高中数学必修第二册 第四章 1同角三角函数的基本关系-教案-北师大版(2019)

同角三角函数的基本关系

【教学目标】

1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2

α＝1，sin αcos α＝tan α. 2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．

【教学重难点】

同角三角函数的基本关系式及其应用.

【教学过程】

一、基础铺垫

同角三角函数基本关系式

（1）关系式

①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝__1__；

②商数关系：sin αcos α

＝tan__α. （2）文字叙述

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．

（3）变形形式

①1＝sin 2α＋cos 2α；

②sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α；

③sin α＝± 1－cos 2α；cos α＝± 1－sin 2α；

④sin α＝cos αtan α；

⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin_αcos__α.

思考：sin 230°＋cos 245°等于1吗？

sin 90°cos 90°

有意义吗？ [提示] 不等于1，sin 90°cos 90°

分母为0，无意义． 二、合作探究

1．利用同角基本关系式求值

【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． [解] ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么

sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517

， tan α＝sin αcos α＝15

17－817

＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝－1－cos 2α＝－

1517，tan α＝158. 【规律方法】

已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin 2α＋cos 2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解.

2．利用sin α±cos α，sin α，cos α之间的关系求值

【例2】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15

，求tan α的值． [解] 由sin α＋cos α＝15

，① 得sin α·cos α＝－1225

<0， 又0<α<π，

∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0，

∴sin α－cos α＝

sin α－cos α2＝1－2sin αcos α ＝ 1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝75

，② 由①②解得sin α＝45，cos α＝－35

，

∴tan α＝sin αcos α＝－43

. 【规律方法】

sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．

3．综合应用

[探究问题]

（1）平方关系对任意α∈R 均成立，对吗？商数关系呢？

[提示] 平方关系中对任意α∈R 均成立，而商数关系中α≠k π＋π2

(k ∈Z )． （2）证明三角恒等式常用哪些技巧？

[提示] 切弦互化，整体代换，“1”的代换．

（3）证明三角恒等式应遵循什么样的原则？

[提示] 由繁到简．

【例3】 （1）化简tan α· 1sin 2α

－1，其中α是第二象限角； （2）求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1

. [思路探究] （1）先确定sin α，cos α的符号，结合平方关系和商数关系化简．

（2）逆用平方关系结合tan α＝sin αcos α

化简． [解] （1）因为α是第二象限角，

所以sin α>0，cos α<0.

故tan α·

1sin 2α－1＝tan α·1－sin 2αsin 2α

＝tan αcos 2αsin 2α ＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α

＝－1． （2）证明：左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α

＝sin α＋cos α2 sin2α－cos2α

＝sin α＋cos αsin α－cos α

＝tan α＋1

tan α－1

＝右边．

所以原式成立．

【规律方法】

1．化简过程中常用的方法有：

（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．

（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

2．证明三角恒等式常用的方法有：

（1）从一边开始，证得它等于另一边；

（2）证明左右两边都等于同一个式子；

（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．

三、课堂总结

1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．

2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．

3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：

（1）“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．

（2）切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．

（3）整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.

四、课堂检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）sin2α＋cos2β＝1．()