2017年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)

2017年全国各地高考数学试题及解答分类大全

（数列）

一、选择题

1．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8【答案】C

【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，

61165

6615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11

2724,61548a d a d +=⎧⎨

+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()

3()482

a a S a a +=

=+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C.

2．（2017全国新课标Ⅰ理）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习

数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A

【解析】由题意得，数列如下：

11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -

则该数列的前(1)

122

k k k ++++=

项和为11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭ ，要使(1)1002

k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部

分和，设1212221t t

k -+=+++=- ，

所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时5

2329k =-=，

所以对应满足条件的最小整数2930

54402

N ⨯=+=，故选A.

3.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

【答案】B

4．（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首

项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，

则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A

【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .

则2

3

26a a a =⋅，即()()()2

11125a d a d a d +=++又∵11a =，代入上式可得220d d +=又∵0d ≠，则2

d =-∴()616565

61622422

S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.

5.(2017上海)在数列中，n∈N，则=（）

A.等于

B.等于0

C.等于

D.不存在

【答案】B

【解析】数列中，n∈N，则故选B

6.(2017上海)已知

a,b,c 为实常数，数列的通项=an 2+bn+c，n∈N *

，

则“存在k∈N *

，使得

成等差数列”的一个必要条件是（

）

A.0a ≥

B.0b ≤

C.0

c =D、20

a b c -+=【答案】A

【解析】存在k∈N *

，使得成等差数列，可得

2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化简得a=0，

∴使得

成等差数列的必要条件是a≥0．故选A ．

二、填空

1.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则2

2

a b =_______.【答案】1

【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d q -+=-=，求得

2,3q d =-=，那么

221312

a b -+==.【考点】等差数列和等比数列

【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

2.(2017江苏)等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763

44

S S ==,,则8a =

.

【答案】32

【解析】当1q =时，显然不符合题意；

当1q ≠时，316

1(1)7

14(1)6314a q q a q q

⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=

⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=.【考点】等比数列通项

【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

3.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11n

k k

S ==∑。

【答案】

21

n

n +【解析】

试题分析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，

由题意有：1123

43

4102

a d a d +=⎧⎪

⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，数列的前n 项和()()()

111111222

n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+=,

裂项有：()1211211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭

，据此：11111111221......21223111n

k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑。【考点】等差数列前n 项和公式；裂项求和。

【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变