利用旋转的方法解题

利用旋转解题教学设计

学习目标：

1、学会利用旋转的辅助线方法解决有关比较分散的条件背景下的几何问题；

2、通过类比分析学会总结得出能使用旋转辅助线方法的常见背景，及旋转的基本方法；

3、通过对通性通法的总结分析学会解决各种变化情形下的灵活运用问题，并在此过程中逐步提高数学思维分析能力。

学习重点：学会利用旋转的方法解决有关几何问题

学习难点：如何作出旋转的辅助线将分散的条件及结论集中

学习过程：

初中数学几何变换包括平移、旋转、轴对称（翻折）。这些变换的方法改变了图形的位置，但是不改变图形的形状和大小。我们常利用这个这个特点通过这些变换方法将一些分散的线段、角的集中到一起，从而解决一些难以解决的几何问题。

下面就我平时教学中的一些体会对旋转的解题方法进行一个简单总结和归纳，希望能让同学们对旋转的解题方法能够更好地掌握。

一、旋转解题常见背景及方法

（一）等边三角形背景

例1：如图，点O 是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，试证明：

∠AOB ＝150°.

分析：条件与结论似乎相差甚远，且条件分散不好用，但三个数据使我们

想到勾股数，若能将此三条线段集中到一个三角形就好了，考虑到等边三角形

的条件，有相等的线段，可考虑旋转的方法，将△BOC绕点B逆时针旋转60°

的△BDA，则易得△ADO为等边三角形，问题解决。

小结：有等边三角形则有相等的线段，为旋转后能重合的线段提供了条件，

再加上等边三角形60°的角，为旋转后再次出现等边三角形提供了条件，使得

题目所有条件迅速贯通，问题轻松解决。还可尝试其他旋转办法进一步体验利

用相等线段可以重合来构造旋转解决问题。

（二）等腰直角三角形背景

例2：如图，△ABC是等腰直角三角形，C为直角顶点．

（1）操作并观察：将三角尺45°角的顶点与点C重合，使这个角落在

∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于点E、F，然后将这个角绕着点C

在∠ACB内部旋转，观察点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最大

线段是否始终是EF？

（2）线段AE、EF、BF能组成以EF为斜边的直角三角形吗？请说明你

的理由．

分析：从结论猜想可以将这三条线段集中到一个三角形中，证明其是直角三角形则问题全部解决，考虑到条件等腰直角三角形中AC=BC，∠ACB=90°，具备了旋转的条件，可将△CBF绕点C顺时针旋转90°得△CAM，再连ME，三条线段全部集中到了△MAE中，证出∠MAE=90°即可。

小结：等腰直角三角形中有相等的线段，也是利用旋转来解题的常见背景，利用相等线段所在的三角形旋转变换将分散的线段、角集中起来使条件充分发挥作用从而解决问题。

（三）正方形背景

例3：如图，在正方形ABCD 中，点M，N分别为BC，DC 边上的点，且

满足∠MAN=45°，连接MN，求证：DN + BM = MN．

分析：要证明两条线段的和等于第三条线段，可以考虑截长补短的方法，

本题中有正方形的条件，有相等的线段，结合起来可以考虑将△ABM绕点A

逆时针旋转90°得△ADE，再证明△AMN≌△AEN即可（要注意证明E、D、N

三点共线）。

小结：正方形中有相等的线段，也是利用旋转方法的常见背景。本题利用旋转的方法达到了补短的效果。

例4：如图，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.

（1）如图①所示，若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长.

（提示：将△PAB绕点B顺针旋转90°到△P′CB的位置）

（2）如图②，若PA2+PC2＝2PB2，请说明点P必在对角线AC上.

分析：

（1）PA、PB、PC三条线段看起来不太好联系上，但是想到在正

方形的条件下容易利用旋转将分散的线段集中，可以考虑将三条线段

中的一条所在的三角形进行旋转，如将△PAB绕点B顺针旋转90°到△P′CB的位置，再连PP′，易得△PBP′为等腰直角三角形，勾股定理求得PP′的长，再得∠PP′C＝90°，在△PP′C中勾股定理求得PC=6.

（2）用与（1）一样的方法即可解决。证明∠APC=180°就可以了。

小结：正方形背景也是利用旋转解题的常见情形，抓住正方形中相等的边，把分散的线段所在的三角形进行旋转从而将它们集中到一起，再运用全等三角形、勾股定理等知识解决问题。

二、旋转操作类综合题中解题方法

（一）旋转操作中如何充分利用旋转得到的条件

例5：在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；

（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．

分析：

（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．

（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．

（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．

小结：本题是在图形旋转过程中，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，而找到使点P的纵坐标最大时点P的位置是解决最后一个问题的关键．

（二）注意旋转变化过程的不同情形的分类

例6：如图1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=6，CD=3，

BC=3．△EFG 是边长为 3 的等边三角形，且与梯形ABCD位于直线

AB同侧，当△EFG 位于如图所示位置时，将△EFG 绕点F 进行旋转，

在旋转过程中，设EG所在直线与射线AD相交于点 M，与射线 FB 相交

于点 N，当△AMN为等腰三角形时，求AN的长度。

分析：

△EFG 作为一个整体元素进行旋转，在旋转过程中EG所在直线与射线AD、射线FB有交点，这里首先需要弄清楚在旋转的初始位置时，点G和点E在哪，与要求的射线AD、射线 FB 又有怎样的位置关系.这里通过计算可以得到刚开始旋转时，AF=3，点E与点B重合，而点G 恰好在射线AD 上. 当△EFG 绕点 F 逆时针旋转时，则点 G 就会到射线AD 左上方，同时点 E 会到∠MON 内部；当△EFG 绕点 F 顺时针旋转，则点 G 会到∠MON 内部，同时点E 到射线 FB 下方，随着旋转角的增大，点 G，F 都有可能转到射线 FB 下方.

解：要使△AMN 为等腰三角形，则分别满足以下情况：

（1）AM = MN 时，如图 2，∠A = ∠ANM = 30°，由于∠

3，故此时

FGE = 60°，FG = 3，从而∠GFN = 90°，FN = 3

3．

AN = AF + FN = 3 +3

（2）AN = MN 时，如图 3，∠A = ∠AMN = 30°，则∠MNB =∠FNE = 60°，

而△EFG 是边长为 3 的等边三角形，所以∠FEN = 60°，且 FE =

3，从而可得△FEN 是边长为 3 的等边三角形，即点 G 与点 N 重合，

FN = 3，AN = AF + FN = 3 + 3 = 6．

（3）AM = AN 时，

①如果位置如图 4 所示，则∠ANM =∠AMN = 75°，△EFG 是等边三

角形，则∠FEG = 60°，∠FEN =120°，此时在△NEF 中，∠FNE + ∠

FEN = 75° + 120° > 180°，与三角形内角和定理矛盾．

②如果位置如图 5 所示，则∠ANM = ∠AMN = 75°，△EFG 是等

边三角形，则∠FGN = 60°，所以∠GFN = 45°，过点N 作 NP⊥FG 于