5第二章秩亏自由网平差的解法

0 1 1 0 1 3 1 1
Nm 1
1 1 Nm N CR BL 2
2 1 1 1 1 2 1 9 1 1 2
0 0 1 1 N ( NN ) 0 1 0 3 1 1 0
说明：
1）经典平差，配置了必要的起算数据，给定了外部基准，平差结果必须 强制符合在由起算数据决定的基准之中； 2）经典平差，参数估计量的精度与起算数据的精度有关，它包含了起始 数据和观测数据误差的综合影响； 3）经典平差，起算数据的精度在参数估计中也可以考虑，即弱约束；若 不予考虑，则为强约束；但无论如何，起算数据的误差都会对结果有影 响； 4）自由网平差，它没有起算数据，不受起算数据误差的影响，只受观测 值误差的影响，因此是一种内精度； 5）自由网平差，没有起算数据，但有基准，附加的约束条件中隐含着基 准，约束条件不同，基准不同，包括重心基准，拟稳基准和加权重心基 准等； 6）经典平差与自由网平差的参数以及参数的精度无法直接比较。前者因 为基准不同，后者因为起算数据的误差考虑不同； 7）经典平差与自由网平差结果和精度可以相互转换，即自由网平差的坐 标转换解法 7）注意：基准、起算数据、近似值的区别与联系！ i）起算数据、近似值决定了经典平差与自由网平差的基准； ii）起算数据有误差，但近似值没有误差
解法二：伪逆解法 （1971 Mittermayer）
由误差方程：
V AX l
R( A) t 0 t
2
有降秩阵A的矛盾方程组：
d t t0
由最小二乘原理： V T V V
即：
min
~ ˆ l AX AX l
设：X 的最小二乘解为：
（1）
ˆ Gl X
则：G为A 的最小二乘逆，应满足式（1）
可证最小二乘逆G，必须是：
AGA A ( AG) T AG
ˆ 由于 最小二乘解不唯一（当方程秩亏时）， X
为求误差方程唯一最优解，最小范数条件
Gl ( I GA)M
使得G又是最小范数逆，相应 Gl 是最小范数解，由此必须：
T X X Gl Gl ( I GA) M X ˆ X
可证此式成立，G必须满足：
GAG G (GA) T GA
综上所述，当G既是最小二乘逆又是最小范数逆时，观测方程的解
ˆ Gl X
是唯一最优解。 称：矛盾方程（误差方程）的最小二乘最小范数解
其中（由上可知）G必须满足四个方程
AGA G, ( AG) T AG, 最小二乘 GAG G, (GA) T GA，最小范数
常数项单位为mm。
2. 在最小二乘准则下，构成法方程 其中
2 1 1 0 T T N A A 1 2 1 A Pl 6 6 1 1 2
ˆ AT Pl NX
R( N ) 2
3. 解法方程 为了验证不同的最小范数逆具有相同的最小范数解这一结论， 这里分别采用两种不同的最小范数G逆进行求解。 （1）降秩法
5. 改正数
v1 ˆ x2 ˆ x1 2mm
v2 ˆ x3 ˆ x2 6 2mm
2 1 1 1 N 1 2 1 9 1 1 2
v3 ˆ x1 ˆ x3 2mm
6．精度评定
QX ˆ
rXr
ˆ
作业与思考： （1）设H1=100m，试求待定点高程平差值及其精度。 （2）若采用条件平差，求观测值改正数。 0 0 0 0 （3）若假定 x1 H1 10 m , x2 H 2 22.345 m , x30 H 30 25.817m 呢？ （4）采用奇异值分解法求解该题，并比较有什么特点？
③附加条件法 √
④伪观测法 √
----Pelzer（1974）
----e.g. Xu PL（1999？2000？）
√ ⑦坐标转换法
解法一：求 N 的最小范数逆解
秩亏自由网平差的误差方程为： 函数模型： V AX l, R( A) t0 t
V T PV min 平差原则： T ˆ X ˆ min X
(2)
(Nm N )T ( N ( NN ) N )T N ( NN ) N N m N
得证。但最小范数逆不唯一。
需要解决三个问题：
（1）证明该解的范数最小 （2）证明该最小范数解的唯一性 （3）该最小范数解的求法
虽然 N m 不唯一，但由N m 求出的最小范数解是唯一的，令
两边右乘( N
m1
N ) 得
T m2
(Nm N 1 m2 ) N 0
T T T (Nm N ) NN ( N N ) ( N N ) N [( N N ) N ] 0 1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2
(Nm N m2 ) N 0 1
T
ˆ ) f TX ˆ f F( X 0 X 0
T QFF f T QX f f N f ˆX ˆ
4．平均精度指标（评价自由网未知参数的总体精度）
M
2 2 0
tr (Q X ˆX ˆ ) u
u为未知数的个数
！在经典平差中，参数估计量的精度与起算数据的精度有关，它包含了 起始数据和观测数据误差的综合影响；自由网平差中，它没有起算数据， 不受起算数据误差的影响，因此是一种内精度。
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
R( A) 2 , d 1
0 ˆ x1 0 v1 1 1 v 0 1 1 ˆ 6 x 2 2 0 1 x3 v3 1 ˆ 0
根据最小二乘得法方程：
NX AT Pl 0 N AT PA, R( N ) R( A) t0 t
秩亏数
d t t0
N 的凯莱逆（ N ）不存在，法方程解不唯一， 为了确定唯一的解，加入最小范数条件：
ˆTX ˆ min X
1
ˆ AT Pl 0 在满足 NX
如图所示的水准网，现测得： 例 1：
h1 12.345m h2 3.478m
h3 15.817m
x1 h1 h3
x2 h2 x3
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817m
可见G就是A的伪逆 A 则

——最小二乘最小范数逆，只要求出A的 A
ˆ A l X
最小二乘最小范数解。

ˆ Gl A l AT ( AAT ) A( AT A) AT l X
注意：
（一）、最小范数逆法： 误差方程
法方程 最小范数解。 求伪逆法。
（二）、最小二乘最小范数： 误差方程 结果应相同，
6 3 3 NN 3 6 3 3 3 6
Nm 1
0 0 1 1 N ( NN ) 0 1 0 3 1 1 0
2 1 0 1 ( NN ) 1 2 0 9 0 0 0
ˆ 两边右乘 X
ˆ 0 (N m N ) NX m 1 2 T (N m N ) A Pl 0 m2 1 T T Nm A Pl N A Pl m 1 2
ˆ AT Pl 0 NX
ˆ X ˆ X ˆ X r1 r2
得证。
N 也是N m 之一
ˆ N AT Pl X r
NN T K AT Pl
K ( NN T ) AT Pl ˆ N T ( NN T ) AT Pl N ( NN ) AT Pl X r
Nm N ( NN ) 为最小范数逆
ˆ N AT Pl X r m
以上是最小二乘最小范数解
根据最小范数的定义知，该逆应满足：
的约束条件下，求目标函数
ˆTX ˆ min X
的条件极值问题。 组成新的函数： ˆTX ˆ 2K T ( NX ˆ AT Pl) X
ˆ 求偏导数并令其等于零，得： 对X
ˆ T 2K T N 0 2X ˆ X
ˆ NT K X ˆ AT Pl NX
(1) (2)
ˆ N AT Pl 0 2 2T X r2 m2
可见，尽管最小范数逆不同，但最小范数解却是相同的。
4. 高程平差值
ˆ H0 ˆ ˆ H0 ˆ H x 0 m H x2 12.343m 1 1 1 2 2
ˆ H0 ˆ H x3 15.819m 3 3
NN m N N (Nm N )T N m N
[证明]：
(1)
NN m N NN ( NN ) N N
由广义逆的性质三有
A( AT A) AT A A或AT A( AT A) AT AT
DDT ( AT A( AT A) AT AT )( A( AT A) AT A A) ( AT A( AT A) AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A 0
，则可解得
显然 于是
R( B ) R( C ) 2
1 BL ( B T B )1 B T
1 2 1 1 3 1 2 1
2 1 1 N AT A 1 2 1 1 1 2
1 CR C ( C T C ) 1
遵守的原理相同。
可证：最小范数解（解法一）和伪逆解法（解法二）是等价的。
A AT ( AAT ) A( AT A) N m 最小二乘最小范数逆
[证 ]： 只要证：
主要内容
问题的引入 秩亏自由网平差的原理 广义逆的补充知识 秩亏自由网平差的解法
秩亏自由网平差的解法分类
①求 N 的最小范数逆 √ ----Mittermayer（1971） ----Mittermayer（1971） ----Mittermayer（1972） 原理类似
√ ②伪逆解法
ˆ N AT Pl 0 2 2T X r1 m1
实习内容一：广义逆的求法
（2）满秩分解法。令 N BC
0 1 B 0 1 1 1
N B C 3 3 3 2 2 3
2 1 1 C 1 2 1
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精度估计
1．单位权方差
ˆ 的协因数 2．X
T T V PV V PV ˆ 02 f nt
t R( A )
QX ˆ
ˆ rX r
T T Nm A PQPA ( N m ) N ( NN ) N ( NN ) N N
3．未知参数函数的精度
F f ˆ x1 F ˆ x2 F ˆ xu
ˆ N AT Pl, X ˆ N AT Pl X r1 m1 r2 m2
只要证： 所以
ˆ X ˆ X ˆ X r1 r2
NN m N N , ( Nm N )T N m N N T ( NN m N )T N m NN T
T T T Nm NN N N NN 1 m2 T (N m N ) NN 0 1 m2