2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(理科)(有答案解

2020
年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大
附中）高考数学三模试卷（理科）
题号一
二三
总分得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0 分）
1. 设集合A={x∈Z|x2≤1，} B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）
A. {-1 ，1}
B. {0}
C. {-1 ，0，1}
D. [-1 ，1]
2. 命题“ ?x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）
A. ?x∈R，x3-x2+1≥0
B. ?x∈R，x3-x2+1>0
C. ?x∈R，x3-x2+1≤O
D. ?x∈R，x3- x2+1> 0
3. 已知向量，的夹角为60 °，| |=2，| |=4，则（- ）=（）
A. -16
B. -13
C. -12
D. -10
4. 已知双曲线C：- =1（a>0，b>0）的离心率为2，则 C 的渐近线方程为（）
A. y=± x
B. y=± x
C. y=±2x
D. y=± x
5. 等比数列{ a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）
A. 14
B. 21
C. 28
D. 63
6. 某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取
500
袋样本，X 表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X 的数学期望约为（）参考数据：若X 服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ<X≤μ+）σ≈0.6827，P（μ-2σ<X≤μ+2）σ ≈
0.9545，P （μ-3σ<X≤μ +3）σ≈ 0.9973
A. 171
B. 239
C. 341
D. 477
7. 在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设| |=r，以射线Ox 为
始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+isin θ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1
（
cos
θ
1+isin θ1），z2= r 2（cos θ2+isin θ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+isin θ）] n=r n（cosnθ+isinnθ），则（）5=（）
8. 运行程序框图，如果输入某个正数n 后，输出的s∈（20，50），那么n的
值为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
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9. 已知四面体ABCD 中，平面ABD⊥平面BCD ，△ABD 为边长 2 的等边三角形，BD=DC，
BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为（）
A.
10. 一项针对都市熟男（三线以上城市30～50 岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980 年及以后出生（80后）被调查者、1980
全体被调查者80 后被调查者80 前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%
服装23.0%24.9%21.2%
手表14.3%19.4%9.7%
运动、户外用品10.4%11.1%9.7%
珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%
箱包8.1%11.3% 5.1%
个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%
以上皆无25.3%17.9%32.1%
根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）
A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品
B. 从整体上看，80 后购买高价商品的意愿高于80 前
C. 80 前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品
D. 被调查的都市熟男中80后人数与80 前人数的比例大约为2：1
11. 椭圆+y2=1 上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0 对称，若O 为坐标原点，则| |=（）
A. 1
B.
C.
D.
12. 如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE 沿
AE 翻折成四棱锥D′-ABCE，则点 C 到平面ABD′距离的最大值为（）
A.
二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0分）
13. 已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______
14. 函数y=sin（ωx+ ）（ω∈N * ）的一条对称轴为x= ，则ω的最小值为____ ．
15. 若函数f（x）= 在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是 ____ ．
16. 已知f（x）= +b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c> 0，则下列判断正确的是 _______ ．（写出
所有正确结论的序号）
①f（x）关于点（0，b）成中心对称
②f（x）在（0，+∞）上单调递增
③存在M>0，使|f（x）| ≤M
④若g（x）有零点，则b=0
⑤g（x）=0 的解集可能为{1，-1，2，-2}
三、解答题（本大题共7 小题，共82.0分）
17. 在△ABC 中，2sinA?sinB（1-tanA?tanB）=tanA?tanB．
（Ⅰ ）求∠C 的大小；
（Ⅱ）求sinA-cosB 的取值范围．
18. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD，△ACD是边长为 2 的
等边三角形，且AB=BC= ，PA=2，点M 是棱PC上的动
点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD ；
（Ⅱ ）当线段MB 最小时，求直线MB 与平面PBD所成角的正弦
值．
19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160 分钟的连续鼠标点击
游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180 次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG ）等指标．
（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：
实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376
实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361 完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？
（Ⅱ ）实验过程中测得时间t（分）与10 名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG ）的中位数y （Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；
（Ⅲ ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9 组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？
参考数据：（t i ）（y i ）=-1800
参考公式：回归方程= t+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
20. 抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若 A 为抛物线上第一象限
的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，
N 两点．
（Ⅰ ）求证：直线AB 与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM
⊥AN ，求此时点 A 的坐标．
21. 已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e 为自然对数的底数）
Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k 的最大值；
Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln >2（x- ）
22. 已知曲线 C 的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P 为曲线 C 上的一动点．
（Ⅰ ）求动点P 对应的参数从变动到时，线段AP 所扫过的图形面积；
（Ⅱ ）若直线AP与曲线 C 的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ 的中点？
若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由．
23. 已知函数f（x）=|3x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）< 4-|x-1|；
（Ⅱ）已知m>0，n>0，m+n=1，若对任意的x∈R，m>0，n>0不等式|x-a|-f（x）≤（a > 0）恒成立，求正数 a 的取值范围．
由双曲线的渐近线方程可得答案． 【解答】
解：根据题意，双曲线的方程为： 其焦点在 x 轴上，其渐近线方程为 y=± x ，
又由其离心率 e= =2，则 c=2a ，
则 b= = a ，即 = ， 则其渐近线方程 y=± x ；
1.答案： C
答案与解析
解析： 解： ∵集合 A={x ∈Z|x 2≤1}={-1，0，1} ，
B={-1 ，0，1，2}， ∴A ∩B={-1 ，0，1} ．
故选： C ． 利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案： B
解析： 解：将量词否定，结论否定，可得 ?x ∈R ， x 3-x 2+1>0 故选： B ．
将量词否定，结论否定，可得结论． 本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
3. 答案： C
解析： 解：向量
的夹角为 60°， | |=2， | |=4，
则（ - ） = = =-12 ． 故选： C ．
直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．
解析： 【分析】
本题考查双曲线的几何性质， 注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置， 属于基础题．
确定双曲线的渐近线方程，
根据题意，由双曲线的离心率 e=2 可得 c=2a ，由双曲线的几何性质可得
=
即
5. 答案：C
解析：解：设等比数列{a n} 的公比为q>0，∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2．
则a3+a4+a5=q2+q3+q4=4+8+16=28 ．故选：C．
利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6. 答案：B
解析：解：∵P（μ-2σ<X≤μ+2）σ≈0.9545，且μ=10，σ=0.1，
∴P（9.8<X<10.2）≈0.954，5
∴P（10< X<10.2）= =0.47725，
则面粉质量在（10，10.2）kg 的袋数Y 服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），则E（Y）
=500×0.47752 ≈23．9
故选：B．
先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y 服从二项分布可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
7. 答案：A
解析：解：) 5= = +i = - i．
故选：A．
（）5= ，再利用棣莫弗定理即可得出．
本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8. 答案：B
解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得
s=0，k=1
第 1 次执行循环体，s=1 ，k=2
第 2 次执行循环体，s=4，k=3
第 3 次执行循环体，s=13，k=4
第 4 次执行循环体，s=40，k=5
第 5 次执行循环体，s=121，k=6
由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k=5>4 时，退出循环得解．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
解析： 【分析】 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
以 D 为原点， DC 为 x 轴，DB 为 y 轴，过 D 作平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值． 【解答】
解：四面体 ABCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ，△ABD 为边 长 2 的等边三角形， BD = DC ，BD ⊥CD ，
以 D 为原点， DC 为 x 轴， DB 为 y 轴，过 D 作平面
BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
A （0，1， ）， C （2，0，0），
B （0，2，0）， D （0， 0，0），
=（2，-1，- ）， =（0，-2， 0），
故选： A ．
10.答案： D
解析： 解：对于选项 A ，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为 56.9% ，为最高值，所 以 A 正确；
对于选项 B ，从表中后两列的数据可以看出，前 6项的比例均是 80 后得意愿高于 80前的意愿，所 以 B 正确；
对于选项 C ，从表中的最后一列可看出， 80前一年内从未购买过表格中 7 类高价商品的比例为 32.1%， 约为 3成，所以 C 正确；
对于选项 D ，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中 800 后人数与 80前人数的比例，所以 D 不正确． 故选： D ．
根据表中的数据逐项进行分析可得． 本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．
11.答案： C
解析： 解： ∵椭圆 +y 2=1 上，焦点在 x 轴上，
设椭圆上两点 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）关于直线 4x-2y-3=0 对称，
AB 中点为 M （ x 0 ，y 0），直线 AB 的斜率为 - ，
则 x 12+4y 12=4 ，①
设异面直线 AC 与 BD 所成角为 θ，
=
==
∴异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ． 则 cos θ
22
x 22+4y 22=4，②
① -②得：（ x 1+x 2）（ x 1-x 2） +4（ y 1+y 2）（ y 1-y 2）=0， 由中点坐标公式可知： x 1+x 2=2x 0，
y 1+y 2=2y 0，
即 2x 0?（x 1-x 2）+4?2y 0?（ y 1-y 2）=0，
∴点 C 到平面 ABD ′距离的最大值为：
故选： B ．
当 D ′ E ⊥CE 时，点 C 到平面 ABD ′距离取最大值，以 E 为原点， EC 为 x 轴，EA 为 y 轴， ED ′为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 C 到平面 ABD ′距离的最大值．
本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题．
13.答案： 80
解析： 解：设等差数列 {a n } 的公差为 d ，∵S 4=24，a 8=17，
∴2y 0=x 0，代入直线方程 4x-2y-3=0，得 x 0=1 ，y 0= ， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=1， ∴ =（x 1+x 2， y 1+y 2）=（2，1） ∴|
|= = ，
故选： C ．
将 A ，B 坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线
AB 的斜率，由直线 AB 的斜率为 - ，代入求得 AB 中点 M （ x 0， y 0），求出点 M 的坐标，再根据向量的模计算即可． 本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 12.答案： B
解析： 解：直角梯形 ABCD ，AB ∥CD ， ∠ABC=90°，CD=2，
AB=BC=1， E
是边 CD 中点， △ADE 沿 AE 翻折成四棱锥 D ′-ABCE ，
当 D ′ E ⊥CE 时，点 C 到平面 ABD ′距离取最大值， ∵D ′E ⊥AE ，
CE ∩AE=E ，∴D ′E ⊥平面 ABCE ，
以 E 为原点， EC 为 x 轴， EA 为 y 轴， ED ′为 z 轴，建立空间直角坐标 系，
则 A （0，1，0），C （1，0，0），D ′（0，0，1）， B （1，1，0），
=（1，0， 0）， =（1，-1，0）， =（0，-1，1），
设平面 ABD ′的法向量 =（x ，y ，z ），
，取 y=1 ，得 =（ 0， 1， 1），
=- =- ，
∴4a1+ d=24，a1+7d=17，
解得a1=3，d=2，
则S8= =80．
故答案为：80．
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：2解析：解：函数y=sin（ωx+ ）（ω∈N* ）的一条对称轴为x=
故：（k∈Z），
解得：ω=6k+2（k∈Z），
由于：ω∈N*，
当k=0 时，ω的最小值为2．
故答案为： 2 直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
15. 答案：0<m≤3
解析：解：函数f（x）= 在（-∞，+∞）上单调递增，
由x≥0时，f（x）=1+2x递增，
可得x<0时，f（x）也递增，即有m>0，
且1+20≥ 0+m-1 ，即m≤3，综上可得0< m≤3．
故答案为：0< m≤3．由指数函数的单调性和定义，可得m>0且1+20≥0+m-1，解不等式可得所求范围．
本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．
16. 答案：①③⑤ 解析：解：对于①，函数y= 是定义域R 上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，
所以函数f（x）= +b的图象关于点（0，b）对称，①正确；
对于②，x>0时，f'（x）= = ，当- 时，f'（x）>0，当x 或x 时，
f'（x）< 0，所以f（x）在[- ，]上单调递增，在（-∞，- ）和（，+∞）上单调递减．所以② 错；
对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，- ）上单调递减，在[- ，] 上单调递增，在（，+∞）上
单调递减．当x→∞时y= →0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）| ≤maxf{（- ），} ，所以存在存在M>0，使|f（x）| ≤M；
对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b= ，b 不一定为0，④错误；
对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0 的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确；故填：①③⑤．
对于①根据y= 是定义域R 上的奇函数， f （x）是由y= 向上平移 b 个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）| ≤maxf{（- ），
} ，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b 不一定为0，所以④错误；对于
⑤举出实例即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．
17. 答案：解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，2sinA?sinB（1-tanA?tanB）=tanA?tanB，∴两边同时乘以cosAcosB，可得2sinA?sinB（cosAcosB-sinAsinB）=sin A?sinB，∴2cosAcosB-2sinAsinB=1，即2cos
∴C=
（A+B）=1，即cos（A+B）= ，∴A+B= （Ⅱ）sinA-cosB= sinA-cos（-
A）= sinA- cosA- sinA= sinA- cosA=sin （A- ），
∵A∈（0，），∴A- ∈（- ，），∴sin（A- ）∈（- ，），
sinA-cosB 的取值范围为（- ，）．
解析：（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）= ，可得A+B=，可得∠C的大小．Ⅱ）化简sinA-cosB 为sin（A- ），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．
本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18. 答案：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD ，∴PA⊥BD，取AC 中点O，连接OB，OD ，则AC⊥OB，AC⊥OD ，∴点O，B，D 共线，即AC ⊥BD ，
又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∵BD? 平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ．
（Ⅱ）解：取CP 中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面
ABCD ，
∴OC，OD，OE 两两垂直，
以O 为原点如图建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（-1，
0，2），
∴ =（0，+1，0），=（-1，1，2），
设平面PBD 的法向量为=（x，y，z），则，即
，
令 z=1 可得平面 PBD 的一个法向量 =（2，0， 1），
设 =λ （ 0≤λ≤）1，则 = + =（1-2λ，1， 2λ）， 设 （ ），则 （ ， ， ）， ∴| |= = ，
∴当 λ=时， | |取得最小值 ，此时 =（ ， 1， ），
∴直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值为 ．
解析： （I ）取 AC 中点 O ，可证 O 在直线 BD 上，得出 BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，于是 BD ⊥平面 PAC ，得 出平面 PAC ⊥平面 PBD ；
（II ）取 PC 中点 E ，证明 OE ⊥平面ABCD ，以 O 为原点建立空间坐标系，求出 | |最短时对应的坐
本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．
= ×（ 313+321+322+324+330+332+334+343+350+361 ） =333， - =363-333=30 （ N ），
所以实验前后握力的平均值下降了 30N ； ------ （4 分） （ II ） =80， =80，
（t i - ）（ y i - ） =-1800，
2+（20-80）2+（ 40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（ 100-80）2+（120-80）2+
标，求出平面 PBD 的法向量，计算平面法向量与
的夹角的余弦值即可得出结论．
19.答案： 解：（ Ⅰ ）根据题意填写茎叶图如下；
计算 = ×（ 346+357+358+360+362+362+364+372+373+376 ）
= （ 0-80） 设直线 MB 与平面 PBD 所成角为
=363，
140-80）2+（160-80）2=24000；
= =80- （
-0.075 ）×80=86 ，- （9 分）
y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t +86；----- （10分）
（III ）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60 分钟时肌肉已经进入疲劳状态，所以使用鼠标60分钟就该休息了． ------ （12分）
解析：（Ⅰ ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出- 的值；
II ）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t 的线性回归方程；（III ）根据题意知40分钟到60 分钟y的下降幅度最大，说明60 分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．
本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．
20. 答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0>0，y0>0），F（0，1），
∴直线AF 的斜率为，
由已知直线BF斜率存在，直线BF 的方程为y= x+1，
∴直线AB 与抛物线相切．
（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），
2
∴x1x2+x0（x1+x2）+x0 =-16，
=
=
回归系数
为
=
直线AN 的斜率为=，
，
令y=-
1 ，
直线AB 的斜率
为
∵AM
⊥AN，
直线AM 的斜率为=
∴x1+x2= ，x1x2=-4
∴y02-2y0-3=0
∵y0> 0，
∴y0=3，
又x0＞0，
∴x0=2 ，
∴存在A（2 ，3），使得AM⊥AN．
解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF 的方程，求出点 B 的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．
（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN 的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+ x02=-16 ，再根据韦达定理，即可求出点A 的坐标．
本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
21. ------------------------------------------------------- 答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）e k x-1 -x
（k∈R，e 为自然对数的底数），∴f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，（2分）
即-kx+2k-1≤对于?x∈R 恒成立，
设g（x）= ，则g（x）≥0对于? x∈R 恒成立．
则g（1）=2-k≥0，∴k≤2． --- （4分）
当k=2 时，
，g′（1）=0，
x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0 恒成立，故k的最大值为2．（6 分）
证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）?e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，------ （7分）
当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）?e2（x-1）＜x，
ln （2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln ，① （9分）下面证明：- ，②
令H（x）=ln（2x-1）-（- ），则H′（x）= ≥0，
∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，---- （11分）
由①+②得ln ＞2（x- ）成立． ----- （12分）
解析： （I ）推导出 f ′（ x ）=e k （x-1）
[k （2-x ）-1]-1≤0恒成立，从而 -kx+2k-1≤ 对于 ? x ∈R 恒成立，
设 g （x ）=
，则 g （ x ）≥0对于? x ∈R 恒成立．推导出 k ≤2．当 k=2 时，
，
g ′（1）=0，利用导数性质推导出 g （ x ） ≥0恒成立，由此能求出 k 的最大值．
（II ）当 k=2 时，f （x ）=（2-x ）?e 2
（x-1）
-x 单调递减，且 f （1）=0，当 x ∈（1，2）时，（2-x ）?e 2
（x-1）
<x ，从而 ln （2-x ）+2（x-1）<lnx ，2（x-1）<ln ，再证明： - ，由此能证明 ln
> 2（x- ）成立． 本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元
法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22. 答案： 解：（ I ）设 θ=时对应的点为 M ， θ=时对应的点为 N ，
线段 AP 扫过的面积 =S △AMN +S 弓形=S △OMN +S 弓形=S 扇形 OMN = ×12× = （4 分）
（II ）设 P （ cos θ， sin θ）， A （2， 0）
∵P 为线段 AQ 的中点， ∴Q （2cos θ-2，2sin ）θ --- （6分） ∵Q 在曲线 C 上，曲线 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2=1
∴（ 2cos θ-2） 2+（ 2sin θ） 2=1 ∴8cos θ =，7cos θ= ----- （ 8 分）
P （ ，± ） ------- （10分）
（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线 C 的方程可得． 本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
23. 答案： 解：（ Ⅰ）不等式 f （ x ）< 4-|x-1|，即 |3x+2|+|x-1|< 4，
解①求得 - < x < - ，解②求得 - ≤x < ，解③求得 x ∈?． 综上可得，不等式的解集为（ - ， ）．
（Ⅱ）已知 m+n=1（ m ， n > 0）， ∴ + =（m+n ）（ + ）=2+ + ≥2+2=4，当且仅当 m=n= 时，取等 号．
再根据 |x-a|- f （ x ） ≤ + （a > 0）恒成立，可得 |x-a|-f （x ）≤4，即 |x-a|-|3x+2|≤4． 设 g （ x ） =|x-a|-|3x+2|=
，故函数 g （ x ）的最大值为 g （- ）= +a ，
①，
或
②，或
③．
解析：（ Ⅰ）设 θ=时对应的点为 M ， θ=
时对应的点为 N ，线段 AP 扫过的面积 =S △AMN +S 弓形=S △OMN +S 弓形
=S 扇形 OMN = ×12×=；
再由+a≤4，求得0<a≤ ．
解析：（Ⅰ ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
Ⅱ）由条件利用基本不等式求得
+ ≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-
|3x+2|，
利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得 a 的范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。