高中数学 导数与新定义

2017-2018学年度???学校7月月考卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知函数()2g x a x =-（1x e e

≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）

A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦

B ．2

1,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)

22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B

【解析】

【分析】

设()00,2ln M x x ，01x e e

≤≤，且其关于x 轴对称点M '在()g x 上；将M '坐标代入()g x ，可得20012ln x x a x e e ⎛⎫-=≤≤ ⎪⎝⎭

，从而将问题转化为此方程有解；令()212ln f x x x x e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭

，通过导数可确定函数的大致图象，将问题转化为y a =与()y f x =图象有交点，通过数形结合求得结果.

【详解】

设()h x 上一点()00,2ln M x x ，01x e e

≤≤，且M 关于x 轴对称点坐标为()00,2ln M x x '-，01x e e

≤≤在()g x 上 20012ln x a x x e e ⎛⎫∴-=-≤≤ ⎪⎝⎭，有解，即20012ln x x a x e e ⎛⎫-=≤≤ ⎪⎝⎭

有解 令()212ln f x x x x e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则()()()21122x x f x x x x

+-'=-=，1x e e ≤≤ ∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭

时，()0f x '<；当(]1,x e ∈时，()0f x '> ()f x ∴在1,1e

⎡⎫⎪⎢⎣⎭

上单调递减；在(]1,e 上单调递增

()()min 11f x f ∴==，211

2f e e

⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22f e e =- 可得()f x 图象如下图所示：

20012ln x x a x e e ⎛⎫-=≤≤ ⎪⎝⎭

有解等价于y a =与()y f x =图象有交点 ()()1f a f e ∴≤≤ 21,2a e ⎡⎤∴∈-⎣⎦

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查根据方程有根求解参数范围的问题；关键是能够根据对称性将问题转化为方程有根，通过构造函数的方式进一步将问题转化为平行于x 轴直线与曲线有交点的问题，进而通过数形结合的方式来进行求解.

二、多选题

2．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）

A ．()3f x x =

B ．()23f x x =-

C ．()1x

f x e =-

D ．()ln 2f x x =+

【答案】ABD

【解析】

【分析】

逐一分析选项，判断每个函数是否满足两个条件，依据方程实数根或是函数零点个数判断是否正确.

【详解】

A.3

y x =是单调递增函数,若存在区间[],m n ，m n < 使33m m n n ⎧=⎨=⎩ ，解得1,0m =-，0,1n =，所以存在区间[][][]1,0,1,1,0,1-- 满足②，所以A 正确，是“和谐区间”；

B.()23f x x

=-在(),0-∞和()0,∞+都是单调递增函数，所以设 0m n <<或0m n <<，满足2323m m n n

⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得1,2m n == ，所以存在区间[]1,2满足条件，所以B 正确；

C.1x y e =-时单调递增函数,若存在区间[],m n ，m n <，使11m n e m e n

⎧-=⎨-=⎩ ，即1x e x =+有两个不等实数根，但x

y e =与1y x =+相切于点()0,1，没有两个不等实数根，所以不正确，C 不正确；

D.ln 2y x =+是单调递增函数,定义域是()0,∞+ ，若存在区间[],m n ，m n <，使ln 2ln 2m m n n

+=⎧⎨+=⎩ ，即ln 2x x +=有两个不等实数根，转化为ln 2x x =- 即ln y x =与2y x =-有两个不同的交点，满足条件，所以D 正确.

故选ABD.

【点睛】

本题重点考查了判断函数零点个数的方法，一是可以直接求方程的实数根，即是函数的零点，二是转化成两个函数的交点，通过数形结合判断零点个数，或是根据零点个数判断参数的取值范围.

三、填空题

四、解答题