3小题．解：（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i．…（算错一个扣，即算对一个得，算对两个得3分）（2）若∥，则存在实数λ，使得，故z n=λ•z1，即（x n，y n）=λ（x1，y1），…又z n+1=（1+i）z n，故，即（1+i）n﹣1=λ为实数，…故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N．…（3）因为，故x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，…所以x n+4y n+4=16x n y n，…又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）=，…而，，…所以数列{x n y n}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102．…【点评】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．。

青海省西宁市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

青海省西宁市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

青海省西宁市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．3BC ．2或3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以b a =，由离心率公式e =即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以b a =3，2e ∴==或3. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 2．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．13-B ．13C ．65-D 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -的坐标，利用(2)=0a b b -⋅求得参数m ，再用cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=计算即可. 【详解】依题意，2(2,3)a b m -=+-， 而(2)=0a b b -⋅， 即260m ---=， 解得8m =-， 则cos ,||||5a b a b a b ⋅〈〉===⋅故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.3．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(B ．)+∞C ．(D ．)+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】双曲线222:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(e =.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题. 4．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析选项，①根据函数3y x =的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间()1,1-；④利用导数求函数在给定区间的最值. 【详解】①3y x =为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-，正确．②由题意知2()3f x x a '=-．因为当–11x <<时，233x <，又3a ≥，所以()0f x '<在(1,1)-上恒成立，所以函数()f x 在(1,1)-上为单调递减函数，正确． ③由题意知2()3f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(–),∞+∞上为增函数，不合题意，故0a >．令()0f x '=，解得x =．因为()f x 在(1,1)-上不单调，所以()0f x '=在(1,1)-上有解，需01<<，解得0<<3a ，正确． ④令2()3120f x x '=-=，得2x =±．根据函数的单调性，()f x 在[–4,5]上的最大值只可能为(2)f -或(5)f ．因为(2)15f -=，(5)64f =，所以最大值为64，结论错误． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.5．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题. 6．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为2]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()42212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()4223π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题. 7．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 【答案】D 【解析】选项A ，否命题为“若1a ≤，则21a ≤”，故A 不正确．选项B ，逆命题为“若a b <，则22am bm <”，为假命题，故B 不正确． 选项C ，由题意知对x ∀()0,∈+∞，都有34x x <，故C 不正确． 选项D ，命题的逆否命题“若6πα=，则1sin 2α=”为真命题，故“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题，所以D 正确． 选D ．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ）A ．2B ．C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知，圆心M=222c a b ==+，解方程即可.【详解】由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M =2bb c===，故1a =， 所以离心率为2ce a==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 9．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B 【解析】 【分析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 10．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．-2B ．2C ．-12D ．12【答案】C 【解析】 【分析】设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫=⎪⎝⎭得*2,,26k n k Z n N ππφπ=+-⋅∈∈，又03πφ<<，则可求出122n k -=，进而可得()12f π-.【详解】解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，所以,nT n N π*=∈，所以*2,T n nππω==∈N ，所以*2,n n ω=∈N ， 又112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,26k n k Z n N ππφπ∴=+-⋅∈∈，因为03πφ<<02263k n ππππ∴<+-⋅<，整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，122n k ∴-=，()2212266k k πππφπ∴=+-+⋅=，则2662n k ππππ⋅+=+263n k πππ∴=+ 所以()sin 212126sin 66f n n πππππ⎛⎫--- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 11．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35【答案】D【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3πB ．23π C ．πD ．43π 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求. 【详解】 如图所示：设内切球球心为O ，O 到平面ACM 的距离为d ，截面圆的半径为r ， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1， 又因为O AMC M AOC V V --=，所以123AMCAOCd SS ⨯⨯=⨯，又因为()()1122526,221222AMCAOCSS=⨯⨯-==⨯⨯=，所以1233d ⨯=，所以3d =，所以截面圆的半径r ==233S ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二) (解析版)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二) (解析版)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（二）一、选择题（共15小题）.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |y =√−x }，则A ∩B ＝（ ） A ．{}1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣2，﹣1}D ．{﹣2，﹣1，0}2．已知a ，b ∈R ，3+ai ＝b ﹣（2a ﹣1）i ，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a3．已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的（ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件4．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为f （n ）（n ≤9且n ∈N*），已知f （1）＝1，f （2）＝1，且通过该规则可得f （n ）＝f （n ﹣1）+2f （n ﹣2）+1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．215．已知等比数列{a n }的各项都为正数，则a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 4+a 6a 3+a 5的值是（ ）A ．1+√52B ．√5−12C ．3−√52D ．3+√526．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C ．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg 生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为（ ）A B C a2001040b 15 120 20 c155030A ．2350B ．14C ．950D ．3107．（理科）若（x ﹣a ）（1+3x ）6的展开式中x 3的系数为﹣45，则实数a 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．28．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π39．如图是计算1+13+15+⋯+131的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ） ①①A ．n ＝n +2，i ＞16？B ．n ＝n +2，i ≥16？C ．n ＝n +1，i ＞16？D ．n ＝n +1，i ≥16？10．已知在平面直角坐标系中，O （0，0），A （1，12），B （0，1），Q （2，3），动点P （x ，y ）满足不等式0≤OP →⋅OA →≤1，0≤OP →⋅OB →≤1，则Z =OP →⋅OQ →的最大值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．111．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为DD 1的中点，M 为直线BD 1上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ） A ．√63B ．√66C ．√34D ．√3612．（文科）已知双曲线C ：x 26−y 22=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（ ） A ．4√2B ．4C ．3√2D ．313．（理科）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）相交于A ，B两点，M （4，2）是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．√6B ．√3C ．32D ．√6214．已知函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51），则{a n }的前100项的和为（ ）A．﹣200B．﹣100C．0D．﹣5015．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3﹣x）＝﹣f（x），f（1）＝﹣3，数列{a n}满足S n＝2a n+n（其中S n为{a n}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（）A．﹣3B．﹣2C．3D．2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分．16．设a=√3+2√2，b＝2+√7，则a，b的大小关系为．17．向平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y=√1−x2下方的概率为．18．如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2+（y﹣1）2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是．19．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是．20．过点M（﹣1，0）引曲线C：y＝2x3+ax+a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．21．已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2﹣c2＝8，△ABC的面积为2√3．（1）求角C的大小；（2）若c＝2√3，求sin A+sin B的值．22．某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：（Ⅰ）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？（Ⅱ）求抽取的200件产品的平均利润；（Ⅲ）估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润．附：独立性检验临界值表P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001…k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828…（参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d）．23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB ＝AC1=√6，AB⊥B1C．（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；（2）设∠B1BC＝60°，若直线AB与平面BB1C1C所成的角为45°，求三棱锥A1﹣AB1C 的体积．24．三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，AB=√2，且AB ⊥CD，O为CD中点，如图．（1）求证：平面ABO⊥平面BCD；（2）若二面角A﹣CD﹣B的大小为π3，求AD与平面ABC所成角的正弦值．25．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （2√2，0），其长轴长是短轴长的√3倍．（l ）求椭圆E 的方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l 与椭圆E 交于4，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，且以线段GH 为直径的圆过原点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 26．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|=2√2，若圆Q 方程(x −√2)2+(y −1)2=1，且圆心Q 满足|QF 1|+|QF 2|＝2a ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）过点P （0，1）的直线l 1：y ＝kx +1交椭圆C 1于A 、B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C 、D 两点，M 为线段CD 中点，若△MAB 的面积为6√25，求k 的值．27．设函数f （x ）=x 22−klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 28．（理科）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间与最值；（Ⅱ）若x ∈（0，+∞），不等式x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0恒成立，求a 的取值范围． 二、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]29．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρcos 2θ＝a sin θ（a ＞0），以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标，直线l的参数方程为{x=2−√22ty=−1+√22t（t为参数），l与C交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P（2，﹣1），若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]30．设函数f（x）＝|1﹣x|﹣|x+3|．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若函数f（x）的最大值为m，正实数p，q满足p+2q＝m，求2p+2+1q的最小值．参考答案一、选择题：本题共15小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |y =√−x }，则A ∩B ＝（ ） A ．{}1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣2，﹣1}D ．{﹣2，﹣1，0}【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 解：B ＝{x |x ≤0}； ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0}． 故选：D ．2．已知a ，b ∈R ，3+ai ＝b ﹣（2a ﹣1）i ，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a【分析】直接利用复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 解：由3+ai ＝b ﹣（2a ﹣1）i ， 得{3=b a =1−2a ，即a =13，b ＝3．∴b ＝9a ． 故选：C ．3．已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的（ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，结合充分必要条件的判定得答案．解：由n ⊂α，m ⊥n ，不一定有m ⊥α， 反之，由n ⊂α，m ⊥α，一定有m ⊥n ．∴若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的必要不充分条件． 故选：D ．4．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为f （n ）（n ≤9且n ∈N*），已知f （1）＝1，f （2）＝1，且通过该规则可得f （n ）＝f （n ﹣1）+2f （n ﹣2）+1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．21【分析】代入数列的递推式，计算可得所求值．解：f （3）＝f （2）+2f （1）+1＝1+2+1＝4；f （4）＝f （3）+2f （2）+1＝4+2+1＝7； f （5）＝f （4）+2f （3）＝7+8+1＝16． 故选：B ．5．已知等比数列{a n }的各项都为正数，则a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 4+a 6a 3+a 5的值是（ ）A ．1+√52B ．√5−12C ．3−√52D ．3+√52【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q ，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．解：设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0， ∵a 3，12a 5，a 4成等差数列，∴2×12a 5＝a 3+a 4，则a 3q 2＝a 3+a 3q ，化简得，q 2﹣q ﹣1＝0，解得q =1±√52，则q =√5+12，∴a 4+a 6a 3+a 5=a 3q+a 5q a 3+a 5=q =√5+12，故选：A ．6．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C ．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg 生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为（ ）A B C a2001040 b1512020 c155030A．2350B．14C．950D．310【分析】利用古典概型能估计生活垃圾投放错误的概率．解：由题意，估计生活垃圾投放错误的概率为：P=15+15+10+50+40+20500=310．故选：D．7．（理科）若（x﹣a）（1+3x）6的展开式中x3的系数为﹣45，则实数a的值为（）A．14B．13C．23D．2【分析】（1+3x）6的展开式的通项公式T r+1=∁6r（3x）r，分别令r＝2，3，可得：（x ﹣a）（1+x3）6的展开式中x3的系数，进而求得结论．解：（1+3x）6的展开式的通项公式T r+1=∁6r•（3x）r，分别令r＝2，3，可得：（x﹣a）（1+3x）6的展开式中x3的系数为：∁62•32﹣a•∁63•33．∴∁62•32﹣a•∁63•33＝﹣45 化为15﹣60a＝﹣5，解得a=1 3．故选：B．8．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3【分析】由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R ，进而求出圆柱的体积，即可求出结论． 解：设该圆柱的底面半径为R ，则圆柱的高为2R则圆柱的表面积S ＝S 底+S 侧＝2×πR 2+2•π•R •2R ＝54π， 解得R 2＝9，即R ＝3．∴圆柱的体积为：V ＝πR 2×2R ＝54π， ∴该圆柱的内切球体积为：23×54π＝36π．故选：C ．9．如图是计算1+13+15+⋯+131的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ） ①①A ．n ＝n +2，i ＞16？B ．n ＝n +2，i ≥16？C ．n ＝n +1，i ＞16？D ．n ＝n +1，i ≥16？【分析】首先分析，要计算1+13+15+⋯+131的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．解：①的意图为表示各项的分母， 而分母来看相差2， ∴n ＝n +2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件， 而分母从1到31共16项， ∴i ＞16 故选：A ．10．已知在平面直角坐标系中，O （0，0），A （1，12），B （0，1），Q （2，3），动点P（x ，y ）满足不等式0≤OP →⋅OA →≤1，0≤OP →⋅OB →≤1，则Z =OP →⋅OQ →的最大值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先求出所用到的向量的坐标，根据条件得出动点P 的坐标即x ，y 所满足的不等式，对所求OP →⋅OQ →的值进行变形，使式子中出现所求出的不等式的形式，然后进行不等式的运算即可．解：OP →=(x ，y)，OA →=(1，12)，OB →=(0，1)，OQ →=(2，3)则： OP →⋅OA →=x +y2，OP →⋅OB →=y ，所以，0≤x +y2≤1，0≤y ≤1；则： OP →⋅OQ →=2x +3y =2（x +y2）+2y ， 则0≤2(x +y2)≤2，0≤2y ≤2， 所以 0≤2(x +y2)+2y ≤4， 即：0≤OP →⋅OQ →≤4， 故选：A ．11．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为DD 1的中点，M 为直线BD 1上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A ．√63B ．√66C ．√34D ．√36【分析】首先判断出BD 1∥平面ACE ，并且平面ACE ⊥平面BB 1D 1D ，从而确定所求最小值为EF 和BD 1的距离，求解不难． 解：如图，F 为底面中心，连接EF ， 则BD 1∥EF ， ∴BD 1∥平面ACE ，∴M ，N 之间的最短距离即为直线BD 1与平面ACE 之间的距离， 易知平面ACE ⊥平面BB 1D 1D ， ∴EF 与BD 1的距离即为所求，在△DBB 1中，求得D 到BD 1的距离为√63，∴EF 与BD 1的距离为√66，故选：B ．12．（文科）已知双曲线C ：x 26−y 22=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（ ） A ．4√2B ．4C ．3√2D ．3【分析】由题可知，双曲线x 26−y 22=1的渐近线方程为y =±√33x ，点F （2√2，0），因为△OMN 为直角三角形，且OM 与ON 不垂直，所以不妨设直线MN 与直线ON 垂直，则k MN =√3，所以直线MN 的方程为y =√3(x −2√2)，将其分别与直线y =±√33x联立，可解得M （3√2，√6），N （3√22，−√62），再利用两点间距离公式即可求出|MN |．解：由题可知，双曲线x 26−y 22=1的渐近线方程为y =±√33x ，点F （2√2，0），∵△OMN 为直角三角形，且OM 与ON 不垂直， ∴直线MN 与直线OM 或ON 垂直，不妨设直线MN 与直线ON 垂直，则k MN =√3， ∴直线MN 的方程为y =√3(x −2√2)，将其分别与直线y =±√33x 联立，可解得M （3√2，√6），N （3√22，−√62），∴|MN |=(3√2−322)2+(√6+62)2=3√2．故选：C ．13．（理科）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）相交于A ，B两点，M （4，2）是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．√6B ．√3C ．32D ．√62【分析】设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将其均代入双曲线的方程中，并作差化简后得y 1−y 2x 1−x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)，因为直线AB 的倾斜角为π4，且弦AB 的中点为M（4，2），所以tan π4=b 2×4a 2×2，得b 2a =12，而离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a2，从而得解．解：设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 则{x 122−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1，两式相减，整理得，y 1−y 2x 1−x 2=b 2(x 1+x 2)a (y 1+y 2)，∵直线AB 的倾斜角为π4，且弦AB 的中点为M （4，2），∴tan π4=b 2×4a 2×2，得b 2a =12， ∴离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√1+12=√62．故选：D ．14．已知函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51），则{a n }的前100项的和为（ ） A ．﹣200B ．﹣100C ．0D ．﹣50【分析】由函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1轴对称，平移可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，由题意可得a 50+a 51＝﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．解：函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称， 可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51）， 可得a 50+a 51＝﹣2，又{a n }是等差数列， 所以a 1+a 100＝a 50+a 51＝﹣2， 则{a n }的前100项的和为100(a 1+a 100)2=−100故选：B ．15．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数且满足f （3﹣x ）＝﹣f （x ），f （1）＝﹣3，数列{a n }满足S n ＝2a n +n （其中S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）+f （a 6）＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．2【分析】利用函数f （x ）是奇函数结合已知条件推出得出f （x ）是周期函数；对于数列{a n }，根据数列的通项公式与是前n 项和的关系推出数列{a n ﹣1}是一个等比数列．根据数列{a n ﹣1}的通项公式可得数列{a n }的通项公式，从而得到a 5，a 6的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果． 解：由题意函数f （x ）是奇函数，f （0）＝0， f （3﹣x ）＝﹣f （x ）＝f （﹣x ）， 故函数f （x ）是周期函数，且周期T ＝3． 对于数列{a n }：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1+1，解得a 1＝﹣1； 当n ≥2时，S n ＝2a n +n ， S n ﹣1＝2a n ﹣1+n ﹣1，两式相减，可得a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1+1，∴a n ＝2a n ﹣1﹣1， 两边同时减1，可得：a n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1﹣1＝2（a n ﹣1﹣1）， ∵a 1﹣1＝﹣2，∴数列{a n ﹣1}是以﹣2为首项，2为公比的等比数列．∴a n ﹣1＝﹣2•2n ﹣1＝﹣2n ，∴a n ＝1﹣2n ，n ∈N*∴a 5＝﹣31，a 6＝﹣63．f （1）＝﹣3，∴f （a 5）+f （a 6）＝f （﹣31）+f （﹣63）＝f （﹣3×10﹣1）+f （﹣3×21）＝f （﹣1）+f （0）＝﹣f （1）＝3． 故选：C ．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分．16．设a =√3+2√2，b ＝2+√7，则a ，b 的大小关系为 a ＜b ． 【分析】先分别将a ，b 平方，再进行大小比较即可． 解：∵a =√3+2√2，b ＝2+√7， ∴a 2=11+4√6，b 2=11+4√7 ∴a 、b 的大小关系为a ＜b ； 故答案为 a ＜b ．17．向平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y =√1−x 2下方的概率为π4．【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．解：作出平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ≤1}及曲线y =√1−x 2（x ≥0，y ≥0）如图，S 正方形OABC ＝1×1＝1，S 阴影=14π×12=π4．∴向平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y =√1−x 2下方的概率为P =π4． 故答案为：π4．18．如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2+（y﹣1）2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是（4，6）．【分析】圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，即可得出三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，利用1＜y B＜3，即可得出．解：抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，∴三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，∵1＜y B＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故答案为：（4，6）．19．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点为（m，me m），求得y＝x•e x的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．解：设切点为（m，me m），y＝x•e x的导数为y′＝（x+1）e x，可得切线的斜率为（m+1）e m，则切线方程为y﹣me m＝（m+1）e m（x﹣m），切线过点A（a，0）代入得﹣me m＝（m+1）e m（a﹣m），可得a=m 2m+1，即方程m2﹣ma﹣a＝0有两个解，则有△＝a2+4a＞0可得a＞0或a＜﹣4．即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．20．过点M（﹣1，0）引曲线C：y＝2x3+ax+a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝−274．【分析】根据题意，设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导数的几何意义可得曲线C在切点处的切线的斜率，进而可得6t2+a=2t 3+at+at+1，解可得t的值，即可得两条切线的斜率，再由|MA|＝|MB|，可得k1+k2＝0，代入数据计算可得答案．解：根据题意，过点M（﹣1，0）引曲线C：y＝2x3+ax+a的两条切线，设切点坐标为（t，2t3+at+a），又由y＝2x3+ax+a，则其导数y′＝6x2+a，则有y′|x＝t＝6t2+a，又由切线经过端（﹣1，0），则有6t2+a=2t 3+at+a t+1，解可得：t＝0或t=−3 2，则切点的横坐标为0和−3 2，则两条切线的斜率为k1＝y′|x＝0＝a和k2＝y′||x=−32=272+a，又由|MA|＝|MB|，则k1+k2＝a+272+a＝0，解可得a=−27 4；故答案为：−274．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．21．已知在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2﹣c 2＝8，△ABC 的面积为2√3．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝2√3，求sin A +sin B 的值．【分析】（1）由△ABC 的面积为2√3，可得：12absinC =2√3，由a 2+b 2﹣c 2＝8，及余弦定理可得：2ab cos C ＝8，可得tan C =√3，得到角C ；（2）由（1）的结果，先求出ab ，根据c ，即可求出a +b ，再由正弦定理可得sin A +sin B =a⋅sinC c+b⋅sinCc ，即可求出结果． 解：（1）由△ABC 的面积为2√3，可得：12absinC =2√3，由a 2+b 2﹣c 2＝8，及余弦定理可得：2ab cos C ＝8， 故：tan C =√3，可得：C =π3； （2）∵C =π3，2ab cos C ＝8， ∴解得：ab ＝8，又a 2+b 2﹣c 2＝8，c ＝2√3，可得a +b ＝6， 由正弦定理，a sinA =b sinB=c sinC，得：sin A +sin B =a⋅sinC c +b⋅sinCc =（a +b ）sinC c =32． 22．某工厂A ，B 两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：（Ⅰ）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？ （Ⅱ）求抽取的200件产品的平均利润；（Ⅲ）估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润． 附：独立性检验临界值表 P （K 2≥k 0） 0.500.400.250.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 …k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 …（参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ）．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据建立列联表，再求出K 2的值，结合临界值表得结论；（Ⅱ）由已知数据结合频率分布直方图中的数据列式求得A ，B 生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数；（Ⅲ）求出A ，B 生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A 线产品与一等级的B 线产品，由样本频率估计总体概率，得到该工厂生产产品为一等级的概率，乘以2000得答案．解：（Ⅰ）根据已知数据可建立列联表如下：一等品 非一等品 总计 A 生产线 20 80 100 B 生产线 35 65 100 总计55145200则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(20×65−80×35)255×145×100×100=1800319≈5.643．而5.643＜6.635．∴没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关；（Ⅱ）A ，B 生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：1200×[10×(20+35)+8×(60+40)+6×(20+25)]=8.1（元），故抽取的200件产品的平均利润为8.1元；（Ⅲ）∵A ，B 生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A 线产品有20件，B 线产品有35件，由样本频率估计总体概率，则该工厂生产产品为一等级的概率估计值为20+35200=1140，当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利2000×1140×10=5500（元）． 23．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1=√6，AB ⊥B 1C ． （1）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ；（2）设∠B 1BC ＝60°，若直线AB 与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求三棱锥A 1﹣AB 1C 的体积．【分析】（1）推导出B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，从而B 1C ⊥平面ABC 1，进而B 1C ⊥AO ，再求出AO ⊥BC 1，由此能证明AO ⊥平面BB 1C 1C ．（2）由AO ⊥平面BB 1C 1C ，得∠ABO 是直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角，即∠ABO ＝45°，推导出A 1C 1∥平面AB 1C ，从而三棱锥A 1﹣AB 1C 的体积V A 1−AB 1C =V C 1−AB 1C =V A−B 1C 1C ，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵四边形BB 1C 1C 是菱形，∴B 1C ⊥BC 1， ∵B 1C ⊥AB ，且BC 1∩AB ＝B ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1，∴B 1C ⊥AO ，∵AB ＝AC ，O 是BC 1的中点，∴AO ⊥BC 1， ∵B 1C ∩BC 1＝O ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ． 解：（2）由（1）可得AO ⊥平面BB 1C 1C ， 则BO 是AB 在平面BB 1C 1C 上的射影，∴∠ABO 是直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角，即∠ABO ＝45°， 在Rt △ABO 中，AO ＝BO =√3， 又∵∠B 1BC ＝60°，且BC ＝BB 1， ∴△BB 1C 是正三角形，BC ＝BB 1＝2，由棱柱性质得A1C1∥AC，及A1C1⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，得到A1C1∥平面AB1C，∴三棱锥A1﹣AB1C的体积：V A1−AB1C =V C1−AB1C=V A−B1C1C=13×12×2×√3×√3=1．24．三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，AB=√2，且AB ⊥CD，O为CD中点，如图．（1）求证：平面ABO⊥平面BCD；（2）若二面角A﹣CD﹣B的大小为π3，求AD与平面ABC所成角的正弦值．【分析】（1）证明CD⊥平面AOB，即可证明平面AOB⊥平面BCD；（2）证明∠AOB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，得∠AOB=π3，进而得△AOB为等边三角形，以B为原点建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量n→，利用向量的线面角公式求解即可．【解答】（1）证明：∵△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，O为CD的中点，∴OB⊥CD，∵AB⊥CD，AB∩OB＝B，∴CD⊥平面ABO，∵CD⊂平面BCD，∴平面ABO⊥平面BCD，（2）∵CD⊥平面ABO，∴CD⊥AO，∴∠AOB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，即∠AOB=π3，∵BO=√2，∴AB＝OB，∴△AOB为等边三角形，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，0，0），C （2，0，0），A （12，12，√62），D （0，2，0），∴BA →=（12，12，√62），BC →=（2，0，0），AD →=（−12，32，−√62），设平面ABC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BA →=0n →⋅BC →=0，即{12x +12y +√62z =02x =0， 取令z ＝﹣1可得n →=（0，√6，﹣1）， cos ＜n →，AD →＞=n →⋅AD→|n →||AD →|=2√62×7=√427． 设AD 与平面ABC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AD →＞|=√427．故AD 与平面ABC 所成角的正弦值为√427．25．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （2√2，0），其长轴长是短轴长的√3倍．（l ）求椭圆E 的方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l 与椭圆E 交于4，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，且以线段GH 为直径的圆过原点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得{a =√3b c 2=a 2−b 2=8，解得a 2＝12，b 2＝4，解得即可求出椭圆方程，（2）假设存在这样的直线l ，设其方程为y ＝x +m ，由{y =x +mx 2+3y 2=12，利用韦达定理和向量的数量积，以及三角形的重心的性质即可求出解：（1）由题意可得{a =√3b c 2=a 2−b 2=8，解得a 2＝12，b 2＝4， ∴椭圆E 的方程为x 212+y 24=1，（2）假设存在这样的直线l ，设其方程为y ＝x +m ，由{y =x +m x 2+3y 2=12，消y 可得4x 2+6mx +3m 2﹣12＝0 其△＝36m 2﹣16（3m 2﹣12）＝﹣12（m 2﹣16）＞0，解得﹣4＜m ＜4， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x 1+x 2=−32m ，x 1x 2=3m 2−124，∵F 1（﹣2√2，0），F 2（﹣2√2，0）， ∴G （x 13，y 13），H （x 23，y 23），由题意可得，以线段GH 为直径的圆过原点， ∴OG →•OH →=0，则x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴x 1x 2+（x 1+m ）（x 2+m ）＝0， 则2x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2＝0， 即3m 2−122−3m 22+m 2＝0，解得m ＝±√6，故存在这样的直线l ，其方程为y ＝x ±√6．26．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|=2√2，若圆Q方程(x −√2)2+(y −1)2=1，且圆心Q 满足|QF 1|+|QF 2|＝2a ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）过点P （0，1）的直线l 1：y ＝kx +1交椭圆C 1于A 、B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C 、D 两点，M 为线段CD 中点，若△MAB 的面积为6√25，求k 的值．【分析】（Ⅰ）由题意焦距及焦点在x 轴的焦点坐标，和Q 坐标即可求出，a ，c 再b 2＝a 2﹣c 2，即可写出椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长AB ，再由题意直线CD ，联立圆，设而不求求出CD 的中点M 坐标，再用点到直线的距离公式求出M 到直线AB 的距离，由面积求出参数k 的值．解：（Ⅰ）由题意可知：F 1(−√2，0)，F 2(√2，0)，Q(√2，1)，c =√2，∴2a ＝|QF 1|+|QF 2|＝4⇒a ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝2， ∴椭圆C 1的方程为x 24+y 22=1；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =kx +1x 2+2y 2=4 消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kx ﹣2＝0，△＝16k 2+8（2k 2+1）＝32k 2+8＞0，x 1+x 2=−4k 1+2k2，x 1x 2=−21+2k2，∴|AB|=√1+k 2|x1−x 2|=√1+k 2⋅√32k 2+81+2k2，∵M 为线段CD 中点，∴MQ ⊥CD ， 又∵l 1⊥l 2，MQ ∥AB ，∴S △MAB ＝S △QAB ， 又点Q 到l 1的距离d =√2k|√k +1，∴S △MAB=12|AB|⋅d =2√k 2(4k 2+1)1+2k2=6√25 ∴28k 4−47k 2−18=0⇒(k 2−2)(28k 2+9)=0⇒k 2=2⇒k =±√2．此时l 2：y =±√22x +1，圆心Q 到l 2的距离h =|±√22×√2−1+1|√12+1=√23＜1，成立；综上：k =±√2．即为所求． 27．设函数f （x ）=x 22−klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 【分析】（1）利用f '（x ）≥0或f '（x ）≤0求得函数的单调区间并能求出极值； （2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况． 解：（1）由f （x ）=x 22−klnx(k ＞0) f '（x ）＝x −k x =x 2−k x由f '（x ）＝0解得x =√kf （x ）与f '（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，√k ）√k （√k ，+∞）f '（x ） ﹣ 0+f （x ）↓k(1−lnk)2↑所以，f （x ）的单调递增区间为（√k ，+∞），单调递减区间为（0，√k ）； f （x ）在x =√k 处的极小值为f （√k ）=k(1−lnk)2，无极大值．（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （√k ）=k(1−lnk)2． 因为f （x ）存在零点，所以k(1−lnk)2≤0，从而k ≥e当k ＝e 时，f （x ）在区间（1，√e ）上单调递减，且f （√e ）＝0 所以x =√e 是f （x ）在区间（1，√e ）上唯一零点．当k ＞e 时，f （x ）在区间（0，√e ）上单调递减，且f(1)=12＞0，f(√e)=e−k2＜0， 所以f （x ）在区间（1，√e ）上仅有一个零点．综上所述，若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 28．（理科）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间与最值；（Ⅱ）若x ∈（0，+∞），不等式x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0恒成立，求a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，最值即可；（Ⅱ）根据x ≥lnx +1，得到x 2e x ≥2lnx +x +1，若x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0在x ∈（0，+∞）恒成立，则a ≤x 2e x−2lnx−1x，替换求出a 的范围即可．解：（I ）已知f （x ）＝lnx ﹣x ， 则f′(x)=1x −1=1−xx，x ∈（0，+∞）．…………………………………………（1分） 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）单调递增；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）单调递减．………………………………………… 所以f （x ）max ＝f （1）＝﹣1，f （x ）无最小值．………………………………………… （II ）由（I ）可知，lnx ﹣x ≤﹣1，即x ≥lnx +1，………………………………………… 则x 2e x ≥ln （x 2e x ）+1，即x 2e x ≥2lnx +x +1．………………………………………… 若x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0在x ∈（0，+∞）恒成立，则a ≤x 2e x−2lnx−1x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为x 2e x≥2lnx +x +1，所以x 2e x −2lnx−1x≥(2lnx+x+1)−2lnx−1x=1当且仅当x 2e x ＝1时，等号成立．…………………………………………… 故a ≤1，即a 的取值范围为（﹣∞，1]．………………………………………… 一、选择题29．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρcos 2θ＝a sin θ（a ＞0），以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标，直线l 的参数方程为{x =2−√22ty =−1+√22t（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P （2，﹣1），若|PM |、|MN |、|PN |成等比数列，求a 的值．【分析】（Ⅰ）由互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，消去参数t 可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）立参数t 的几何意义以及等比数列知识可得．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为：2cos 2θ＝a ρsin θ，可得曲线C 的直角坐标方程为：x 2＝ay （a ＞0）．消去参数t 可得直线l 的普通方程为：x +y ﹣1＝0．（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入抛物线并整理得：t 2﹣（4√2+√2a ）t +（8+2a ）＝0， △＝2a 2+8a ＞0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则由t 1+t 2＝4√2+√2a ＞0，t 1t 2＝8+2a ＞0，知t 1＞0，t 2＞0， ∴|MN |＝|t 1﹣t 2|，|PM |＝t 1，|PN |＝t 2， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴（t 1﹣t 2）2＝t 1t 2， （t 1+t 2）2＝5t 1t 2，∴（4√2+√2a ）2＝5（8+2a ）， 解得a ＝1或a ＝﹣4（舍），∴a ＝1． [选修4-5：不等式选讲]30．设函数f （x ）＝|1﹣x |﹣|x +3|． （1）求不等式f （x ）≤1的解集；（2）若函数f （x ）的最大值为m ，正实数p ，q 满足p +2q ＝m ，求2p+2+1q的最小值．【分析】（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）先根据分段函数的单调性求出最大值可得m ＝4，再通过变形后使用基本不等式可得最小值．【解答】解（1）不等式f （x ）≤1⇔|1﹣x |﹣|x +3|≤1⇔{x ≤−31−x +x +3≤1或{−3＜x ＜11−x −x −3≤1或{x ≥1x −1−x −3≤1， 解得x ≥−32，故原不等式的解集为{x |x ≥−32}；（2）∵f （x ）={4，x ≤−3−2x −2，−3＜x ＜1−4，x ≥1，∴f （x ）max ＝4，∴m ＝4，∴p +2q ＝4，p ＞0，q ＞0，∴p +2+2q ＝6， ∴2p+2+1q =（2p+2+1q）•p+2+2q6=16（2+2+4q p+2+p+2q ）≥16（4+2√4q p+2⋅p+2q ）=16（4+4）=43， ∴2p+2+1q的最小值为43，当且仅当p ＝1．q =32时取等．。

高考模拟练习——青海省西宁市2021-2022学年高三上学期期末联考数学(理)试题(含答案解析)

高考模拟练习——青海省西宁市2021-2022学年高三上学期期末联考数学(理)试题(含答案解析)
A． B． C． D．
6．我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为（）
由（1）及已知可得 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
即
可取 .
设 是平面 的法向量，则
即 可取 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【名师点睛】
高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
15．64.
【分析】
将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．
19．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且 .
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A−PB−C的余弦值.
20．设函数 .
（Ⅰ）求 的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最值.
21．已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)在函数 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.

青海省西宁市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

青海省西宁市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

青海省西宁市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A ．2 B ．2C ．10D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|2510z i i =-⋅+=⨯=，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题. 2．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位 【答案】D 【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 3．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 4．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.【详解】 由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A 【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.5．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．【答案】A 【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 1|，即有24c +2224b c a ＞c 1， ∴22b a＞3，即b 1＞3a 1， ∴c 1﹣a 1＞3a 1，即c ＞1a ． 则e=ca＞1． ∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）． 故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量a b +,a b -的坐标，然后由||||a b a b +=-可求出参数m 的值. 【详解】由向量(1,4)a =，(2,)b m =-，则()1,4a b m +=-+，()3,4a b m -=- ()22||1+4a b m +=+，()22||3+4a b m -=-又||||a b a b +=-，则()()22221+4=3+4m m +-，解得12m =. 故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.7．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】 【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.8．若31nx x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.9．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．2- B ．2C ．43-D ．43【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解. 【详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >，由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-， 所以015PM x =+=，解得04x =， 把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，04y =±，因为00y >，所以04y =，所以点M 坐标为()1,4-， 代入斜率公式可得，40211MF k -==---. 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.10．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C．2D【答案】A 【解析】 【分析】设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y pp==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2pF ， 设200(,),(,)2y P y M x y p， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM的斜率020022144OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}， 所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7} B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}， 故AC ＝{1，4，5，6}，所以()AB C ⋃＝{1，2，3，4，5，6}.故选：C. 【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.12．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二) (含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二) (含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二)一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.若集合A={2,3，4}，B={x|1+x>3}，则A∩B=()A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2.已知a，b∈R，3+ai=b−(2a−1)i，则()A. b=3aB. b=6aC. b=9aD. b=12a3.已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“l//α”是“l⊥m”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n(n≤9,n∈N∗)个圆环所需的最少移动次数，｛a n｝满足a1=1，且则解下4个圆环所需的最少移动次数为A. 7B. 10C. 12D. 225.已知等比数列{a n}中的各项都是正数，且a1,12a3,2a2成等差数列，则a10+a11a8+a9=A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26.2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为()A. 13B. 23C. 14D. 347.已知(x+1)5(ax+1)的展开式中x5的系数是−4，则实数a的值为()A. −1B. 1C. 45D. −458.阿基米德(公元前287年—公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( )A. 43πB. 16πC.163π D.323π9. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+140的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框内②处应填的语句分别是( )A. i >40?，n =n +1B. i >20?，n =n +2C. i >40?，n =n +2D. i =20?，n =n +210. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n ⃗ =(2,1)，则(m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ )(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )等于( ) A. (−12,0) B. 4 C. (−3,0) D. −1211. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF//平面BB 1D 1D ，则EF 长度的最大值为( )A. √6B. √5C. 2D. √312. 已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( )A. 4B. 2√3C. 3D. 3213.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为()A. 2B. 32C. 3√55D. √5214.已知函数f(x)的图象关于x=−1对称，且f(x)在(−1,+∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)=f(a51)，则{a n}的前100项的和为()A. −200B. −100C. 0D. −5015.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n}满足a1=−1，且S nn =2×a nn+1，(其中S n为{a n}的前n项和)，则f(a5)+f(a6)=()A. −3B. −2C. 3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.√6+√7与2√2+√5的大小关系为________．17.在一个半径为4的圆内任意选取一点P，则P到圆心的距离d∈(1,3)的概率为________．18.已知△FAB中，点F的坐标为(1,0)，点A，B分别在图中抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是．19.已知过点A(a,0)作曲线C:y=xe x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是__________．20.已知函数f(x)=ax3−x+2的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,6)，则a=____.三、解答题（本大题共10小题，共118.0分）21.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2−c2=8，△ABC的面积为2√3．(1)求角C的大小；(2)若c=2√3，求sinA+sinB的值．22.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80,100]的为优质品，现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制成如下图所示的频率分布直方图：(1)设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出肘所在的分组区间：(2)请完成下面的列联表(单位：件)(把有关结果直接填入下面的表格中)：A型节排器B型节排器总计优质品非优质品总计5005001000(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为A、B两种不同型号的节排器性能质量有差异？K2=n(ad−bc)2，其中n+a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.82823.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1=√6，AB⊥B1C.(1)求证：AO⊥平面BB1C1C；(2)设∠B1BC=60°，若直线AB与平面BB1C1C所成的角为45°，求三棱锥A1−AB1C的体积．24.如图，三棱锥P−ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．(I)求证：平面PAC⊥平面PBC；(II)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．25.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当直线l的斜率为√3时，求△POQ的面积；(Ⅲ)在x轴上是否存在点M(m,0)，满足|PM|=|QM|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．26.设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|=√3，△BF1F2为直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．27.设函数f(x)=x2−klnx，k>0．2(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,√e]上仅有一个零点．28.已知函数f(x)=x2+alnx．(1)当a=−2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若x∈[1,+∞)时，f(x)≥3−2恒成立，求实数a的取值范围．x29. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =cosαy =√3sinα(α为参数)，在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为√22ρcos(θ+π4)=−1．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M(0,−1)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求线段AB 的距离．30. 设函数f(x)=|1−x|−|x +3|．(1)求不等式f(x)≤1的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，正实数p ，q 满足p +2q =m ，求2p+2+1q 的最小值．。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(一) (含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(一) (含答案解析)

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(一)一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={2,3，4}，B={x|1+x>3}，则A∩B=()A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2.已知a，b∈R，(a−i)i=b−2i，则a+bi的共轭复数为()A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3.若向量a⃗，b⃗ ，c⃗满足a⃗//b⃗ 且a⃗⊥c⃗，则c⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=()A. 4B. 3C. 2D. 04.下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A. y=cos2x，x∈RB. y=log2|x|，x∈R且x≠0C. ，x∈RD. y=x3+1，x∈R5.设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为lcm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为()A. 14(1−p)B. 11−pC. 11−4pD. 41−p7.函数f(x)=xsinx的图象大致是()A. B.C. D.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为(35,45)和(−45,35)，则cos(α+β)的值为()A. −2425B. −725C. 0D. 24259.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ=()A. −π4B. π6C. π3D. 5π1210.用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为()A. 2B. √3C. √2D. 111.已知f(x)=sin(2x−φ)(0<φ<π2)在[0,π3]上是增函数，且f(x)在(0,7π8)有最小值，则φ的取值范围是()A. [π6,π2) B. [π6,π4) C. [π3,π2) D. [π4,π3)12. 设P 是圆(x −3)2+(y +1)2=4上的动点，Q 是直线x =−3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A. 6B. 4C. 3D. 213. P 是抛物线y 28=x 上的一个动点，Q 是圆(x −3)2+(y −1)2=1上的一个动点，N(2,0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. √2+114. 已知函数f(x)是定义在R 上周期为3的周期函数，当x ∈[0,3)时，f(x)=|x 2−2x +12|，则函数f(x)在[−3,4]上的零点的个数为( )A. 8B. 7C. 6D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）15. 某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，a ，b 满足约束条件{2a −b ≥5,a −b ≤2,a <7,若这所学校今年计划最多招聘教师x 名，则x =_____________．16. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA =4，AC =√3，BC =1，E ，F分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥B −EFC 的体积为______．17. 已知双曲线的右焦点为F ，以F 为圆心，以｜OF ｜为半径的圆交双曲线C 的右支于P ，Q 两点(O 为坐标原点)，ΔOPQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 18. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为ba 的直线与曲线C 交于点P ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线C 的离心率为______．三、解答题（本大题共11小题，共123.0分）19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA−sinB sinC=b+ca+b ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求4sinB −cosC 的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足：2S n=1−a n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=a n+2n−1，求数列b n的前n项和T n21.某中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：(1)根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件发生的概率．22.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．(Ⅰ)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；(Ⅱ)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望．23. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB =60°的菱形，AC ∩BD =O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，E 是O 1A 的中点． (1)证明OE//平面O 1BC ； (2)求点E 到平面O 1BC 的距离．24. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上一点，当∠F 1PF 2=π3时，△PF 1F 2面积达到最大，且最大值为√3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l ：y =x +m 与y 轴交于点Q ，与椭圆交于M ，N 两点，若MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值．25.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(−1,2√33)在椭圆C上，|PF2|=4√33，过点F1的直线l与椭圆C分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若△OMN的面积为1211，O为坐标原点，求直线l的方程．26.设函数f(x)=ln x−2mx2−n(m,n∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值−ln2，求m+n的最小值．27.已知函数f(x)=m(x2−1)x−2lnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若m=1，证明f(x)有且只有三个零点．228.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数).以坐标原点为极点，)=1．x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)直线l与曲线C相交于A，B两点，设点P为C上异于A，B的一点，当△PAB的面积最大时，求点P到直线l的距离．29.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

青海省西宁三校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}2．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．3．已知是第二象限角，则=（）A．B．C．D．4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．35．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A．种B．种C．种D．种6．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则log24⊗（）﹣1的值为（）A．B．1 C．D．27．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣8．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．若I为△ABC的内心，则•的值为（）A．6 B．10 C．12 D．159．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（）A．．1个B．2个C．．3个D．．4个11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．D．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设x，y满足，则z=x+y的最小值为．14．已知F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为．15．设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式的常数项是．16．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1，求数列的前n项和T n．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：2-1-c-n-j-y假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（1）求C的方程；（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．21．已知函数f（x）=alnx+（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若{x|f（x）≤0}=[b，c]（其中b＜c），求a的取值范围，并说明[b，c]⊆（0，1）．一、选修4-1：几何证明选讲请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．（1）求证：AC=2AB；（2）求AD•DE的值．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．一、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．故选B．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．2．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数==为纯虚数，∴2a﹣1=0，2+a≠0，解得a=．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．3．已知是第二象限角，则=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由诱导公式化简可得，由平方关系和条件求出sinα，由商的关系求出tanα，利用两角和的正切函数求出的值．2·1·c·n·j·y【解答】解：由得，，因为α是第二象限角，所以sinα==，则=，所以====，故选：A．【点评】本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，注意三角函数值的符号，属于中档题．4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A．种B．种C．种D．种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】确定参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得结论．【解答】解：因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得×54种情况，故选：D．【点评】本题考查排列组合知识的运用，考查乘法原理，比较基础．6．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则log24⊗（）﹣1的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】程序框图．【专题】新定义；图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a⊗b=的值，由已知比较两数的大小，从而即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数a⊗b=的值，4=2＜（）﹣1=3．∵log24⊗（）﹣1==1．∴log2故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和新定义函数，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．7．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由S+a2=（b+c）2，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解出即可．【解答】解：∵S+a2=（b+c）2，∴S=b2+c2﹣a2+2bc，∴=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解得cosA=﹣或cosA=﹣1．cosA=﹣1舍去．∴cosA=．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．若I为△ABC的内心，则•的值为（）A．6 B．10 C．12 D．15【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得，∠A=，cosC=，利用二倍角的余弦公式求得cos∠ICB的值．用面积法求得三角形的内切圆半径r，再利用直角三角形中的边角关系求得CI的值，可得•=||•||•cos∠ICB 的值．【解答】解：由题意可得，∠A=，cosC==，且I为三角形ABC三内角平分线的交点，∴∠ICB=∠C，∴cosC==2cos2∠ICB﹣1，求得cos∠ICB=．=AB•AC=6=•（AB+AC+BC）r=×12×r，设内切圆的半径为r，由S△ABC求得r=1．再根据sin∠ICB===，∴CI=．∴•=||•||•cos∠ICB=•5•=15，故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，两个向量的数量积的定义，属于中档题．9．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，B就是异面直线BA1与AC1所成的角，∠DA1又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．10．下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（）A．．1个B．2个C．．3个D．．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计；简易逻辑．【分析】①这样的抽样是系统抽样，即可判断正误；②利用方差的计算公式及其性质，即可判断正误；③利用正态分布的对称性可得：P（﹣l＜ξ＜0）=，即可判断正误；④利用斜率的意义，即可判断正误．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）==﹣p，正确；④在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确．其中正确的命题个数是3．故选：C．【点评】本题考查了概率统计的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】由题意可判断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log a（x+1），画出f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图，将y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f （x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），令x=﹣1，则f（1）=f（﹣1）﹣f（1），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）=0．∴f（x）=f（x+2），则函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，又∵当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，解得：0＜a＜，故选A．【点评】本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．14．已知F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦距与椭圆的通经相等列出方程，然后求解椭圆的离心率．【解答】解：由题意椭圆=1，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可知：2c=，可得b2=ac=﹣c2+a2，即：e=1﹣e2，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．15．设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式的常数项是﹣160 ．【考点】二项式系数的性质；定积分．【专题】导数的概念及应用；二项式定理．【分析】求定积分求得a的值，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r值，代入通项求得常数项．【解答】解：a=（sinx+cosx）dx==2．∴（a﹣）6=．其通项==．由3﹣r=0，得r=3．∴二项式（a﹣）6的展开式的常数项是．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了定积分，考查了二项式定理，关键是熟练掌握二项展开式的通项，是基础题．16．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是（﹣2018，﹣2015）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】根据题意，构造函数g（x）=x3f（x），x∈（﹣∞，0），利用导数判断g（x）的单调性，再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0化为g（x+2015）＞g（﹣3），利用单调性求出不等式的解集．【解答】解：根据题意，令g（x）=x3f（x），其导函数为g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]，∵x∈（﹣∞，0）时，3f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0可化为（x+2015）3f（x+2015）＞（﹣3）3f（﹣3），即g（x+2015）＞g（﹣3），∴0＞x+2015＞﹣3；解得﹣2015＞x＞﹣2018，∴该不等式的解集是为（﹣2018，﹣2015）．故答案为：（﹣2018，﹣2015）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，a n＞0则，得=2n+1∴an法二：∵{a n}是等差数列且，∴，又∵a n＞0∴a3=7．…∵，﹣a3=2，∴a n=a3+（n﹣3）d=2n+1．∴d=a4（Ⅱ）∵b n+1﹣b n=a n+1且a n=2n+1，﹣b n=2n+3∴bn+1当n≥2时，b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3=n（n+2），当n=1时，b1=3满足上式，b n=n（n+2）∴=．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）a=0.015；…s12＞s22．…（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…所以．…（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．所以X的分布列为X 0 1 2 3P 0.343 0.441 0.189 0.027…所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．【分析】（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD 得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE 于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．【解答】解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•，解之得OE=∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2即PD：AD的值为．【点评】题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（1）求C的方程；（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E 的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点．【解答】解：（1）由题意知F（，0），设D（t，0）（t＞0），则FD的中点为（，0），因为|FA|=|FD|，由抛物线的定义知：3+=|t﹣|，解得t=3+p或t=﹣3（舍去）．由=3，解得p=2．所以抛物线C的方程为C的方程为y2=4x．（2）由（1）知F（1，0），设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，+2，0），故直线AB的斜率为﹣，∴D（x1因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y=﹣x+b，代入抛物线方程得y2+y﹣=0，由题意△=0，得b=﹣．设E（x2，y2），则x2=，y2=﹣．当y12≠4时，k AE=，可得直线AE的方程为y﹣y1=（x﹣x1），由y12=4x1，整理可得y=（x﹣1），直线AE恒过点F（1，0），当y12=4时，直线AE的方程为x=1，过点F（1，0），所以直线AE过定点F（1，0）．【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，定点问题，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx+（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若{x|f（x）≤0}=[b，c]（其中b＜c），求a的取值范围，并说明[b，c]⊆（0，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过a的范围，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ），直接求解a＞e．当a＞e时．构造函数g（x）=x﹣2lnx（x≥e），求出导数，当x＞e时，推出然后求解bc的范围，即可说明[b，c]⊆（0，1）．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）．…（ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．…（ⅱ）当a＞0时，令f′（x）=0，得．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表xf′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当a＜0时，函数f（x）在区间（0，+∞）内是减函数，所以，函数f（x）至多存在一个零点，不符合题意．…当a＞0时，因为f（x）在内是减函数，在内是增函数，所以要使{x|f（x）≤0}=[b，c]，必须，即．所以a＞e．…当a＞e时，．令g（x）=x﹣2lnx（x≥e），则．当x＞e时，g′（x）＞0，所以，g（x）在[e，+∞）上是增函数．所以当a＞e时，g（a）=a﹣2lna＞g（e）=e﹣2＞0．所以．…因为，，f（1）=1＞0，所以f（x）在内存在一个零点，不妨记为b，在内存在一个零点，不妨记为c．…因为f（x）在内是减函数，在内是增函数，所以{x|f（x）≤0}=[b，c]．综上所述，a的取值范围是（e，+∞）．…因为，，所以[b，c]⊆（0，1）．…【点评】本题考查函数的导数判断函数的单调性，函数的最值的求法，考查分类讨论以及分析问题解决问题的能力．一、选修4-1：几何证明选讲请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．（1）求证：AC=2AB；（2）求AD•DE的值．【考点】相似三角形的判定．【专题】推理和证明．【分析】（1）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；（2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．【解答】解：（1）∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角∴△ABP∽△CAP…∴∴AC=2AB…（2）由切割线定理得：PA2=PB•PC∴PC=20又PB=5∴BC=15…又∵AD是∠BAC的平分线∴∴CD=2DB∴CD=10，DB=5…又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，﹣t2|==，∴|AB|=|t1∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。

相关文档
最新文档