排列数公式的证明
高中数学选择性必修三 6 2 2 排列数
6.2.2排列数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导排列数公式.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 通过排列数公式的学习，提升数学抽象素养及逻辑推理素养.新知探究在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？问题上述情景中的问题能否用一个公式来表示？提示上述问题情景中的问题可以用公式A2929来表示．1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示.2．排列数公式注意排列数公式的特征：m个连续自然数之积；最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！.3．全排列将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是n个元素的全排列数公式可以写成：A n n＝n!，另外规定，0！＝1.拓展深化[微判断]1．排列与排列数的含义相同．(×)提示“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．2．从4个不同元素中任取3个元素的排列数为A34＝24.(√)[微训练]1．A39等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案 C2．若A m10＝10×9×…×5，则m＝__________．答案 6[微思考]1．排列数A m n公式的特点是什么？提示第一个因数是n，后面一个因数比它前面的一个少1，最后一个因数是n －m＋1，共m个因数相乘．2．从1，2，3，4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？提示4×3×2＝24(个).题型一 排列数公式及应用【例1】 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且，n <55)；(2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59. (3)证明A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n .(1)解 因为55－n ，56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)元素，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)解 2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1. (3)证明 法一 因为A m n ＋1－A mn＝（n ＋1）！（n ＋1－m ）！－n ！（n －m ）！ ＝n ！（n －m ）！·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 ＝n ！（n －m ）！·mn ＋1－m＝m ·n ！（n ＋1－m ）！＝m A m －1n， 所以A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 法二 A m n ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A m n 个．含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法． 故A m n ＋1＝m A m －1n ＋A m n ， 所以m A m －1n ＝A m n ＋1－A m n .规律方法 排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．【训练1】 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )A ．[2，8]B ．[2，6]C ．(7，12)D ．{8}解析 由A x 8<6A x －28，得8！（8－x ）！<6×8！（10－x ）！，化简得x 2－19x ＋84<0， 解得7<x <12，① 又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0， 所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝8. 答案 D题型二 排队问题【例2】 三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A66种不同的排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有A55种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同的排法．(3)法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A25种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A66种不同的排法，所以共有A25·A66＝14 400(种)不同的排法．法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13·A77种排法和女生排在末位的A13·A77种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A23·A66种不同的排法，所以共有A88－2A13·A77＋A23·A66＝14 400(种)不同的排法．法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A55种不同的排法，所以共有A36·A55＝14 400(种)不同的排法．(4)法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A15·A77种不同的排法；如果首位排女生，有A13种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A13·A15·A66种不同的排法，因此共有A15·A77＋A13·A15·A66＝36 000(种)不同的排法．法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A23·A66种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A88－A23·A66＝36 000(种)不同的排法．规律方法排队问题的相邻、不相邻问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.【训练2】分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．题型三定序问题【例3】五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种．(1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)；(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻)．解(1)首先五个人站成一排，共有A55种排法，其中A，B，C三人的全排列有A33种排法，而A，B，C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共A55 A33＝20(种)．(2)同(1)，不过此题中A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共A55 A22·A22＝30(种)．规律方法在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，则先将这m＋n个元素排成一列，有A m＋nm＋n种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m＋nm＋nA m m种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．【训练3】(1)7人排成一列，甲必须在乙的后面(可以不相邻)，有__________种不同的排法．(2)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有__________个七位数符合条件．解析(1)7人排队，2人顺序固定，∴共有A77A22＝2 520(种)不同的排法．(2)若1，3，5，7的顺序不定，有A44＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的124，故有124A77＝210(个)七位数符合条件．答案(1)2 520(2)210一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．3．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法二、素养训练1．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A．10种B．60种C．125种D．243种解析依题意，满足题意的不同的填法共有A35＝60(种)，选B.答案 B2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析根据甲、乙的位置要求分为两类：第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A 44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法． 答案 B3．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( ) A ．720种 B ．360种 C ．240种D ．120种解析 将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有A 55种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有A 22·A 55＝240(种)．答案 C4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________． 解析 5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A 44＝96(种)． 答案 965．解方程A 42x ＋1＝140A 3x .解 根据题意，原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，（2x ＋1）·2x ·（2x －1）（2x －2）＝140x （x －1）（x －2）， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ∈N *，（2x ＋1）（2x －1）＝35（x －2），整理得4x 2－35x ＋69＝0(x ≥3，x ∈N *)， 解得x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝234∉N *，舍去.基础达标一、选择题1．4·5·6·…·(n －1)·n 等于( )A ．A 4nB ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析 因为A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A n －3n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(n－3)＋1]＝n ·(n －1)(n －2)·…·6·5·4. 答案 D2．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法有( ) A ．60种 B ．48种 C ．36种D ．24种解析 把A ，B 视为一人，且B 排在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A 44＝24(种)排法．答案 D3．某班级从A ，B ，C ，D ，E ，F 六名学生中选四人参加4×100 m 接力比赛，其中第一棒只能在A ，B 中选一人，第四棒只能在A ，C 中选一人，则不同的选派方法共有( ) A ．24种 B ．36种 C ．48种D ．72种解析 若第一棒选A ，则有A 24种选派方法；若第一棒选B ，则有2A 24种选派方法．由分类加法计数原理知，共有A 24＋2A 24＝3A 24＝36(种)选派方法．答案 B4．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析因为A2n＋1－A2n＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n＝5. 答案 B5．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()A．60个B．48个C．36个D．24个解析由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2A44＝48，大于50 000的偶数共有2A33＝12，所以小于50 000的偶数共有48－12＝36(个)．答案 C二、填空题6．从班委会的5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种(用数字作答)．解析文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12(种)方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．答案367．不等式A2n－n＜15的解集为__________．解析由不等式A2n－n＜15，得n(n－1)－n－15＜0，整理得n2－2n－15＜0，解得－3＜n＜5.又因为n≥2且n∈N*，所以n＝2，3，4.2，3，4答案{}8．用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．解析分两类：0夹在1，3之间有A22A33种排法，0不夹在1，3之间又不在首位有A12A22A12A22种排法．所以一共有A22A33＋A12A22A12A22＝28(种)排法．答案28三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．10．4个男同学和3个女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解(1)3个女同学是特殊元素，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有A55种排法．由分步乘法计数原理得，有A33A55＝720(种)不同的排法．(2)先将男同学排好，共有A44种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有A35种方法．故符合条件的排法共有A44A35＝1 440(种)．(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A25种排法．所以共有A44A22A25＝960(种)不同的排法．能力提升11．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为()A．24 B．18C．16 D．10解析第一类，甲是最后一个体验，则有A33种方法；第二类，甲不是最后一个体验，则有A12A22种方法，所以小李旅游的方法共有A33＋A12A22＝10(种)，故选D. 答案 D12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，其中A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．创新猜想13．(多选题)下列等式成立的是( )A ．A 3n ＝(n －2)A 2nB.1n A n n ＋1＝A n －1n ＋1 C ．n A n －2n －1＝A n n D.n n －mA m n －1＝A m n 解析 A 中右边＝(n －2)(n －1)n ＝A 3n ＝左边；C 中左边＝n (n －1)(n －2)×…×2＝n (n －1)(n －2)×…×2×1＝A n n ＝右边；D 中左边＝n n －m ·（n －1）！（n －m －1）！＝n ！（n －m ）！＝A m n ＝右边，只有B 不正确． 答案 ACD14．(多空题)由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数．(1)若x ＝9，则其中能被3整除的共有__________个；(2)若x ＝0，则其中的偶数共有__________个；(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x ＝__________．解析 (1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有2×A 33＝12(个)．(2)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：①0在个位的，有A 23＝6个．②个位是2或4的，有A 12×A 12×A 12＝8个．所以偶数共有6＋8＝14(个)．(3)显然x ≠0，因为1，2，4，x 在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A 13·A 23次，所以这样的数字之和是(1＋2＋4＋x )·A 13·A 23， 即(1＋2＋4＋x )·A 13·A 23＝252， 所以7＋x ＝14，所以x ＝7.答案 (1)12 (2)14 (3)7。
1-1.2.1第2课时排列与排列数公式
栏目导引
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数． 排列数 表示法 乘积 形式 形式 性质 备注
工具
Anm
Anm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) .
排列数 公式
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(2)1！＋2·2！＋3·3！＋„＋n·n!
＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋„＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
[题后感悟]
(1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其
中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样做往往会减少运算量．
数字的两位数？
(2)从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数
字的三位数？
(3)从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数 字的四位数？ 观察以上问题，你认为从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排成一列，有多少种不同的排法？排列数公式是什么？
工具
第一章 计算原理
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2A85＋7A84 An－1m 1· n－mn m A 1.计算：(1) ；(2) . － A88－A95 An－1n 1
－
－
2A85＋7A84 解析： (1) A88－A95 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝ ＝1. 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 An－1m 1· n－mn A (2) － An－1n 1
6.2.2排列数-【精品课件】高中数学人教A版选择性必修第三册
3
学习新知
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做
从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号
表示。
排列数与一个排列相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有
ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，
：
邢
启
强
14
课堂小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成
一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为
完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与
位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以
根据排列的意义写出所有的排列．
讲
(n m)!
(n m)! (n m)!
m
讲
课
人
：
邢
启
强
m
A
n
9
练习1：证明：
证明：
讲
课
人
：
邢
启
强
A 8A 7 A A
8
7
6
7
8
7
6
7
A 8A 7 A 8A 8A A A
8
7
6
7
7
7
7
8
7
6
7
7
7
7
10
巩固练习
3
7
1．与 A10·A7不相等的是( B )
8
问题5：证明：（1）
证明：
（1）
m1
n An-1
排列数公式的应用
3）插空法:
若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即先将“普 通元素”全排列，然后再在排就的每两个元素之间及两端插入 特殊元素。
4）排除法:（一般用在间接法中）
2
例2、 有一辆客车和四辆货车同时去某地，客车不走在最前 面，问这个车队有多少种不同的排法？
解法1：先把受限元素---客车排在后面的四个位置上，有A41
有附加条件的排列应用题的基本解法：
1）优限法:
有关特殊元素“在不在”特殊位置的排列问题，要先找出 “受限位置”与“受限元素”，然后以“受限位置”为主，用 直接法逐位排列之，有时用间接法解之。
2）捆绑法:
若干个元素相邻排列问题，一般用“捆绑法”。先把相邻的 若干元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再 “松绑”，将这若干个元素内部全排列。
解2：考虑体育不排在第1、4节。所以第1，4节可从6门课中选 2门有A62种，则第2，3节从余下的5门中选2门有A52种，由乘法 原理共有A62.A52=600（种).(特殊位置优先考虑） 解3：考虑体育不排在第1、4节。可分两类：（1）体育课不排， 有A64种；（2）体育课排进有P21种，余从6门选3门有A63种，所以 有A21.A63种。
[例4]由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且数字4与5不 相邻的五位数，这种五位数的个数是 72 [分析]本题属于带有附加条件的排列问题，既考查排列概 念，又考查分析问题的能பைடு நூலகம்，由于考虑问题的切入点不同， 因而可以有不同的解法 [方法一]分类计算：（插空加捆绑）符合条件的五位数 可分为下面三类： 1 3 1)4与5之间恰有1个数字，共有 2A3 .A3 =36 个 2)4与5之间恰有2个数字，共有 2A32.A22=24 个 3)4与5之间恰有3个数字，共有 2A33=12 个 其中“2”是4与 5的全排列数
排列数公式
（1）计算：A52 = 20 ，A83 = 336
（2）若 Anm =17×16×‥‥×5×4，
则 m= 17 , n= 14
计算：①A163；②A66；③A63
解：由排列数公式得： A163 =1615 14=3360 A66 =654321=720 A63 =654=120
证明：Anm+m·Anm-1=An+1m
故原式成立．
求下列各式中n值：
①A2n+14=140An3；②3A8n=4A9n-1
解：①原式变形为
(2n+1)2n(2n-1)(2n-2)=140n(n-1)(n-2)
化简得 (2n+1)(2n-1)=35(n-2)
求得 n=3
②原式变形为 3 =4 8! (8 n)!
9! (10 n)!
化简得 (10-n)(9-n)=12
证明：由排列数公式得：
Anm = n! Anm-1= n! An+1m= (n 1)!
(n m)!
(n m 1)!
(n m 1)!
则
Anm
+mAnm-1=
(n
n! m)!
+m
(n
n! m 1)!
=
(n-m+1)
n! (n m 1)!
+m
n! (n m 1)!
n!
(n 1)!
=(n+1) (n m 1)! = (n m 1)! =An+1m
①什么叫一个排列？
②什么叫排列数？
③如何计算一个排列问题的所 有排列数？
①求An2
第一位 第二位
n
n-1
分步：第一步，先填第一个位置，可从n个元素 中任取一个填空，有n种方法；
1.2.1排列
A31 A32 A33 15
变式：将题中的“3面旗”改为“3色旗”，
结论如何？
3 32 33 38
课堂练习：
1、20位同学互通一封信，那么通信次数是多
少？
A220 380(次)
2、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个
没有重复数字的正整数？
A61 A62 A63 A64 A65 A66 1956(个)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分) 【排列数】所有排列总数
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
例题与练习 例1 计算：
(1)A136 161514 3360
(2)A66 =6！=6×5×4×3×2×1=720
(3) 8!7! 7 5!
1.2.1 排列
分类加法计数原理：
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案
中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同 的方法 ……在第n类方案中有mn种不同的方法.那
么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种
不同的方法. 分步乘法计数原理：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有
m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……， 做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共
变：1、用0到9这十个数字，可以组成多少 个没有重复数字的且能被5整除的三位数？
A92 A81 A81
一 个个数，字有中任A91选种2选个法，，有再A92排种十选位法和，个根位据上分的步数计字数，原可理以，从所余求下三的位9
数的个数是： A91 A92 648
(特殊位置预置法)
分析2：所求的三位数可分为：不含数字0的，有 A93 个；含有数字
6.2.2 排列数
2 题型探究
PART TWO
一、排列数公式的应用
命题角度 1 利用排列数公式求值 例 1－1 计算：A315和 A66.
解 A315＝15×14×13＝2 730， A66＝6×5×4×3×2×1＝720.
命题角度2 利用排列数公式化简 例1－2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；
了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有 A15·A77种不同的排法；
如果首位排女生，有
A
1 3
种
排
法
，
那
么
末
位
就
只
能
排
男
生
，
这
样
可
有
A13·A15·A66种不同的排法，
因此共有 A15·A77＋A13·A15·A66＝36 000(种)不同的排法.
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有 A88种不同的排法，从 中扣除两端都是女生的排法 A23·A66种，就得到两端不都是女生的排法种数.
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置上，有 A26种方法； 第二步，从剩下的 5 名同学中选 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A26·A35＝1 800(种)方法.
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
解 (插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的 男生之间留出一个空位， 这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再 把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生， 就能保证任意两个女生都不相邻， 由于五个男生排成一排有 A55种不同排法，对于其中任意一种排法， 从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有 A36种排法，因此共有 A55·A36＝14 400(种)不同的排法.
高中数学苏教版选择性必修第二册§7.2第2课时排列数公式
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以 A1nAmn－－11＝Amn ，故选 AD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.已知 A32n＝2A4n＋1，则 logn25 的值为__2___.
解析 因为 A32n＝2A4n＋1， 所以2n·(2n－1)·(2n－2)＝2(n＋1)·n·(n－1)·(n－2)， 由题意知n≥3，整理方程， 解得n＝5，所以logn25＝2.
例1 计算下列各题： (1)A310； 解 A310＝10×9×8＝720.
A59＋A49 (2)A610－A510. 解 AA61590＋ －AA49510＝10×99××88× ×77× ×66× ×55＋ －91× 0×8× 9×78××67×6 ＝109××98××87××76××6×5＋51－ 1＝106×4＝230.
课堂小结
1.知识清单： (1)排列数、排列数公式. (2)阶乘的概念及性质. (3)与排列数公式有关的证明问题. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：忽视 Amn 中“n，m∈N*”这个条件.
随堂演练
1.A39等于 A.9×3 B.93
√C.9×8×7
D.9×8×7×6×5×4×3
1234
2.4×5×6×…×(n－1)×n等于
D.(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
解析 A620－m是指从 20－m 开始依次小 1 的连续的 6 个数相乘，即(20－ m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)·(15－m).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.89×90×91×92×…×100可表示为
排列数、组合数公式常见题型例析
排列数、组合数公式常见题型例析广东省佛山市顺德区沙滘中学 528315 何健文纵观近10年高考，有关排列数、组合数公式的运用一直都是出题的冷点，试题偶有所见，大都是以选择题或填空题形式出现，属容易题，但2001年全国高考题的第一大题的出现，令众多考生束手无策，也引起了师生们的极大关注。
本文拟从以下两方面介绍有关排列数、组合数公式常见题型和解题分析，供广大读者参考。
一、 排列数、组合数公式及变形公式1、排列数公式mn A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=)!(!m n n -，特别地nn A =n(n-1)(n-2)…3•2•1，规定0！=1；2、组合数公式=mn C 123)1()1()2)(1(⋅⋅⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅--m m m n n n n =m m mn A A =)!(!!m n m n -.注意：m n ≥且m n ,都是正整数，m 可以为0，即0n C =1.3、两个重要性质(1) =m n C mn n C -，为了简化计算，当m 2n >时，通常将m n C 转化为mn n C -； (2) m n C +1-m n C =m n C 1+.由这些性质可以得到几个常用变形公式（组合恒等式）：(ⅰ) =m n C 11--m n C m n =1111++++m n C n m (ⅱ) 0n C +1n C +2n C +…+nn C =n 2.(ⅲ) (n+1)!=(n+1)﹒n!=n ﹒n!+n!. ⇒ n ﹒n!= (n+1)﹒n!－n!.(ⅳ) n n C +n n C 1++n n C 2++…+n m n C +=11+++n m n C 等等. 二、排列数、组合数公式常见题型例析 1、 求值例1 求n n C -7+nn C -+91的值.解：由题意可知, 原式中的正整数n 必须满足下列条件： 0≤7―n ≤n,0≤9-n ≤n+1, 解得4≤n ≤9. (n ∈N *) n ∈N *. ∴n=4, 5, 6, 7.将n=4, 5, 6, 7.代入n n C -7+nn C -+91可得到分别为5，25，41，29.评析 本题从组合数成立的条件（0≤m ≤n 且m n ,都是自然数）入手，既找到了解题路，又使问题 完满地得到了解决，可谓一举两得. 另一方面，我们从中又得到一个启发：利用组合数的性质解决某些问题，要比纯用组合数公式解决问题方便的多.例2 计算34C +35C +36C +…+310C . 解：利用组合数性质：m n C 1+=mn C +1-m n C . 原式=44C +34C +35C +36C +…+310C ―44C=45C +35C +36C +…+310C ―44C=…=411C ―1 =329.评析 正确使用组合数的性质及组合数的计算公式是解本题的关键。
排列数公式推导过程
排列数公式推导过程咱今天就来好好唠唠排列数公式的推导过程。
在开始之前，先给大家说个事儿。
我记得有一次，我去一个商场，那里正在搞抽奖活动。
抽奖箱里放着不同颜色的小球，分别是红、黄、蓝、绿、紫五种颜色。
工作人员说，从这五个小球中选三个出来，而且选出来的顺序不同就算不同的结果。
这就跟咱们要讲的排列数有点像啦。
那啥是排列数呢？简单说，就是从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列的个数，就叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n,m) 。
那这排列数公式是咋来的呢？咱们一步步来看。
假设咱们要从 n 个不同元素里选 1 个出来进行排列，那有几种选法？很简单，那不就是 n 种嘛！所以 A(n,1) = n 。
那要是从 n 个里面选 2 个出来进行排列呢？咱们先选第一个元素，有 n 种选法；选完第一个，再选第二个的时候，就只剩下 n - 1 个元素可以选啦，所以有 n - 1 种选法。
那么从 n 个不同元素中选出 2 个元素的排列数 A(n,2) 就等于 n×(n - 1) 。
再往复杂点说，要是从 n 个不同元素中选出 3 个元素进行排列呢？咱们还是一步步来，先选第一个，有 n 种选法；选完第一个，再选第二个的时候，就剩下 n - 1 个元素，所以有 n - 1 种选法；选完第二个，选第三个的时候，就剩下 n - 2 个元素可以选啦，所以有 n - 2 种选法。
这么一来，从 n 个不同元素中选出 3 个元素的排列数 A(n,3) 就等于n×(n - 1)×(n - 2) 。
依此类推，要是从 n 个不同元素中选出 m 个元素进行排列，第一个元素有 n 种选法，第二个元素有 n - 1 种选法，第三个元素有 n - 2 种选法……第 m 个元素就有 n - m + 1 种选法。
所以，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 A(n,m) 就等于n×(n - 1)×(n - 2)×…×(n - m + 1) 。
高中数学 选修3(人教A版)课件6.2.2排列数
(3)方法一(间接法)：甲在左端的站法有 A55 种，乙在右端的站法 有 A55 种，而甲在左端且乙在右端的站法有 A44 种，故共有 A66 －2A55 ＋A44 ＝504 种站法．
B．A1108 D．A1128
解析：因为 18×17×16×…×9×8 是从 18 开始，表示 11 个数 字的乘积的一个式子，
所以 18×17×16×…×9×8＝A1118 .故选 C. 答案：C
2.已知 A2n＋1 －An2 ＝10，则 n 的值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7
解析：A2n＋1 －A2n ＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，化简得 2n＝10，所以 n＝5.故选 B.
题型二 与排列数有关的证明及解方程(或不等式) ——师生共研
例 1 求证：(1)Ann ＝Amn ·Ann－ －mm ；
（2n）！ (2) 2n·n！
＝1·3·5·…·(2n－1).
证明：(1)Amn ·Ann－ －mm ＝（n－n！m）！ ·(n－m)！＝n！＝Ann ，
故原等式成立．
（2n）！ (2) 2n·n！
(2)原不等式即
9！ （9－x）！
6×9！ >（9－x＋2）！
，其中 2<x≤9，x∈N*，
即 x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，
∴x<8 或 x>13.
又 2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*.
故 x＝3，4，5，6，7.
排列与排列数公式
排列与排列数公式1．排列(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列．2．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数表示法A m n全排列n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m＝n，即有A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1阶乘正整数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！表示排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式A m n＝n！（n－m）！性质A n n＝n！，0！＝1备注n，m∈N*，m≤n排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形式，它是一个数．因此，A m n只代表排列数，而不表示具体的排列．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：AA24＝________，A33＝________．答案：12 6若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．答案：6探究点1 排列的概念判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上．【解】 (1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列．(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．2．判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．探究点2 排列的列举问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．[变条件]若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．[变条件]若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a 1a 2b 1，a 1a 2b 2，a 1a 2b 3，a 1a 2b 4，a 3a 4b 1，a 3a 4b 2，a 3a 4b 3，a 3a 5b 1，a 3a 5b 2，a 3a 5b 3，a 4a 5b 1，a 4a 5b 2，a 4a 5b 3，a 4a 5b 4，共14种．探究点3 排列数的计算或证明(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1. (2)法一：因为A mn ＋1－A mn ＝（n ＋1）！（n ＋1－m ）！－n ！（n －m ）！＝n ！（n －m ）！·(n ＋1n ＋1－m －1) ＝n ！（n －m ）！·m n ＋1－m ＝m ·n ！（n ＋1－m ）！＝m A m －1n ，所以A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .法二：A mn ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A mn 个． 含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法． 故A mn ＋1＝m A m －1n ＋A mn ， 所以m A m －1n ＝A mn ＋1－A mn .排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．1.A m12＝9×10×11×12，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.等式A m 12＝9×10×11×12的右边是4个连续自然数的乘积，且最大数为12，故m ＝4.2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A.n ！（m －n ）！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n n －m ＋1A n －1nD ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D.因为A mn ＝n ！（n －m ）！，A 1n ·A m －1n －1＝n ·（n －1）！[n －1－（m －1）]！＝n ·（n －1）！（n －m ）！＝n ！（n －m ）！，所以A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3.A 345！＝________．解析：A 345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：154．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解：大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.知识结构深化拓展1.判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题． 2．排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)适用m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n 起连续写出m 个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A mn ＝n ！（n －m ）！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n 、m ∈N *，m ≤n ”的运用．[易错提醒] 公式中的n ，m 应该满足n ，m ∈N *，m ≤n ，当m >n 时不成立.1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B.列树形图如下：丙甲—乙乙—甲乙甲—丙丙—甲，共4种． 5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *， 即n ≥3且n ∈N *， 所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6.2A 412＋A 512A 513－A 512＝________． 解析：原式＝2×12×11×10×9＋12×11×10×9×813×12×11×10×9－12×11×10×9×8＝2＋813－8＝2. 答案：27．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 8．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素． 解析：因为x ＝A m4， 所以有m ∈N *且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24， 即集合P 中有3个元素． 答案：39．判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2，3，5，7，9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？ (3)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1?解：(1)是．选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题． (2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．(3)不是．焦点在x 轴上的椭圆，方程中的a 、b 必有a ＞b ，即取出的两个数谁是a ，谁是b 是确定的．10．甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙．若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，共5种．同样甲第一次发球给丙，也有5种情况．由分类加法计数原理，共有5＋5＝10种不同传球方法．[B 能力提升]11．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C. 12．A 2n ＋1与A 3n 的大小关系是( ) A ．A 2n ＋1＞A 3n B ．A 2n ＋1＜A 3n C ．A 2n ＋1＝A 3nD ．大小关系不定解析：选D.由题意知n ≥3，A 2n ＋1－A 3n ＝(n ＋1)n －n (n －1)(n －2)＝－n (n 2－4n ＋1)，当n ＝3时，A 2n ＋1－A 3n ＝6＞0，得A 2n ＋1＞A 3n ，当n ≥4时，A 2n ＋1－A 3n ＜0，得A 2n ＋1＜A 3n ，即A 2n ＋1与A 3n 的大小关系不定．故选D. 13．解下列方程或不等式． (1)3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ； (2)A x9＞6A x －29.解：(1)由排列数公式，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x （x －1）（x －2）＝2（x ＋1）x ＋6x （x －1），①x ≥3，x ∈N *.② 由①，得3x 2－17x ＋10＝0， 解得x ＝5或x ＝23，结合②可知x ＝5是所求方程的根． (2)原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧9！（9－x ）！＞6×9！（9－x ＋2）！，①2＜x ≤9，x ∈N *.②①式等价于(11－x )(10－x )＞6，即x 2－21x ＋104＞0，即(x －8)(x －13)＞0，11 所以x ＜8或x ＞13.结合②得2＜x ＜8，x ∈N *，所以所求不等式的解集为{3，4，5，6，7}．14．(选做题)一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62， 即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。
排列数公式Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：取第一个：有n种取法；取第二个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
组合数公式Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=Cnn=1证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Amn分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
各种排列组合奇怪的数的公式和推导(伪)前言啊复习初赛看到排列组合那块，找个推导都难！真是的！一、排列(在乎顺序)全排列：P(n,n)=n!n个人都排队。
第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!部分排列：P(n,m)=n!-(n-m)!n个人，选m个出来排队，第一个位置可以选n个，…，最后一个可以选n-m+1个，以此类推得：P(n,m)=n*(n-1)*.*(n-m+1)=n!-(n-m)!。
二、组合(不在乎顺序)n个人，选m个人出来。
因为不在乎顺序，所以按排列算的话，每个组合被选到之后还要排列，是被算了m!遍的。
即C(n,m)*m!=P(n,m)故而得：C(n,m)=n!-(m!*(n-m)!)有两条性质：1、C(n,m)=C(n,n-m)。
就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m 个出来不选它是一样的。
2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。
递推式.从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n 个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)三、圆排列圆排：Q(n,n)=（n-1)!n个人坐成一圈有多少种坐法。
想想坐成一圈后，分别以每个位置为头断开，可以排成一个序列，就是将n个人全排列中的一种。
这样可以得到n个序列，但是在圆排中是视为同一种坐法的。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n)，即Q(n,n)=P(n,n)-n=n!-n=(n-1)!部分圆排：Q(n,m)=P(n,m)-m=n!-(m*(n-m)!)推导类似四、重复排列(有限个)：n!-(a1!*a2!*…*ak!)k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2.ak,设n=a1+a2+…+ak，求这n个球的全排列数。
把每种球重复的除掉就好了。
假如第一种球有a1个，那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法，然而它们都是一样的，就是说重复了a1!次。
排列组合公式排列组合计算公式
摆列组合公式 / 摆列组合计算公式2008-07-08 13:30公式 P 是指摆列，从N 个元素取 R 个进行摆列。
公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行摆列。
N-元素的总个数R参加选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝ 9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N 倒数 r 个，表达式应当为 n* （ n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从 n 到（ n-r+1)个数为 n－（ n-r+1)＝r举例：Q1:有从1 到9 合计9 个号码球，请问，能够构成多少个三位数A1:123 和 213 是两个不一样的摆列数。
即对摆列次序有要求的，既属“摆列于P”计算范围。
上问题中，任何一个号码只好用一次，明显不会出现 988,997 之类的组合，我们能够这么看，百位数有 9 种可能，十位数则应当有 9-1 种可能，个位数则应当只有 9-1-1 种可能，最后共有 9*8*7 个三位数。
计算公式＝（P3，9)＝9*8*7,( 从 9 倒数 3 个的乘积）Q2: 有从 1 到 9 合计 9 个号码球，请问，假如三个一组，代表“三国结盟”，能够组合成多少个“三国结盟”A2: 213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只需有三个号码球在一同即可。
即不要求次序的，属于“组合 C”计算范围。
上问题中，将所有的包含摆列数的个数去除去属于重复的个数即为最后组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1摆列、组合的观点和公式典型例题剖析例 1设有 3 名学生和 4 个课外小组．（ 1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，并且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不一样方法解（ 1）因为每名学生都能够参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，所以共有种不一样方法．（2）因为每名学生都只参加一个课外小组，并且每个小组至多有一名学生参加，所以共有种不一样方法．评论因为要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例 2 排成一行，此中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不一样排法共有多少种解依题意，切合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共 3 类，每一类中不一样排法可采纳画“树图”的方式逐个排出：∴切合题意的不一样排法共有9 种．评论依据分“类”的思路，本题应用了加法原理．为掌握不一样排法的规律，“树图”是一种拥有直观形象的有效做法，也是解决心数问题的一种数学模型．例３判断以下问题是摆列问题仍是组合问题并计算出结果．（ 1）高三年级学生会有11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信② 每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不一样的选法②从中选 2 名参加省数学比赛，有多少种不一样的选法（3）有 2，3，5，7， 11，13 ， 17， 19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商能够有多少种不一样的商② 从中任取两个求它的积，能够获得多少个不一样的积（ 4）有 8 盆花：①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不一样的选法②从中选出 2 盆放在教室有多少种不一样的选法剖析（ 1）① 因为每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不一样的两封信，所以与次序相关是摆列；② 因为每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与次序没关，所以是组合问题．其余近似剖析．（ 1）① 是摆列问题，共用了封信；② 是组合问题，共需握手（次）．（ 2）① 是摆列问题，共有（种）不一样的选法；② 是组合问题，共有种不一样的选法．（ 3）① 是摆列问题，共有种不一样的商；② 是组合问题，共有种不一样的积．（ 4）① 是摆列问题，共有种不一样的选法；② 是组合问题，共有种不一样的选法．例４证明．证明左式右式．∴等式建立．，可使评论这是一个摆列数等式的证明问题，采纳阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质变形过程得以简化．例 5 化简．解法一原式解法二原式评论解法一采纳了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二采纳了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例 6 解方程：（ 1）；（ 2）．解（ 1）原方程解得．（ 2）原方程可变成∵，，∴原方程可化为．即，解得第六章摆列组合、二项式定理一、考大纲求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理剖析解决一些简单的问题.2.理解摆列、组合的意义，掌握摆列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识构造三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习摆列组合的基础，掌握此两原理为办理排列、组合中相关问题供给了理论依据 .例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不一样的报名方法共有多少种解： 5 个学生中每人都能够在 3 所高等院校中任选一所报名，因此每个学生都有 3 种不一样的报名方法，依据乘法原理，获得不一样报名方法总合有53×3×3×3×(种3=3)(二)摆列、摆列数公式说明摆列、摆列数公式及解摆列的应用题，在中学代数中较为独到，它研究的对象以及研究问题的方法都和前方掌握的知识不一样，内容抽象，解题方法比较灵巧，历届高考主要考察摆列的应用题，都是选择题或填空题考察.例 2 由数字 1、2、3、4、5 构成没有重复数字的五位数，此中小于 50 000 的偶数共有( )个个个个解因为要求是偶数，个位数只好是 2 或 4 的排法有 P12；小于 50 000 的五位数，万位只好是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P1 3 在首末两位数排定后，中间 3 个位数的排法有 P33，得133312＝个;P P P36( )由此可知本题应选 C.例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不一样的填法有多少种解：将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种，即 214 3，3142，4123；相同将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，所以共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思虑三 )组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考察摆列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考察 .例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中随意拿出 3 台，此中起码有甲型与乙型电视机各 1 台，则不一样的取法共有 ( )种种种种解：抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14·C25种；甲型 2 台乙型1 台的取法有 C24·C15种依据加法原理可得总的取法有C24·C25 +C24·C15=40+30=70(种 )可知本题应选 C.例 5 甲、乙、丙、丁四个企业承包 8 项工程，甲企业承包 3 项，乙企业承包 1 项，丙、丁企业各承包 2 项，问共有多少种承包方式解：甲企业从 8 项工程中选出 3 项工程的方式C38种；乙企业从甲企业精选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C15种；丙企业从甲乙两企业精选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C24种；丁企业从甲、乙、丙三个企业精选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有C22种.3122依据乘法原理可得承包方式的种数有 C 8×C5×C4×C2=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项睁开式的性质说明二项式定理揭露了二项式的正整数次幂的睁开法例，在数学中它是常用的基础知识，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题目出现，主要考察二项睁开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题 .例 6在(x- )10的睁开式中， x6的系数是 ( )-27C4-9C4 B.27C10 D.9C10解设 (x-)10的睁开式中第γ+1项含 x6，γ+1 γ 10-γ γ因 T =C 10x (- ) ， 10-γ=6, γ=4于是睁开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C410(- )4=9C410故本题应选 D.23５２例 7 (x-1)-(x-1)＋(x-1)-(x-1)+(x-1)的睁开式中的 x的系数等于解：本题可视为首项为x-1，公比为 -(x-1)的等比数列的前 5 项的和，则其和为在 (x-1)6中含 x3的项是 C36x3(-1)3=-20x3，所以睁开式中x2的系数是 -2 0.(五)综合例题赏析例 8 若(2x+401223344，则 (a0 2 42 1 32的值为( )) =a +a x+a x +a x +a x+a +a ) -(a +a )解： A.例 9 2 名医生和 4 名护士被分派到 2 所学校为学生体检，每校分派 1 名医生和 2 名护士，不一样的分派方法共有 ( )种种种种解分医生的方法有 P22＝ 2 种，分护士方法有 C24=6 种，所以共有 6×2＝12 种不一样的分派方法。
排列数(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第三册)
若 1,3,5,7 的顺序不定，则 4 个数字有 A44＝24(种)排法，
1
故 1,3,5,7 的顺序一定的排法只占全排列种数的24.
1
故有24×A77＝210(个)七位数符合条件.
6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给
同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
例如：A32 __________
3 2 6 .
A53 ______________
5 4 3 60 .
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
例3
计算：（1）
（2）
（3）
（4） ×
解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210
（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
解析
5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号，方法数为：1
和 2，2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其他号码各为一组，分给 4 人，共有
高中数学第六章计数原理6.2.2排列数课件新人教A版选择性必修第三册
2．计算：A1248 AA614112 ＝________．
8！ 12！ 【解析】方法一：A1248AA164112 ＝41！2××118！！ ＝54！ ！ ＝5.
5！ 方法二：A1248AA614112 ＝（8×71×26××（5）11××（101×2…×1×16×）10×9） ＝5.
答案：5
3．求证：Amn＋1 －Amn ＝mAmn －1 .
(3)把五位数的每个数位看成五个空，数字4，5共有A52 ＝5×4＝20种排法，然后把 数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式．根据分步乘法计数原理， 可知由1，2，3，4，5组成的无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小顺序排列 的五位数有A25 ×1＝20个．
【类题通法】数字排列问题的解题策略 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的 限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决 该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位 子，当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． (2)常用方法：直接法、间接法． (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当进行分类和分 步，尤其注意特殊元素“0”的处理．
【解析】根据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丁丙视为一个元素， 先不管其他限制条件，使其与其他四项工程进行全排列共有A55 种排法，这些排 法中，甲、乙、丙相对顺序共有A33 种，所以满足条件的排法种数是AA5533 ＝20. 答案：20
探究点二 与数字有关的排列问题 【典例2】以下问题最终结果用数字表示 (1)由0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且2，3不相邻的五位数？ (3)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小 顺序排列的五位数？