数学分析1期末考试讲解

《数学分析Ⅰ》题目讲解

一、 单项选择题（每小题2分，共14分）

1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭且lim n

n x →∞=，则

为【 】

A 、0

B 、1

C 、1

2 D 、2

2、已知

tan

,0,

()

1,0,

x

x

f x x

x

⎧

≠

⎪

=⎨

⎪=

⎩

则0

x=是()

f x的

【】

A、第一类不连续点

B、第二类不连续点

C、连续点

D、可去不连续点

3、已知

1

sin,0

()

0,0

x x

f x x

x

⎧

>

⎪

=⎨

⎪≤

⎩

，则()

f x在0

x=处

【】

A、左可导

B、右可导

C、可微

D、不连续

4、若0

lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【

】

A 、

()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、

()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、

()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、

()f x 在0x 的任一邻域内无界

5、若()f x 在0x =处连续，并且2

20()lim h f h c h

→=，则【 】 A 、

(0)0f =且(0)f -'存在 B 、

(0)0f =且(0)f +'存在 C 、

(0)f c =且(0)f -'存在 D 、

(0)f c =且(0)f +'存在

6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】

A 、可导

B 、不可导

C 、连续

D 、不连续

7、下列叙述错误的是【 】

A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；

B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；

C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′

=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.

参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C

7.D

二、填空题（每小题3分，共21分）

1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣

⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115

y x =+的切线的方程为

3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h

→+--=

4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为

5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =

______ _

6、已知当0x →时ln(1)ax +与1x

e -等价，则a = 7、()

()

5n x

=

参考答案：

1. 114e

+；

2. ()1

5ln55y x =-+；

3. 5；

4. 2y x =；

5. 4；

6. 1；

7. ()ln 55n

x

三、计算题（每小题6分，共36分）

1

、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫

+++

⎪+++⎝

⎭

.

1

、计算111lim 1n n n n

n →∞⎛⎫+++

⎪+++⎝⎭ 解：设11

1

1n x n n n n

=

++++++，由于

1n n n

x n n ≤≤++，

lim 1n n n →∞=+，lim 11n n

n →∞=+ ，

（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞

=，即原极限为1。（6分）

2. 求极限201

1lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭

220020

011tan lim lim (1)tan tan sin cos lim (2)sin sin lim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-⎛⎫⎛⎫

-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫

= ⎪⎝⎭=+解：分分20 (4)cos 1

lim (5)2cos sin 1

(6)

3

x x x x

x x →⎛⎫

⎪⎝⎭⎛⎫

⎪= ⎪+

⎪⎝⎭

=分分分

3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x 的二阶微分

2

d y .

3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x =的2

d y .

解：令ln u x =，则d 1

()d y f u x x

='， （2分）

[]2

2222

2

2

d ()d 11

() (3)d d 11

()()()()(ln )(ln )

(5)f u y f u x x x x

f u f u x x f u f u x

f x f x x

'-=⋅+'=''⋅-'⋅''-'=''-'=分分