导数与函数单调性(优质课)
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(完整版)导数与函数的单调性公开课课件
二、解题方法
2020/2/8
13
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3：函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一： f '(x) 2x 2a 0
方法二：二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、导函数与原函数的图象； 3、求函数的单调区间； 4、求参数的取值范围.
当a 0时,增区间(, )，无减区间；
当a 0时,增区间(, a), (1, )，减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3：已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增，
x
求a的取值范围.
解：
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
导数与函数的单调性
教师：段茂森
知识梳理
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， 1．若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_； 2．若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_；
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
二、求函数的单调区间
2020/2/8
13
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3：函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一： f '(x) 2x 2a 0
方法二：二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、导函数与原函数的图象； 3、求函数的单调区间； 4、求参数的取值范围.
当a 0时,增区间(, )，无减区间；
当a 0时,增区间(, a), (1, )，减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3：已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增，
x
求a的取值范围.
解：
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
导数与函数的单调性
教师：段茂森
知识梳理
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， 1．若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_； 2．若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_；
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
二、求函数的单调区间
导数与函数的单调性课件
答案:A
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
函数的单调性与导数优秀ppt课件
①当1<x<4时，f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时，f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时，f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
《导数与函数的单调性》示范公开课教学课件
点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
函数的单调性与导数PPT教学课件
A1型最密堆积（配位数为12）（例如铜）
2.离子晶体属非等径圆球的密堆积方式：
大球先按一 定的方式做 等径圆球密 堆积
小球再填充 到大球所形 成的空隙中
配位数：一个原子或离子周围所邻接的原子 或离子数目。
NaCl：Cl－ 离 子密先堆以积，AN1a型＋ 离紧 子再填充到空 隙中。
ZnS： S2－离子 先以A1型紧密 堆积，Zn2＋ 离 子再填充到空 隙中。
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
1. 等径圆球的密堆积
把乒乓球装入盒中，盒中 的乒乓球怎样排列才能使 装入的乒乓球数目最多？
《函数单调性与导数》课件
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如，自 由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述 热量传递的过程。例如，通过求 导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如， 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函 数图像，直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过 求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单 调递增
导数等于零，函数可 能为极值点或拐点
导数小于零，函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析 函数在某区间的变化率来判断单
高二数学-函数的单调性与导数公开课优秀课件(经典、值得收藏)
解析 因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数， 所以在区间(－∞，－1)，区间(1，＋∞)上f′(x)>0.
三、随堂演练
3.若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是 __________.
解析 由题意得y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立， 即b≤x在(2,8)内恒成立，所以b≤2.
谢谢观看！
故函数 y＝12x2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1).
二、题型探究
1.利用导数判断函数的单调性
(2)y＝x＋bx(b>0).
解：函数f (x)的定义域为（ ,0） (0,)，
f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2， 令 f′(x)>0，则x12(x＋ b)(x－ b)>0， 所以 x> b或 x<－ b.
曲线的变化趋势 函数的单调性
上升
递增
下降
递减
一般地，设函数y f (x),在区间（a,b）上，思考： 若f x(x) (a0,，b)则, ff（( xx）) 在0该区函间数上f递( x增)在；区间(fa(,xb))为 0增是函f（数x）为增函数 若函f (数x)f(0x，)在则区 f（间x）(a在, b该)为区增间函上递数减。f ( x)的什0恒么成条立件(不？恒等于0)
人教版选2修017
第一章 1.3.1 函数的单调性与导数
一、知识讲解：
回顾函数单调性相关知识
1.增函数（减函数）的定义： 对于定义在区间I上的函数f（x），若x1，x2 I（x1 x2）,当x1 x2时， 都有f (x1) f (x2 )( f (x1) f (x2 )),则称f (x)在区间I上是增（减）函数。
三、随堂演练
3.若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是 __________.
解析 由题意得y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立， 即b≤x在(2,8)内恒成立，所以b≤2.
谢谢观看！
故函数 y＝12x2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1).
二、题型探究
1.利用导数判断函数的单调性
(2)y＝x＋bx(b>0).
解：函数f (x)的定义域为（ ,0） (0,)，
f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2， 令 f′(x)>0，则x12(x＋ b)(x－ b)>0， 所以 x> b或 x<－ b.
曲线的变化趋势 函数的单调性
上升
递增
下降
递减
一般地，设函数y f (x),在区间（a,b）上，思考： 若f x(x) (a0,，b)则, ff（( xx）) 在0该区函间数上f递( x增)在；区间(fa(,xb))为 0增是函f（数x）为增函数 若函f (数x)f(0x，)在则区 f（间x）(a在, b该)为区增间函上递数减。f ( x)的什0恒么成条立件(不？恒等于0)
人教版选2修017
第一章 1.3.1 函数的单调性与导数
一、知识讲解：
回顾函数单调性相关知识
1.增函数（减函数）的定义： 对于定义在区间I上的函数f（x），若x1，x2 I（x1 x2）,当x1 x2时， 都有f (x1) f (x2 )( f (x1) f (x2 )),则称f (x)在区间I上是增（减）函数。
函数的单调性与导数-图课件
函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
《3.1.1 导数与函数的单调性》课件-优质公开课-北师大选修2-2精品
《3.1.1 导数与函数的单调性》课件
复习回顾
＊ 复合函数 y f ( ax b ) 的导数： 令 u ( x ) ax b
f ( u )
f (u ) ( x ) af ( ax b )
＊ 复合函数求导公式：
f ( x )
f (u ) ( x )
面我们来研究一下导数与单调性的关系。
引例
观察下列函数的导数，它们与函数的单调性是 否有关系？？
(1) y x , y 1
( 2) y 2 x 5 , y 2
( 3) y 3 x 4 , y 3
从图中，可以观察到：
y = x 和y = 2x + 5 的导数 分别是 1 和 2 ，都为正数， 它们的图像都是单调递增；
A. a 0 B. a 0 C . a 0 求使得 f ( x ) 0 的a 值 D. a 0
小结
＊ 用导数求函数的单调区间： (1)求 f ( x )，并判断 f ( x ) 的符号； (2)解不等式 f ( x ) 0得 f ( x )的单调增区间； 解 f ( x ) 0得 f ( x ) 的单调减区间。 ＊ 求函数的单调性： (1)定义法； (2)导数法。
y 6 x 1
y
y = 2x + 5
y=x
y = -3x + 4 的导数是-3 ，
是负数，其图像单调递减。 再画 y 0.5 x 2 ，
x
y= -0.4x + 1
y 0.5 x 2
y 6 x 1及 y 0.4 x 1
的图像，观察规律。
y = -3x + 4
间和递减区间。
复习回顾
＊ 复合函数 y f ( ax b ) 的导数： 令 u ( x ) ax b
f ( u )
f (u ) ( x ) af ( ax b )
＊ 复合函数求导公式：
f ( x )
f (u ) ( x )
面我们来研究一下导数与单调性的关系。
引例
观察下列函数的导数，它们与函数的单调性是 否有关系？？
(1) y x , y 1
( 2) y 2 x 5 , y 2
( 3) y 3 x 4 , y 3
从图中，可以观察到：
y = x 和y = 2x + 5 的导数 分别是 1 和 2 ，都为正数， 它们的图像都是单调递增；
A. a 0 B. a 0 C . a 0 求使得 f ( x ) 0 的a 值 D. a 0
小结
＊ 用导数求函数的单调区间： (1)求 f ( x )，并判断 f ( x ) 的符号； (2)解不等式 f ( x ) 0得 f ( x )的单调增区间； 解 f ( x ) 0得 f ( x ) 的单调减区间。 ＊ 求函数的单调性： (1)定义法； (2)导数法。
y 6 x 1
y
y = 2x + 5
y=x
y = -3x + 4 的导数是-3 ，
是负数，其图像单调递减。 再画 y 0.5 x 2 ，
x
y= -0.4x + 1
y 0.5 x 2
y 6 x 1及 y 0.4 x 1
的图像，观察规律。
y = -3x + 4
间和递减区间。
函数的单调性与导数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
(3) f (x) sin x x, x (0, );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
解: (3) 因为 f (x) sin x x, x (0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
所以, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, ) 上单调递减.
(3) f (x) sin x x, x (0, );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1. 解: (1) 因为 f (x) x3 3x , 所以
f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0. 所以, 函数 f (x) x3 3x 在 x R 上单调递增.
(2) 因为 f (x) x2 2x 3, 所以
1.3.1 函数旳单调性与导数
一、复习回忆：基本初等函数旳导数公式
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）.三角函数 ：
（1）(sin x) cos x （2）(cos x) sin x
（4）.对数函数旳导数:
(1) (ln x) 1 . x
本题用到一种主要旳转化：
m≥f(x)恒成立 m f(x)max m f(x)恒成立 m f(x)min
例3：方程根旳问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一种根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（f x)=0 方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0.
内旳图象平缓.
练习 2.讨论二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 旳单调区间.
高中数学优质课一等奖作品：函数的单调性与导数教学设计
教学设计普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1（人教A版）函数的单调性与导数（第一课时）《函数的单调性与导数》教学设计【课题】函数的单调性与导数【教材】人教A版《数学》选修1-1【课时】1课时【教材分析】函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备.函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用.【学生学情分析】课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.【教学目标】知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法.2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法.【教学重点】利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.【教学难点】⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何用导数判断函数的单调性.【教学方法】启发式教学【课时安排】 1 课时【教学准备】多媒体课件，作图软件GGB,课堂活动页.【教学设计说明】根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象.本节课的教学设计也是围绕这些目标，利用多媒体和信息技术让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.结论总结例题讲解课堂练习讨论函数单调性的一般步骤是什么？1求定义域;2求函数()f x的导数,3 讨论单调区间，解不等式()0f x'>，解集为增区间；4解不等式()0f x'<，解集为减区间.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪一个？练习2导函数图像如下图，则函数图像可能为（）解.由学生共同回答.学生思考并共同解决.学生思考并举手回答.熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.从函数的单调性和导数的正负关系的讨论环节中，不断的比较了函数和导函数的图像，因此设置该题，从熟悉的函数到该题，题目更容易解决.让学生对所学知识进一步巩固和熟练掌握.回归生活布置作业观看过山车的视频，而后分析视线和切线的斜率正负的关系.分层作业:选做题：结合所学知识，举几个函数实例，比较定义法、图像法、导数法求单调区间的特点.必做题：教材P11 习题1.1A组 2、3 题.回归生活人生犹如过山车，站在人生的每个瞬间的点上，我们都能向上看，人生轨迹就会是持续上升趋势；相反，如果我们被负面情绪萦绕，我们就会走下坡路.只要饱含正能量，脚踏实地走好每一步，相信同学们的前途会一片光明！下课!学生放松的观看.。
高中数学《利用导数解决函数的单调性问题》公开课优秀课件
f(x)在(a，b)内是减函数．√( )
2
函数的单调性与导数的关系
条件
结论
f′(x)＞0
f(x)在(a，b) 内_单__调__递__增__
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
f′(x)＜0
f(x)在(a，b) 内__单__调__递__减_
f′(x)＝0
f(x)在(a，b) 内是_常__数__函__数
(0,2),
a3
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、求函数的单调区间； 3、求参数的取值范围.
课后作业
1、限时训练P258页A组。 2、课后探究：
已知函数f ( x) x3 3ax2 2a2 x 1在[0,2]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
2、利用导数解决 函数的单调性问题
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)
＞0×.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在
此区间内没有单调性．( √ )
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则
增区间为,0,2,+,减区间为0, 2
考点2 含参数函数的单调性
例2：已知函数f (x) 1 x3 ax2 8a2x，讨论f (x)的单调区间. 3
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
2
函数的单调性与导数的关系
条件
结论
f′(x)＞0
f(x)在(a，b) 内_单__调__递__增__
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
f′(x)＜0
f(x)在(a，b) 内__单__调__递__减_
f′(x)＝0
f(x)在(a，b) 内是_常__数__函__数
(0,2),
a3
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、求函数的单调区间； 3、求参数的取值范围.
课后作业
1、限时训练P258页A组。 2、课后探究：
已知函数f ( x) x3 3ax2 2a2 x 1在[0,2]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
2、利用导数解决 函数的单调性问题
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)
＞0×.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在
此区间内没有单调性．( √ )
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则
增区间为,0,2,+,减区间为0, 2
考点2 含参数函数的单调性
例2：已知函数f (x) 1 x3 ax2 8a2x，讨论f (x)的单调区间. 3
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
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导数的应用（一）
函数单调性与导数
苍南中学：边海峰
问: 在区间（a，b）上可导的函数y f (x)的 单调性与其导函数y f (x)有什么关系？
1、f (x) 0 y f (x)递增 2、y f (x)递增 f (x) 0恒成立
：利用导数讨论函数的单调性
例1、（2018 .温州一模）已知函数 f (x) x 3 4 ln x. x
求 : f (x)的单调区间。
变2、已知函数 f (x) x 3a2 4a ln x在1，2上单调递增.
x 求a的取值范围。
变3、已知函数 g(x) 1 x2 mx (3 4x) ln x在0，3上
2 是减函数，求 m的取值范围。
练习：
1、已知f (x) x3 ax在1， 上是单调递增函数，
求：f (x)的单调递增区间。
小结：讨论可导函数单调性的一般步骤和方法： （1）确定函数f (x)的定义域 （2）求出f (x)，并解不等式 （3）得出f (x)的单调区间
变1、已知函数f (x) x 3a2 4a ln x. x
求 : f (x)的单调递增区间。
：已知函数的单调性求参数的取值范围
则a的取值范围为
A.3，
B.1，3
C.，3
D.- ，3
2、设函数f (x) (x2 2x 2) ex，则f (x)的单调递减 区间为
3、已知函数f (x) alinx x2 (a 6)x在
0，3上不是单调函数，求实数a的取值范围。. 2
函数单调性与导数
苍南中学：边海峰
问: 在区间（a，b）上可导的函数y f (x)的 单调性与其导函数y f (x)有什么关系？
1、f (x) 0 y f (x)递增 2、y f (x)递增 f (x) 0恒成立
：利用导数讨论函数的单调性
例1、（2018 .温州一模）已知函数 f (x) x 3 4 ln x. x
求 : f (x)的单调区间。
变2、已知函数 f (x) x 3a2 4a ln x在1，2上单调递增.
x 求a的取值范围。
变3、已知函数 g(x) 1 x2 mx (3 4x) ln x在0，3上
2 是减函数，求 m的取值范围。
练习：
1、已知f (x) x3 ax在1， 上是单调递增函数，
求：f (x)的单调递增区间。
小结：讨论可导函数单调性的一般步骤和方法： （1）确定函数f (x)的定义域 （2）求出f (x)，并解不等式 （3）得出f (x)的单调区间
变1、已知函数f (x) x 3a2 4a ln x. x
求 : f (x)的单调递增区间。
：已知函数的单调性求参数的取值范围
则a的取值范围为
A.3，
B.1，3
C.，3
D.- ，3
2、设函数f (x) (x2 2x 2) ex，则f (x)的单调递减 区间为
3、已知函数f (x) alinx x2 (a 6)x在
0，3上不是单调函数，求实数a的取值范围。. 2