中学物理解答限制性三体问题的讨论

中学物理解答限制性三体问题的讨论

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

刘霁华〔常州市教育教研室 江苏 213003〕

摘要 有心力作用下的三体问题〔THREE －BODY PROBLEM 〕是物理学的难题，但一些特殊情况的三体和限制性三体问题也常出现在中学物理习题中。本文通过两道高考题的分析，提出限制性三体在特定参考系中转化为中学物理问题的条件和结论。

关键词 高考试题 限制性三体 参考系 条件与结论

【一】问题的提出

高考试题一：〔2017全国卷Ⅰ17题〕太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天。利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为〔 〕

A 、0.2

B 、2

C 、20

D 、200

此题标准答案是B.解得过程如下：设太阳质量为MT 月亮质量为MY 地球质量为MD ，月地距离为R ，日地距离为R. 对地球太阳系统：R T m R m m G

D D D T 22)2(π=…〔1〕， 对地球月球系统：

r T m r m m G Y Y Y D 22)2(π=…〔2〕 可得：2

3)()(D Y D

T T T r R m m ⋅=…〔3〕 由万有引力定律

221r m m G F =可得：2)(R r m m F F D T DY TY ⋅=…〔4〕 〔3〕、〔4〕联立并由TY ＝27天、TD ＝365天得：2)(2≈⋅=D Y DY TY T T r R F F ，所以B 正

确。

高考试题二：〔2017年广东卷12题〕如图1是“嫦娥一号奔月”示意图。卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月

卫星，并开展对月球的探测。以下说法正确的选项是

〔 〕

A 、发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速

度

B 、在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关

C 、卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D 、在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

此题标准答案是C.解答过程如下：第三宇宙速度是人造卫星脱离太阳系的速度，所以A 错误；设月亮的质量为MY ，，卫星质量为M0， 卫星绕月圆轨道半径为R ，由r T m r m m G Y 2020)2(π=…〔5〕知卫星周期与卫星质量无关，所以B 错误；由万有引力定律，显然C 正确；对于D 选项的分析是假设卫星受地球的引力大于受月球的引力，就不会绕月球做圆周运动了，所以D 错误。

比较这两道高考题，我们感到题一中正确的B 选项和题二错误的D 选项视乎矛盾？对于题一提出的问题是：既然太阳对月球的引力大约是地球对月球引力的2倍，月球怎么会绕地球做圆周运动？对于题二提出的问题是：嫦娥一号在轨道上受地球的引力小于受到的月球引力是其实现绕月运行的条件？

【二】问题的讨论

上述两道高考题的情景实际上属于天体力学中的三体问题〔THREE －BODY PROBLEM 〕，有心力作用下的三体问题，大都是难以求解。如果有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，这样的三体问题称为“限制性三体问题”。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体，或简

称小天体；把两个大质量的天体称为有限质量体。对于“限制性三体问题”由于忽略小质量的天体对其他天体的引力，三体问题也就转化为两体问题了。如图2所示，我们现进一步将问题理想

化为在有心力作用下的同一平面内的天体圆周运动问题。上述两道高考题并不涉及轨迹的计算，只涉及非惯性系中的动力学方程的正确表达。

取M 为参考系：设M 〔含M0〕绕质心C 运动的周期为T ，轨道半径为R2，那么有： 222)2(r T m ma R mM G π==，

R m M M r +=2，222)2(R M G r T a ==π…〔6〕 取M 为参考系：如图3所示M0受到三个力的作用：

M 的引力 20r m m G

F =； M 的引力 201)(r R M m

G F -=；

惯性离心力

20

22002)2(R M m G r T m a m F ===π. 设M0绕M 的运动周期为T0，轨道半径为R ，对M0有：

r T m R M m G r R M m G r m m G 200202020)2()(π=+-- (7)

2 图3

当r R >>时，有21F F ≈，〔7〕式可简化为： r T m r m m G 20020)2(π=，事实上当r R >>时，在M0运动的整个圆周上也同样有21F F ≈，及简化式在整个圆周上成立〔如果将公式右边的R 换成卫星轨道上某点的曲率半径ρ，在始终满足r R >>的条件下，简化式对于椭圆轨道的卫星同样成立〕。

【三】条件与结论

条件一：当0m M >>、0m m >>、r R >>时，

结论一：M 参考系可以看成是M 不存在的孤立参考系，即可以看成是惯性系，在该参考系中可以独立的写出有关M0的动力学方程，M0在此参考系可以做匀速圆周运动。

如果有m M >>，由〔6〕式可知，此时R r =2，所以上述条件结论可进一步转化为：

条件二：当0m m M >>>>及r R >>时，

结论二：在M 参考系中有：

R T m R mM G 22)2(π=…〔8〕 在M 参考系中有：r T m r m m G

20020)2(π= (9)

所以在条件二下，三体问题才能转化为中学物理可解的理想化的天体圆周运动问题。

【四】结论的运用

在题一中应用上述结论：日、地、月三体系统基本满足0m m M >>>>及r R >>的条件，所以〔1〕、〔2〕两式近似成立，答案B 正确。

在题二中应用上述结论：地、月、嫦娥一号三体系统，月球质量为地球的1／81，基本满足0m m M >>>>，地月间距离约8104⨯≈R 米，嫦娥一号轨道高度约200千米，

月球半径约6107.1⨯米，嫦娥一号轨道半径6102⨯≈r 米，近似满足r R >>的条件，所

以题二解答中〔5〕式成立。对于题二中的D 选项，事实上这是与题一中的B 选项一样的问题，既然满足r R >>，地球对嫦娥一号的引力和嫦娥一号受到的惯性离心力就相互平衡，嫦娥一号就可在月球参考系中做匀速圆周运动，这时地球对嫦娥一号的引力的大小已经和嫦娥一号是否能绕月做圆周运动无关了。事实上可以由万有引力定律求得嫦娥一号受到的月球引力FY 和地球引力FD 之比：

1500)()(22≈⋅≈-⋅=r R m m r r R m m F F D Y D Y D Y ，所以D 选项确实是错误的，但解答中认为卫